专题二-数列通项公式的求法

专题二:数列通项公式的求法nanncos1注：①有的数列没有通项公式，如：3，π，e，6；②有的数列有多个通项公式,如：数列的通项公式是一个数列的第n项（即an）与项数n之间的一种特殊的函数关系。下面就谈一谈数列通项公式的常用求法：探究（一）、观察法（又叫猜想法，不完全归纳法）：观察数列中各项与其序号间的关系，分析各项中的变化部分与不变部分，再探索各项中变化部分与序号间的关系，从而归纳出构成规律写出通项公式就是观察数列的特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通项公式．例1、求数列3，5，9，17，33，……的通项公式解：变形为：21+1，22+1，23+1，24+1，25+1，……12nna可见联想与转化是由已知认识未知的两种有效的思维方法。注意：用不完全归纳法，只从数列的有限项来归纳数列所有项的通项公式是不一定可靠的，如2，4，8，……。可归纳成an=2n或者an=n2-n+2，这是两个不同的数列（如a4便不同）∴通项公式为：探究（二）累加法当所给数列每依次相邻两项之间的差组成等差或等比数列时，就可用累加法进行消元.即若数列｛an｝满足an+1－an=f(n)(n),其中｛f(n)｝是易求和数列，那么可用累加法求an。例2、求数列：1，3，6，10，15，21，……的通项公式。)1(21nnan解：a2-a1=2a3-a2=3a4-a3=4……a5-a4=5an-an-1=n∴两边相加得：an-a1=2+3+4+5+……+n∴解：∵a2－a1＝3×1＋2，a3－a2＝3×2＋2，a4－a3＝3×3＋2，……an－an－1＝3×(n－1)＋2，以上各项相加，得an－a1＝3[1＋2＋3＋……＋(n－1)]＋2(n－1)变式训练2:已知数列｛an｝满足an+1=an+3n+2，且a1=2，求通项公式an。＝3·n－1·n2＋2n－2＝3n2＋n2－2，∴an＝3n2＋n2.探究（三）累乘法当一个数列每依次相邻两项之商构成一个等比数列时，就可用累乘法进行消元.若数列｛an｝满足=f(n)(n),其中数列｛f(n)｝前n项积可求，则可用累乘法求an.例3、已知数列{an}中，a1=2，求通项公式{an}。nnnaa31解：由已知a1=2，，得：nnnaa31nnnaa311123aa2233aa113nnnaannaa1把上面n-1条式子左右两边同时相乘得：∴21)1(321133nnnnaa2)1(32nnna把1，2，…，n分别代入上式得：，，……，变式训练3：已知{an}中，an＋1＝nn＋2an，且a1＝2，求数列{an}的通项公式．解：an＝anan－1·an－1an－2·an－2an－3·…·a3a2·a2a1·a1＝n－1n＋1·n－2n·n－3n－1·…·24·13·2＝4n（n＋1）.例4、已知数列{an}为无穷数列，若an－1＋an＋1＝2an(n≥2且n∈N*)，且a2＝4，a6＝8，求通项an.探究(四)公式法：等差与等比数列是两种常见且重要的数列，所谓公式法就是先分析后项与前项的差或比是否符合等差、等比数列的定义，然后用等差、等比数列的通项公式表示它。解：∵an－1＋an＋1＝2an，∴an－1,an,an＋1成等差数列．又∵n≥2且n∈N*，∴数列{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d.由a2=4，a6=8，可得a1=3，d=1∴通项an＝3＋(n－1)×1＝n＋2.（一般和等差、等比中项有关联的较多）探究（五）、利用Sn与an的关系求通项公式。已知数列的前n项和Sn，求通项公式an的基本方法是：)2()1(11nssnsannn2n注意：要先分n=1和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。统一时可合写成一个式子，否则分段写之。例5．已知下列数列{an}的前n项和Sn的公式，求{an}的通项公式。（1）Sn=n2－1（2）Sn=2n2－3n解：（2）a1=s1=－1，当时，54)]1(3)1(2[)32(221nnnnnssannn解（1）a1=s1=0，当时，2n12]1)1[()1(221nnnssannn)2(12)1(0nnnan由于a1=－1也适合于此等式，∴an=4n-5∴由于a1不适合于此等式，2n2326nananS解：由题意得2366112111aaSan时，当212111111aSaaa故又或解得①②由②－①整理得2361211nnnaaS且有300)3)((1111nnnnnnnnaaaaaaaa又13)1(3232nnaaannn的通项为故的等差数列，，公差为是首项为故11nnnaSS的关系与可找出nnaa1例6、各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足S1＞1，且6Sn=(an+1)(an+2),求{an}的通项公式。