直线的参数方程

1.了解直线参数方程的条件及参数的意义；2.初步掌握运用参数方程解决问题，体会用参数方程解题的简便性。学习目标：重点:对直线的参数方程的考查．难点:直线的参数方程中参数t的几何意义．重点难点突破：(1)圆心为原点，半径为r的圆的参数方程2.圆的参数方程一、曲线的参数方程(2)圆心为C(a,b)，半径为r的圆的参数方程cossinxarybr(为参数)sincosryrx(为参数)二、圆锥曲线的参数方程1、椭圆的参数方程参数方程为为参数byax)(sincosjjjbabyax)0(12222椭圆的一个2、双曲线的参数方程双曲线的一个参数方程babyax)0(122220,-为参数byax)(tansecjjj3、抛物线的参数方程抛物线的普通方程为220ypxp它的一个参数方程为222xptypt(t为参数)我们学过的直线的普通方程都有哪些形式?两点式:112121yyxxyyxx----点斜式:00()yykxx--ykxb1xyab一般式:0AxByC(A,B不全为0)2121tan2yykxx--斜率公式:斜截式截距式.000问题：已知一条直线过点M(x,y求这条直线)，倾斜角，的方程M0(x0,y0)M(x,y)e(cos,sin)0MMxOy解：在直线上任取一点M(x,y),则00,)()xyxy--（00(,)xxyy--el设是直线的单位方向向量，则(cos,sin)e00//,,,MMetRMMte因为所以存在实数使即00(,)(cos,sin)xxyyt--00cos,sinxxtyyt--00cos,sinxxtyyt即，000问题：已知一条直线过点M(x,y)，倾斜角，求这条直线的方程.M0(x0,y0)M(x,y)exOy00cos,sinxxtyyt即，00cossinxxttyyt所以，该直线的参数方程为（为参数）0,MMtelt由你能得到直线的参数方程中参数的几何意义吗？思考：|t|=|M0M|xyOM0Me解:0MMte0MMte1,ee又是单位向量，0MMtet所以,直线参数方程中参数t的绝对值等于直线上动点M到定点M0的距离,即例1.已知直线l:x+y-1=0与抛物线C:y=x2交于A,B两点，求线段AB的长和点M(-1,2)到A,B两点的距离之积.yABM(-1,2)xO例题+变式直线参数方程的应用（1）写出直线l的参数方程12（2）求出交点A，B所对应的参数t，t找出的12（3）AB、MAMB与t，t关系例1.已知直线L:x+y-1=0与抛物线y=x2交于A，B两点，求线段AB长及点M（-1，2）到A、B两点的距离之积。例题+变式直线参数方程的应用[思维点拨]ABM(-1,2)xyO34解:因为点M在直线上.(2sintyt3x=-1+tcos4为参数）34所以直线的参数方程可以写成易知直线的倾斜角为212(222xttyt--即为参数）例题+变式直线参数方程的应用把它代入抛物线y=x2的方程,得2220tt-t由参数的几何意义得1210tt-AB12122MAMBttttABM(-1,2)xyO222121--tttt,例题+变式直线参数方程的应用设二次曲线C：F(x，y)＝0，直线l：x＝x0＋tcosαy＝y0＋tsinα(t为参数)，如果l与C相交于A、B两点，那么将l的方程代入F(x，y)＝0后可得at2＋bt＋c＝0，则该方程有两个不等实数根t1、t2，于是得到以下两个常见的公式：(1)|AB|＝|t1－t2|；(2)线段AB的中点M对应的参数t＝t1＋t22.【反思】变式已知直线l：x＝－3＋32t，y＝2＋12t(t为参数)．(1)求直线l的倾斜角；(2)求直线l上的点M(－33，0)对应的参数t，并说明t的几何意义．[思维点拨]解答本题关键是理解直线的参数方程的意义．例题+变式直线参数方程的应用解(1)法一由于直线l：x＝－3＋tcosπ6，y＝2＋tsinπ6(t为参数)，这是过点M0(－3，2)，且倾斜角α＝π6的直线，故π6为所求．例题+变式直线参数方程的应用解法二化直线l：x＝－3＋32t，y＝2＋12t(t为参数)为普通方程为y－2＝33(x＋3)，其中k＝tanα＝33，0≤απ.∴直线l的倾斜角α＝π6.例题+变式直线参数方程的应用(2)由上述可知直线l的单位方向向量e＝cosπ6，sinπ6＝32，12.∵M0(－3，2)，M(－33，0)，∴M0M—→＝(－23，－2)＝－432，12＝－4e，∴点M对应的参数t＝－4，几何意义为|M0M—→|＝4，且M0M—→与e方向相反(即点M在直线l上点M0的左下方)．例题+变式直线参数方程的应用【反思】一条直线可以由定点M0(x0，y0)，倾斜角α(0≤απ)唯一确定，直线上的动点M(x，y)的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)，这是直线参数方程的标准形式．特别地，当α＝π2时，直线的参数方程为x＝x0y＝y0＋t(t为参数)．例题+变式直线参数方程的应用直线与曲线y=f(x)交于M1，M2两点，对应的参数分别为t1，t2.（1）曲线的弦M1M2的长是多少？（2）线段M1M2的中点M对应的参数的值是多少？探究12121212120(1)(2)cos,222MMttxxttttxxt-1.直线参数方程的标准形式3.参数t的几何意义0cos(sinttyyt0x=x是参数）|t|=|M0M|小结2.直线的参数方程一般式:00(xxattyybt为参数）2202211abttMMabt当时，有明确的几何意义，即当时，没有明确的几何意义。直线的参数方程形式不是唯一的例2.