【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习 第7章 第1节 空间几何体及其表面积与体积课件 理 苏教版

固基础·自主落实提知能·典例探究课后限时自测启智慧·高考研析第七章立体几何初步览全局·网络构建备高考·策略指导1.立体几何既是高中数学的重要内容，又是高考考查的重点，主要考查柱、锥、台、球的表面积和体积，点、直线、平面位置关系的判断及证明，空间向量的运算，立体几何中的向量方法，考查学生的空间想象能力、语言表达能力、推理论证能力、运算求解能力．1.高考多以填空题的形式考查基础知识，如几何体的表面积与体积的计算，线面位置关系的判定与命题、充要条件的交汇渗透．因此，复习时要加强对基本定义、定理、公式的理解与记忆．2．立体几何在高考中以中、低档题目为主，填空题以表面积和体积、直线与平面位置关系的判断为主，在解答题中主要考查直线、平面平行或垂直关系的证明和二面角的求法．每年所占分值约为20分．2．对于空间中直线、平面的平行和垂直关系的证明、二面角的求法，除了对常规解题思路的训练外，还应着力培养学生规范、严谨、条理地书写解题步骤，避免由于步骤混乱、条件的缺失而导致的失分．3．空间向量是解决空间线面位置关系的判定以及空间夹角计算的重要工具，高考中在附加题部分以必答题的形式呈现，常与概率分布交替(隔年)命题．4．强化运算与数学推理论证能力，转化与化归思想贯穿整个立体几何的始终.3．对空间向量的复习，以掌握用空间向量判定空间中的线面位置关系及用空间向量求空间夹角的方法为主，对理论部分不必挖掘过深．4．把握命题的新动向，近两年在重视基础知识的同时力求创新，有的省市将立体几何与相关知识渗透考查，并注重开放性探索问题，这些命题趋向值得重视.第一节空间几何体及其表面积与体积考纲传真要求内容ABC柱、锥、台、球及其简单组合体√柱、锥、台、球的表面积与体积√1．多面体(1)一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做；棱柱两个底面是，且对应边互相，侧面都是(2)当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做；棱锥底面是，侧面是有一个公共顶点的(3)棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分叫做棱柱全等的多边形平行平行四边形棱锥多边形三角形棱台2．旋转体(1)将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做、、圆台．(2)半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做，球面围成的几何体叫做，简称球．圆柱圆锥球面球体3．旋转体的表(侧)面积名称侧面积表面积圆柱(底面半径r，母线长l)2πrl圆锥(底面半径r，母线长l)πr(l＋r)圆台(上、下底面半径r1，r2，母线长l)π(r1＋r2)l＋π(r21＋r22)球(半径为R)2πr(l＋r)πrlπ(r1＋r2)l4πR24.空间几何体的体积(h为高，S′、S分别为上下底面积)(1)V柱体＝Sh，V锥体＝13Sh，V台体＝13h(S＋SS′＋S′)．(2)V球＝(球半径是R)．43πR31．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)棱柱的面中至少有两个互相平行．()(2)棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面．()(3)锥体的体积等于底面面积与高之积．()(4)球的体积之比等于半径比的立方．()[解析]由棱柱的定义可知(1)正确．在正六棱柱中，有些互相平行的面不能作为底面，(2)错．V锥＝13Sh，(3)错．(4)正确．[答案](1)√(2)×(3)×(4)√2．(教材习题改编)已知圆锥的高为3cm，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线长是________cm.[解析]设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意知2πr＝πl，所以l＝2r，再由(3)2＋r2＝l2得r＝1，即l＝2.[答案]23．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为9π2，则正方体的棱长为________．[解析]设正方体棱长为a，球半径为R，则43πR3＝92π，∴R＝32，∴3a＝3，∴a＝3.[答案]34．(2015·徐州质检)已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为________．[解析]S表＝S侧＋2S底面＝2π×1×2＋2×π×12＝6π.[答案]6π5．(2014·山东高考)三棱锥P­ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D­ABE的体积为V1，P­ABC的体积为V2，则V1V2＝________.[解析]设点A到平面PBC的距离为h.∵D，E分别为PB，PC的中点，∴S△BDE＝14S△PBC，∴V1V2＝VA­DBEVA­PBC＝13S△DBE·h13S△PBC·h＝14.[答案]14考向1空间几何体的结构特征【典例1】给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱．其中不正确的命题为________．[答案]①②③[解析]对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故①错；对于②，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故②错；对于③，若底面不是矩形，则③错；④正确．【规律方法】解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可．【变式训练1】设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．其中真命题的序号是________．