【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习 第10章 第3节 二项式定理课件 理 苏教版

固基础·自主落实提知能·典例探究课后限时自测启智慧·高考研析第三节二项式定理考纲传真要求内容ABC二项式定理√1．二项式定理(1)(a＋b)n＝．(2)通项公式Tr＋1＝.C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N*)Crnan－rbr2．二项式系数的性质(a＋b)n展开式的二项式系数C0n，C1n，…，Cnn有如下性质：(1)Cmn＝；(2)Cmn＋Cm－1n＝；(3)当r＜n－12时，Crn＜Cr＋1n；当r＞n－12时，Cr＋1n＜Crn；(4)C0n＋C1n＋…＋Cnn＝；(5)当n是偶数时，二项式系数中，以最大，当n为奇数时，二项式系数中以和(两者相等)最大．Cn－mnCmn＋12n1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)Crnan－rbr是(a＋b)n的展开式中的第r项．()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．()(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．()(4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．()[解析]由二项式定理与二项式系数的概念、性质知(1)和(2)不正确，(3)和(4)正确．[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．(教材改编)(x＋2)8的展开式中x6的系数是________．[解析]通项为Tr＋1＝Cr8x8－r2r＝2rCr8x8－r，令r＝2，得T3＝22C28x6＝112x6，所以x6的系数是112.[答案]1123．(2013·天津高考)x－1x6的二项展开式中的常数项为________．[解析]x－1x6的展开式通项为Tr＋1＝(－1)rCr6x6－r1xr＝(－1)rCr6x6－32r，令6－32r＝0，解得r＝4，故常数项为(－1)4C46＝15.[答案]154．(2014·四川高考改编)在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为________．[解析]因为(1＋x)6的展开式的第(r＋1)项为Tr＋1＝Cr6xr，x(1＋x)6的展开式中含x3的项为C26x3＝15x3，所以系数为15.[答案]155．(2013·安徽高考)若x＋a3x8的展开式中，x4的系数为7，则实数a＝________.[解析]含x4的项为C38x5a3x3＝C38a3x4，∴C38a3＝7，∴a＝12.[答案]12考向1通项公式及其应用【典例1】(1)(2014·安徽高考)设a≠0，n是大于1的自然数，1＋xan的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若点Ai(i，ai)，(i＝0,1,2)的位置如图10­3­1所示，则a＝________.图10­3­1(2)(2013·浙江高考)设二项式x－13x5的展开式中常数项为A，则A＝________.[解析](1)由题意知A0(0,1)，A1(1,3)，A2(2,4)．故a0＝1，a1＝3，a2＝4.由1＋xan的展开式的通项公式知Tr＋1＝Crnxar(r＝0,1,2，…，n)．故C1na＝3，C2na2＝4，解得a＝3.(2)Tr＋1＝Cr5(x)5－r－13xr＝Cr5(－1)rx52－5r6，令52－5r6＝0，得r＝3，所以A＝－C35＝－10.[答案](1)3(2)－10【规律方法】1．求二项展开式中的待定项，一般是利用通项公式进行化简，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零，求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可，但应注意n，r∈N，n≥r.2．求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类计数原理讨论求解．【变式训练1】(1)(2013·课标全国卷Ⅱ改编)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝________.(2)(2014·泰州期末测试)若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________.[解析](1)(1＋x)5中含有x与x2的项为T2＝C15x＝5x，T3＝C25x2＝10x2，∴x2的系数为10＋5a＝5，∴a＝－1.(2)f(x)＝x5＝(1＋x－1)5，它的通项为Tr＋1＝Cr5(1＋x)5－r·(－1)r，T3＝C25(1＋x)3(－1)2＝10(1＋x)3，∴a3＝10.[答案](1)－1(2)10考向2二项式系数(高频考点)命题视角二项式系数是考查二项式定理的常考内容，主要命题角度有：(1)求展开式中指定项的系数；(2)给定展开式中指定项的系数求二项式中变量值．