探究（六）、换元法(构造法)形如已知a1，an＋1＝pan＋q(p、q为常数)形式均可用构造等比数列法，法二：an＋1－an＝p(an－an-1)，构造{an－an-1}为等比数列，公比为p。当给出递推关系求an时，主要掌握通过构造辅助数列转化成等差或等比数列的形式。法一：待定系数法：设an＋1＋x＝p(an＋x)，构造{an＋x}为等比数列，公比为p。例7、已知数列{an}的递推关系为an+1=2an+1，且a1=1，求通项公式an。解：∵an+1=2an+1，∴an+1+1=2（an+1），令bn=an+1，∴21111nnnnaabb则辅助数列{bn}是首项b1=a1+1=2公比为2的等比数列，∴bn=2×2n-1即an+1=2n∴an=2n－1例8、若数列{an}中,a1=2，an0,且an+1－an=2an+1.an，求an。解：∵an+1－an=2an+1.an,且an02111nnaa2111nana设,则数列{bn}是首项b1=,公差为－2的等差数列,因此nnab12n4-5)2-)(1-n(21)1(1dnbnb，即2451nnanan452∴即21∴变式训练4:若数列｛an｝中a1＝3，an＋1＝2an＋3，求an.分析：本题给出了an和an＋1的线性函数，故可用构造法确定式子an＋1＋c＝2(an＋c)中的常数c，从而说明{an＋c}为等比数列，进而可求得an.解法1：由an＋1＝2an＋3，得an＋1＋3＝2(an＋3)．令an＋3＝bn，∴bn＋1＝2bn.∴{bn}是等比数列，其首项b1＝a1＋3＝6，公比为2，∴bn＝6×2n－1，即an＋3＝6×2n－1.∴an＝6×2n－1－3＝3(2n－1)．解法2：∵an＋1＝2an＋3，∴n≥2时，有an＝2an－1＋3，∴an＋1－an＝2(an－an－1)．令bn＝an＋1－an，∴bn＝2bn－1，∴{bn}是公比为2的等比数列，首项b1＝a2－a1＝6，∴bn＝6×2n-1，∴b1＋b2＋……＋bn－1＝61－2n－11－2＝6(2n-1－1)．又b1＋b2＋……＋bn－1＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋……＋(an－an－1)＝an－a1，∴an－a1＝6(2n-1－1)＝6×2n-1－6.∴an＝6×2n-1－3＝3(2n－1).例9、已知数列{an}的递推关系为an+2－2an+1+an=4，且a1=1，a2=3，求通项公式{an}。解：∵an+2－2an+1+an=4，∴(an+2－an+1)－(an+1－an)=4令bn=an+1－an,则数列{bn}是以b1=a2－a1为首项公差d=4的等差数列,两边分别相加得：an－a1=4[1+2+3+……+(n－1)]－2(n-1)∴an=2n2－4n+3∴bn=an+1－an=4n－2∴a2－a1=4×1－2a3－a2=4×2－2a4－a3=4×3－2……an－an-1=4×(n－1)－2)2(33,3111naaaannn)(1nfaann)(1nfaannqp1nnaa小结、已知数列递推公式求通项公式：取倒数累加法累乘法待定系数构造法an与sn的关系1、设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝(n∈N*)．求数列{an}的通项公式。解：(1)∵a1＋3a2＋32a3＋……＋3n－1an＝，①课后练习3n3n∴数列{an}的通项公式an＝(n∈N*)n31n31在①中，令n＝1，得a1＝，由①－②得3n－1an＝，∴当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋……＋3n－2an－1＝，②31-n3131∴an＝22112.1,(1)0(1,2,3,).nnnnnnananaaana设是首项为的正数项数列且求的通项公式22111(1)01nnnnnnnanaaaanan由累乘法3．(2014年全国卷Ⅱ)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.(1)证明{an+}是等比数列，并求{an}的通项公式。21an=(n∈N*)21-n3n1an