[解析]命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的；因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的；命题④由棱台的定义知是正确的．[答案]①④考向2空间几何体的表面积【典例2】已知PA，PB，PC两两互相垂直，且△PAB，△PAC，△PBC的面积分别为1.5cm2,2cm2,6cm2，则过P，A，B，C四点的外接球的表面积为________cm2.(注S球表面积＝4πR2，R为球的半径)[答案]26π[解析]由题意，可构造如图所示的长方体，由图可知，长方体的对角线即为外接球的直径，设PA＝a，PB＝b，PC＝c，由ab＝3，ac＝4，bc＝12，得a＝1，b＝3，c＝4.∴2R＝a2＋b2＋c2＝26.∴S球＝4πR2＝4π·2622＝26π.【规律方法】要求球的表面积，关键是找出球的直径(半径)与原几何体之间的关系．由于PA，PB，PC两两垂直，故可构成长方体加以分析．【变式训练2】(2015·扬州调研)正六棱柱的底面边长为4，高为6.则它的外接球(正六棱柱的顶点都在此球面上)的表面积为________．[解析]此正六棱柱外接球半径为42＋622＝5.表面积为4π×52＝100π.[答案]100π考向3空间几何体的体积(高频考点)命题视角空间几何体的体积是历年高考重点主要命题角度：①利用公式直接求所给几何体(柱体、锥体或台体)的体积；②利用等积转化顶点的原则求三棱锥的体积或棱锥的高．【典例3】(2014·江苏调研)如图7­1­1，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，底面边长为2，侧棱长为2，D、D1分别为AB、A1B1的中点，C1D1的中点为P，DD1的中点为点图7­1­1(1)求证：PQ∥平面ABC1；(2)求三棱锥Q­ABC1的体积．[思路点拨]要求三棱锥Q­ABC1的体积即求三棱锥C1­ABQ的体积．[解](1)证明：连结C1D，∵P、Q分别为C1D1，DD1的中点，∴PQ∥C1D.∵PQ⊄平面ABC1，C1D⊂平面ABC1，∴PQ∥平面ABC1.(2)VQ­ABC1＝VC1­ABQ＝13S△ABQ·C1D1，∵在△A1B1C1中，C1D1＝32A1B1＝3，S△ABQ＝12AB·DQ＝12×2×22＝22，∴VQ­ABC1＝13×22×3＝66.【通关锦囊】1．求解第(2)题的关键是转换顶点，转换顶点的原则是使底面面积和高易求．一般做法是把底面放在已知几何体的某一个面上．2．注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法．【变式训练3】在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝BC＝BB1＝1，AB1＝3，求三棱锥A1­AB1C的体积．[解]VA1­AB1C＝V棱柱ABC­A1B1C1－V棱锥C­A1B1C1－V棱锥B1­ABC，∵AB1＝3，B1B＝1，∴AB＝2，∴AC⊥BC，∴V棱柱ABC­A1B1C1＝12×AC×BC×B1B＝12.V棱锥C­A1B1C1＝V棱锥B1­ABC＝13×12×AC×BC×B1B＝16，∴VA1­AB1C＝12－16－16＝16.考向4几何体的展开与折叠问题【典例4】(1)如图7­1­2所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC，OD折叠，使OA，OB重合，则以A，B，C，D，O为顶点的四面体的体积为________．图7­1­2(2)如图7­1­3所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝CC1＝3.P是BC1上一动点，沿棱柱表面使CP＋PA1最小，则最小值为________．图7­1­3[解析](1)折叠后的四面体如图所示．OA，OC，OD两两相互垂直，且OA＝OC＝OD＝22，体积V＝13S△OCD·OA＝13×12×(22)3＝823.(2)由题意知，A1P在几何体内部，把面BB1C1C沿BB1展开与面AA1B1B在一个平面上，如图所示，连结A1C即可．则A1、P、C三点共线时，CP＋PA1最小，∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝C1C＝3，∴A1B1＝AB＝42＋32＝5，∴A1C1＝5＋3＝8，∴A1C＝82＋32＝73.故CP＋PA1的最小值为73.[答案](1)823(2)73【规律方法】1．有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．2．研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．【变式训练4】(2014·南通模拟)已知三棱锥P­ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为26，则三棱锥P­ABC的体积为________．图7­1­4[解析]由条件知，表面展开图是一个等边三角形P1P2P3，设其边长为a.∵△P1P2P3的外接圆的半径R＝26.∴a＝2Rsin60°＝62.从而三棱锥P­ABC的棱长均为32，∴三棱锥的高h＝PO＝PA2－AO2＝322－62＝23.因此V三棱锥P­ABC＝13×34×(32)2×23＝9.[答案]9利用2种途径1.要注意总结一下常见的与球相切或与球内接形成的组合体中有关元素的求解．2.在正棱锥中，充分利用四个直角三角形，由高、斜高、侧棱、底面边心距、外接圆半径构成的．学会3种方法求体积的几种方法：(1)分割求和法：把不规则形体分割成规则形体，然后进行体积计算．(2)补形法：把不规则形体补成规则形体，不熟悉形体补成熟悉形体，便于计算其体积．(3)等体积法：选择合适的底面来求几何体体积的方法，常用于三棱锥．巧思妙解之4巧用点的特殊位置求解(2012·山东高考)如图7­1­5，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1­EDF的体积为________．图7­1­5【常规解法】三棱锥D1­EDF的体积即为三棱锥F­DD1E的体积．因为E，F分别为AA1，B1C上的点，所以在正方体ABCD­A1B1C1D1中△EDD1的面积为定值12，F到平面AA1D1D的距离为定值1，所以VF­DD1E＝13×12×1＝16.【巧妙解法】E点移到A点，F点移到C点，则VD1­ED