【典例2】(1)(2014·课标全国卷Ⅰ)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字填写答案)(2)(2014·课标全国卷Ⅱ)(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝________.(用数字填写答案)[思路点拨](1)注意(x＋y)8展开式中xy7和x2y6与(x－y)相乘后都可得x2y7，但要注意相乘后的符号．(2)由Tr＋1＝Cr10x10－rar求出r，再求出a.[解析](1)x2y7＝x·(xy7)，其系数为C78，x2y7＝y·(x2y6)，其系数为－C68，∴x2y7的系数为C78－C68＝8－28＝－20.(2)设通项为Tr＋1＝Cr10x10－rar，令10－r＝7，∴r＝3，∴x7的系数为C310a3＝15，∴a3＝18，∴a＝12.[答案](1)－20(2)12【通关锦囊】1．(a＋b)n展开式的二项式系数为C0n，C1n，…，Cnn.2．要注意区分二项式系数和展开式中某项的系数的区别．【变式训练2】(1)(2014·大纲全国卷)xy－yx8的展开式中x2y2的系数为________．(用数字作答)(2)(2014·山东高考)若ax2＋bx6的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________．[解析](1)由Tr＋1＝Cr8xy8－r－yxr＝(－1)rCr8x8－3r2y32r－4知，要求x2y2的系数，则8－3r2＝2，32r－4＝2，解得r＝4，∴x2y2的系数为(－1)4C48＝70.(2)ax2＋bx6的展开式的通项为Tr＋1＝Cr6(ax2)6－r·bxr＝Cr6a6－rbrx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，由C36a6－3b3＝20得ab＝1，所以a2＋b2≥2ab＝2，故a2＋b2的最小值为2.[答案](1)70(2)2考向3二项式定理的应用【典例3】(2014·浙江高考改编)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0，3)＝________.[解析]因为f(m，n)＝Cm6Cn4，所以f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝C36C04＋C26C14＋C16C24＋C06C34＝120.[答案]120【规律方法】1．注意xmyn系数的构成．2．熟练应用二项式定理．【变式训练3】1－90C110＋902C210－903C310＋…＋(－1)k90kCk10＋…＋9010C1010除以88的余数是________．[解析]1－90C110＋902C210－…＋(－1)k90kCk10＋…＋9010C1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C110889＋…＋C91088＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数是1.[答案]1掌握1个定理二项式定理(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N*)揭示二项展开式的规律，一定牢记通项公式Tr＋1＝Crnan－rbr，是展开式的第r＋1项，不是第r项．做到1个防范切记二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指Crn，而后者是字母外的部分．前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负．学会2种应用1.通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．2.展开式的应用：(1)可求解与二项式系数有关的求值，常采用赋值法．(2)可证明整除问题(或求余数)．(3)有关组合式的求值证明，常采用构造法．创新探究之14分段函数与二项式定理的交汇创新题(2013·陕西高考改编)设函数f(x)＝x－1x6，x0，－x，x≥0，则当x0时，f[f(x)]表达式的展开式中常数项为________．[解析]∵f(x)＝x－1x6，x0，－x，x≥0，∴当x0时，f(x)＝－x0，∴f[f(x)]＝f(－x)＝－x＋1x6＝x－1x6，∴Tr＋1＝Cr6－1xrx6－r＝(－1)rCr6x3－r，令3－r＝0，得r＝3.∴展开式中常数项为C36(x)3－1x3＝－20.[答案]－20【智慧心语】创新点拨：(1)以复合函数、分段函数为载体考查二项式定理通项公式的应用，凸显函数的主导作用．(2)两次使用不同区间上的表达式，再使问题转化为二项展开式的问题，考查分类讨论思想和转化化归思想．应对措施：(1)以复合函数的复合过程为切入点，先求f(x)，再求f[f(x)]表达式的展开式的常数项．(2)求解分段函数的求值问题，要由自变量的范围确定使用与其对应的解析式．【类题通关】求(x2＋2)1x2－15的展开式的常数项．[解]二项式1x2－15展开式的通项为：Tr＋1＝Cr51x25－r·(－1)r＝Cr5·x2r－10·(－1)r.当2r－10＝－2，即r＝4时，有x2·C45x－2·(－1)4＝C45×(－1)4＝5；当2r－10＝0，即r＝5时，有2·C55x0·(－1)5＝－2.∴展开式中的常数项为5－2＝3.