直线的倾斜角和斜_3

直线的倾斜角和斜率西安高级中学高一数学李秋侠教学设计普通高中课程标准实验教科书（北京师范大学出版社）数学2（必修）第二章解析几何初步§1.1直线的倾斜角和斜率（教学设计）西安高级中学李秋侠一、设计思想：学生在初中阶段学习过函数的图像，了解在坐标系中点与实数对,xy的对应，这正是解析几何的研究方法，而直线是解析几何中最基本最简单的研究对象，它既能为进一步的学习做好知识上的准备，又能为后面灵活运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础。所以本节课在设计时特别重视知识的形成，过程的感悟，概念的辨析，引导学生注重倾斜角、斜率的相互关系，掌握过两已知点的直线的斜率公式，并能根据直线的斜率求倾斜角，利用斜率判定三点共线；充分利用多媒体形象展示，使学生全面地、多角度、多层次地认知新概念，特别是利用几何画板的动态演示，透彻理解倾斜角、斜率的概念、取值范围、及变化规律，强化“数”与“形”的结合与转化；另外斜率公式的推导采取逐步递进，发展到用直线上的两点的坐标表示斜率，体现新课标的递进、螺旋式认知理念；通过图片展示使学生了解解析几何及其在生活科学等方面的应用，激发学生的学习热情，引导学生树立远大理想，崇尚科学。在引导学生用倾斜角的正切值表示直线的斜率时，由于学生毫无三角函数基础，只要求给出会用即可，不能用知识的联系性、思维的连贯性的传统理念，去增加补充三角函数知识，否则就与新课程理念相背离了。二．三维目标1.通过具体图形理解确定直线的几何要素，理解直线倾斜角、斜率的概念，感受直线的方向与倾斜角及斜率之间的对应关系。掌握过两点的直线斜率的计算公式，初步感受解析几何的本质，用代数的方法解决几何的问题，在教学中培养学生数形结合的数学思想。2.培养和提高学生联系、对应、转化等辨证思维能力，形成严谨的学习态度。3.营造轻松、和谐的学习氛围，培养学生的探究能力、合作意识及语言表述能力。三、内容和内容分析本课是北师大版数学必修2第一节直线的倾斜角与斜率的第一课时，是高中解析几何第一节课,主要知识点是直线倾斜角和斜率，它是解析几何的最基本的、也是重要的概念之一，也是刻画直线倾斜程度的几何要素，是用坐标法研究几何图形的解析方法的初次体现。通过本节课对直线倾斜角与斜率的研究能够使学生初步感受到解析几何的本质，步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。因而本节课的数学思想和方法尤显重要四．教学重点：直线的倾斜角和斜率的概念，用代数的方法刻画直线斜率的过程及过两点的直线的斜率公式；教学难点：斜率概念的理解和斜率公式的推导。教学方法：通过实例创设教学环境，让学生感悟到知识的生成。五．学情分析初中学生已在平面坐标系中对一次函数借助几何图形研究了性质，图形非常熟悉。学生对三角函数的认识相对浅得多，对斜率用倾斜角的正切值表示困难较大，但也要求学生掌握特殊角度正切值。六．现代信息技术使用为了有效实现教学目标，考虑到学生的知识水平和理解能力，借助计算机工具和现实生活中的相关实物图片，从激励学生探究入手，讲练结合，直观演示能使教学更富趣味性和生动性。1.利用图片介绍解析几何。2.幻灯展示设问问题、例题、引入中的课件（一，二），利用几何画板演示倾斜角的大小与直线斜率的关系；3.幻灯展示课堂小结、课后作业及探究。4.新知识学习过程中的探究设问：七．导学流程1.利用图片介绍解析几何。2.幻灯展示设问问题、例题、引入中的课件（一，二），利用几何画板演示倾斜角的大小与直线斜率的关系；3.利用课件演示，引出直线斜率公式4.新知应用5.知识延伸6.幻灯展示课堂小结、课后作业及探究。八.新知识学习过程中的探究设问：①确定一条直线的位置需要什么条件？②用什么量描述直线的倾斜程度呢？③倾斜角概念中的要点有哪些？④倾斜角的取值范围？能为00000?90?180?180?