经过点M(2,1)作直线l，交椭圆于A,B两点，如果点M恰好为线段AB的中点，求直线l的方程.221164xyABlOxy例题+变式直线参数方程的应用例题+变式直线参数方程的应用例题+变式直线参数方程的应用设二次曲线C：F(x，y)＝0，直线l：x＝x0＋tcosαy＝y0＋tsinα(t为参数)，如果l与C相交于A、B两点，那么将l的方程代入F(x，y)＝0后可得at2＋bt＋c＝0，则该方程有两个不等实数根t1、t2，于是得到线段AB的中点M对应的参数t＝t1＋t22.再根据t的几何意义知，t1+t2=0，问题迎刃而解。【反思】例题+变式直线参数方程的应用变式：经过点P（2，0），斜率为4/3的直线和抛物线y2=2x相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求M的坐标。例题+变式直线参数方程的应用例2的解法对一般圆锥曲线适用吗？把“中点”改为“线段AB靠近B的三等分点”，直线l的方程怎样求？12121212224(cos2sin)208,3sin1t34si17n.6Mtttttt-若点是线段AB靠近B的三等分点，则有，代入+t=-－可求出，再由＝可得直线的斜率k＝由点斜式易得直线方程。思考例3.当前台风中心P在某海滨城市O向300Km处生成,并以40km/h的速度向西偏北45度方向移动.已知距台风中心250km以内的地方都属于台风侵袭的范围,那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭?例题+变式直线参数方程的应用例题+变式直线参数方程的应用例题+变式直线参数方程的应用侵袭后该城市开始受到台风所以，大约在的范围约为由计算器计算得，解得时有上内或在圆在圆当点为参数，即htttttOOttMtttytx26.80.2475215475215250)220()220300()220,220300()0(220220300{222----例题+变式直线参数方程的应用在例3中，海滨城市O受台风侵袭大概持续多长时间？如果台风侵袭的半径也发生变化(比如：当前半径为250km，并以10km/h的速度不断增大)，那么问题又该如何解决？答：城市O受台风侵袭的时间长度是|t1－t2|＝152＋574－152－574＝527≈6.6(h)．如果台风侵袭的半径以10km/h不断增大，只要将圆O的方程改为x2＋y2＝(250＋10t)2.当台风侵袭时(300－202t)2＋(202t)2≤(250＋10t)2，解出t即可．思考4.,.ABCDOPBPCPD例如图，是中心为点的椭圆的两条相交弦，交点为P,两弦AB,CD与椭圆长轴的夹角分别为1,2,且1=2。求证：PA例题+变式直线参数方程的应用222200002,2,1.............................(1),1,(,),cos{().....(2)sinabxyabPxyxxtABtyyt证明：如图建立平面直角坐标系，设椭圆的长轴、短轴的长分别为则椭圆的方程为设点的坐标为则直线的参数为为参数例题+变式直线参数方程的应用22222220022222200222212222222001222(2)(1)(cossin)2(cossin)()0.....................................(3)cossin0,(3),cosbatbxaytbxayababttbxayabPAPBttb--将代入并整理，得到由于因此方程有两个根设这两个根分别为，容易得到22...(4)sina例题+变式直线参数方程的应用222222002222222222002222cos()sin().........................(5)cossin(4)(5)CDbxayabPCPDbabxayabbaPAPBPCPD----同理，对于直线，将换为－，即得到由、得到例题+变式直线参数方程的应用【反思】利用直线的参数方程，可以求一些距离问题，特别是求直线上某一定点与曲线交点距离时使用参数的几何意义更为方便．探究答：把椭圆改成双曲线，结论仍然成立．如果把椭圆改为双曲线，是否会有类似的结论？变式证明：例题+变式直线参数方程的应用例题+变式直线参数方程的应用1．（难度：简）直线x＝1＋t，y＝2－t(t为参数)的倾斜角为()A.π4B．－π4C.34πD．－34π[解析]消去参数t得x＋y＝3，∴直线斜率k＝－1，∴倾斜角α＝34π.C题目部分2．（难度：易）直线x＝tsin20°＋3，y＝－tcos20°(t为参数)的倾斜角是()A．20°B．70°C．110°D．160°题目部分[解析]直线的参数方程可化为x＝t′cos110°＋3y＝t′sin110°，(t′为参数)，它是直线的参数方程的标准形式，因此，直线的倾斜角为110°.C3．（难度：易）直线x＝－2－2ty＝3＋2t(t为参数)上与点P(－2,3)的距离等于2的点的坐标是()A．(－4,5)B．(－3,4)C．(－3,4)或(－1,2)D．(－4,5)或(0,1)[解析]d＝－2－2t－22＋3＋2t－32＝2，∴t＝±22.当t＝22时，对应点为(－3,4)，当t＝－22时，对应点为(－1,2)．故选C.C题目部分4.（难度：易）若直线l1：x＝1－2t，y＝2＋kt(t为参数)与直线l2：x＝s，y＝1－2s(s为参数)垂直，则k＝________.题目部分[解析]直线l1的方程为y＝－k2x＋4＋k2，斜率为－k2；直线l2的方程为y＝－2x＋1，斜率为－2.∵l1与l2垂直，∴(－k2)×(－2)＝－1⇒k