大于⑤任何直线都有倾斜角吗？唯一吗？⑥除了倾斜角还有什么能表示直线的“倾斜程度”？⑦任何直线都有斜率吗？⑧不与x轴垂直的直线的斜率除了用tan外，用直线上的两点的坐标怎样表示呢？⑨用斜率公式求直线的斜率2121yykxx应注意什么？⑩三点共线的实质是什么?九．教学过程设计教学环节教师活动学生活动技术支持导入本章内容在初中学习一次函数、二次函数时，我们建立了坐标系，使平面内的点和实数对(x,y)建立起了一一对应的关系。初步学会用代数方法描述几何问题（直线、抛物线），把几何问题转化成了代数问题并研究它的性质。用这种方法研究几何学，通常就叫做解析法。从而形成了数学的一个分支-----解析几何。高中主要学习平面解析几何。平面解析几何除了研究直线及直线的有关性质外，主要研究圆锥曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线）的有关性质。它不仅是高中数学的重要内容之一，在生产或生活中也被广泛应用。如行星运动轨迹。比如探照灯、聚光灯、太阳灶、雷达天线、卫星的天线、射电望远镜等都是利用抛物线的原理制成的。在科技迅猛发展的今天，有多少发明创造有待我们去完成？！今天我们就开始进入平面解析几何这个新领域。研究非常重要的，又非常基础的直线的有关概念-----直线的倾斜角和斜率。在初中学习了一次函数0yaxba，大家知道它的图像是一条直线。一．确定一条直线位置的几何要素：问：观察所给直线，如何确定直线的位置呢？答：“两点定一线”。问：除此之外还可以用什么来确定呢？学生思考.若a为已知常数，b为变化值，则直线可视为由yax平移而来的一系学生观察图片，了解解析几何的起源以学生观察图片，了解平面解析几何研究的内容和重要性。学生观察图片，感悟生活中的数学美。激发学生求知欲，培养学生爱科学的态度。利用powerpoint放图片利用powerpoint演示，教师讲解，引导学生发现生活中的美妙曲线。导入本节内容直线的倾斜列平行直线，直线的方向是相同的；（课件一）若b为已知常数，a为变化值，则直线可视为过定点0,b的一系列直线，直线的方向是变化的；由上述情形可看出：确定一条直线的位置还有一个方法：一个点和一个方向；二．倾斜角由（课件二）可看出：直线的方向与直线的倾斜程度有关，直线的倾斜程度和直线与x轴所成的角度有关，对于任意一条与x轴相交的直线，把这个角的顶点放在交点处，规定角的方向为逆时针，即可产生一个能够描述直线倾斜程度的角叫倾斜角。1.倾斜角的定义：对于任意一条与．x轴相交．．．的直线l，把x轴（正方向．．．．．）按逆时针．．．方向绕着交点．．．．旋转到和直线．．l重合．．时所成的角，叫作直线l的倾斜角．．．。记为，则000180；特殊地：当直线l与x轴平行或重合．．．．．时，规定．．直线l的倾斜角为00；2.倾斜角的取值范围：000180；三．直线的斜率：问：直线的倾斜角可以刻画直线的倾斜程度，除此之外生活中，还可以用什么来刻画直线的“倾斜程度”呢？教师通过图例引导：还可以用“坡度”来刻画道路、楼梯的“倾斜程度”引导学生在直角坐标系中研究直线。探究确定直线位置的几个要素。学生观察得出：直线的倾斜程度与斜线和x轴所成的角度有关读教材，明确倾斜角的定义。准确理解概念，发现数学量。培养学生分类讨论的能力学生互相议论，探讨。利用几何画板，演示平面直角坐标系中的不同位置的直线。培养学生研Oxydd1单位1单位角概念引出直线的斜率斜率=铅直高度坡度水平长度，相当于在水平方向移动一个单位，在铅直方向上升或下降的数值d；类似地定义可以得到直线的斜率的概念，不妨先设直线过原点，（1）当00090时，当点从O到P时，横坐标增加一个单位，纵坐标从0增加到k，称k为这条直线的斜率;,CBQPPOQBACkACOQ,直线的斜率也可用CBAC来计算。公式1：tank由于三角函数的知识还不到位，此公式暂属了解阶段，但也应熟记特殊角的正切值：（2）当0090180时，当点从O到P时，横坐标增加一个单位，纵坐标从0减少了0kk，称k为这条直线的斜率;（3）当090时，这条直线的斜率不存在;问：若直线不过原点怎么办呢？答：若直线不过原点，则总可以过原点做一条与此直线平行的直线，这两直线的倾斜角是相等的，斜率即可用过原点的这条直线的斜率来表示，方法同上；引导学生讨论得出：过原点的直线的斜率可以用倾斜角的正切值来表示由于三角函数的知识还不到位，这种情况下的斜率直接给出，有待以后解决。究归纳能力。展示道路、楼梯的图片，观察倾斜程度培养学生归纳，提炼知识的能力。A(1,0)P(1,K)OXyCBQ(1,0)yXOP(1,K)AyXOP(1,-K)A(1,0)公式一斜率与倾斜角的关系可以看出：当00时，直线的斜率是0;当00090时，直线的斜率是正的;倾斜角越大，直线的斜率就越大；当090时，直线的斜率不存在；当0090180时，直线的斜率是负的;倾斜角越大，直线的斜率就越大；问：用倾斜角的正切值可以表示直线的斜率，用直线上点的坐标能表示斜率吗？观察：过原点的直线上的点（1，k）的纵坐标k就是直线的斜率，任取异于原点的点,Pxy，则其斜率可以用其纵坐标与横坐标之比yx表示。问：看下图，直线的斜率是多少呢？答：直线的斜率是32；问：直线不过原点时，斜率是否还能用直线上点的坐标表示呢？四．斜率公式在直线l上任取两点111222,,,PxyPxy，设122121,,xxxxxyyy，则：211221yyykxxxxx问：这个公式是不是任何时候都成立呢？问：任何直线都有斜率吗？问：公式的特点有哪些引导学生得出：斜率的正负及大小与倾斜角的关系，培养学生分类讨论能力。学生讨论得出结论：过原点的直线的斜率可以用其上一点的纵坐标与横坐标之比表示。培养数形结思想讨论得出任意直线的斜率可以用其上两点的坐标表示。2121yykxx思考这个公式成立的条几何画板演示，观察斜率的正负及大小与倾斜角的关系P(2,3)OXy斜率公式二1.12xx时公式才成立，12xx时不能用此公式，此时直线的斜率不存在。2.当12xx时，直线与x轴垂直，斜率不存在。3.12,PP是直线上的任意两点；3.公式中的分子分母的下标应是一致的；4．斜率与12,PP的顺序无关；5.当直线与x平行时，公式依然成立，此时12,0yyk；五．应用示例：例1：已知直线的倾斜角，求斜率。00000(1)0;(2)30;(3)45;(4)60;(5)90解：（1）003tan00;(2)tan30;30003tan451;4tan603;5tan90（）（）（）不存在；例2．下图中能表示直线倾斜角的是（1）（3）;例3：求过已知两点的直线斜率(1)(2,3),(6,5).(2)(3,5),(4,2)PQAB解：（1）直线PQ的斜率为：53216242k；件，分析不成立的直线位置。培养严谨的数学思维。口答。熟记特殊角的正切值。考察学生新知识掌握能力及公式的正确性。板演：推到斜率公式，分析成立条件，揭示不成立的时的位置特征，学生作笔记。新知应用（2）直线AB的斜率为2571437k；例4.在平面直角坐标系中画出经过原点且斜率为11233，，，，的直线。解：只须找出点1111121313，，，，，，，，，，然后分别与原点连成直线即可。例5.直线1l的倾斜角为0130，直线1l与2l垂直，求12,ll的斜率。解：如图：2l的倾斜角为0009030120,12,ll的斜率分别为：3,33考察学生应用知识的灵活性。指导学生积极研究，互相合作，培养积极的学习热情好探究能力。老师板演，学生口述。学生板演yxo知识目标检测能力目标检测例6.已知点23,,2,1MmmNm，当m时，直线MN的倾斜角为锐角；当m时，直线MN的倾斜角为直角；当m时，直线MN的倾斜角为钝角；解：当232mm即5m时，直线MN与y轴平行，倾斜角为直角；当232mm即5m时，112325mmkmmm若0k即51m