【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习 第8章 第5节 椭圆课件 理 苏教版

固基础·自主落实提知能·典例探究课后限时自测启智慧·高考研析第五节椭圆考纲传真要求内容ABC中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质√1．椭圆的定义(1)第一定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个叫做椭圆的焦点，两个的距离叫做焦距．常数定点焦点(2)第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数(e)的动点的轨迹是椭圆，定点F叫做椭圆的焦点，定直线l叫做焦点F相应的准线，根据椭圆的对称性，椭圆有两个焦点和两条准线．e012．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)图形范围≤x≤≤y≤≤x≤≤y≤顶点A1，A2B1，B2A1，A2B1，B2性质焦点F1F2F1F2(－b,0)a－bb－bb－aa(－a,0)(0，－a)(0，a)(b,0)(a,0)(－c,0)(c,0)(0，c)－a(0，－b)(0，b)(0，－c)准线l1：x＝－a2cl2：x＝a2cl1：y＝－a2cl2：y＝a2c轴长轴A1A2的长为短轴B1B2的长为焦距F1F2＝性质离心率e＝ca，且e∈2a2b2c(0,1)x＝－a2cx＝a2cy＝－a2cy＝a2ccaa，b，c的关系c2＝性质对称性对称轴：对称中心：坐标轴原点a2－b21．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)动点P到两定点A(－2,0)，B(2,0)的距离之和为4，则点P的轨迹是椭圆．()(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．()(4)已知点F为平面内的一个定点，直线l为平面内的一条定直线．设d为平面内一动点P到定直线l的距离，若d＝54|PF|，则点P的轨迹为椭圆．()[解析](1)错误，|PA|＋|PB|＝|AB|＝4，点P的轨迹为线段AB；(2)正确，根据椭圆的第一定义知PF1＋PF2＝2a，F1F2＝2c，故△PF1F2的周长为2a＋2c；(3)错误，椭圆的离心率越大，椭圆越扁．(4)正确，根据椭圆的第二定义．[答案](1)×(2)√(3)×(4)√2．(教材习题改编)焦点在x轴上的椭圆x25＋y2m＝1的离心率为105，则m＝________.[解析]由题设知a2＝5，b2＝m，c2＝5－m，e2＝c2a2＝5－m5＝(105)2＝25，∴5－m＝2，∴m＝3.[答案]33．椭圆的焦点坐标为(0，－6)，(0,6)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为20，则椭圆的标准方程为________．[解析]椭圆的焦点在y轴上，且c＝6,2a＝20，∴a＝10，b2＝a2－c2＝64，故椭圆方程为x264＋y2100＝1.[答案]x264＋y2100＝14．(2014·无锡质检)椭圆x24＋y23＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是________．[解析]直线x＝m过右焦点(1,0)时，△FAB的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a＝8，此时，|AB|＝2×b2a＝2×32＝3，∴S△FAB＝12×2×3＝3.[答案]35．(2014·江西高考)过点M(1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1，∴x1－x2x1＋x2a2＋y1－y2y1＋y2b2＝0，∴y1－y2x1－x2＝－b2a2·x1＋x2y1＋y2.∵y1－y2x1－x2＝－12，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴－b2a2＝－12，∴a2＝2b2.又∵b2＝a2－c2，∴a2＝2(a2－c2)，∴a2＝2c2，∴ca＝22.[答案]22考向1椭圆的定义与标准方程【典例1】(1)(2014·全国大纲卷改编)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为33，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为43，则C的方程为________．(2)(2014·苏州质检)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x＝－4，则该椭圆的方程为________．[解析](1)由条件知△AF1B的周长＝4a＝43，∴a＝3.∵e＝ca＝33，c2＋b2＝a2，∴c＝1，b＝2.∴椭圆C的方程为x23＋y22＝1.(2)∵椭圆的一条准线为x＝－4，∴焦点在x轴上且a2c＝4，又2c＝4，∴c＝2，∴a2＝8，b2＝4，∴该椭圆方程为x28＋y24＝1.[答案](1)x23＋y22＝1(2)x28＋y24＝1,【规律方法】(1)一般地，解决与到焦点的距离有关问题时，首先应考虑用定义来解决．(2)求椭圆的标准方程有两种方法①定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A0，B0，A≠B)．【变式训练1】(1)(2013·广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于12，则C的方程是________．(2)(2014·苏州质检)已知椭圆的方程是x2a2＋y225＝1(a＞5)，它的两个焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝8，弦AB(椭圆上任意两点的线段)过点F1，则△ABF2的周长为________．[解析](1)右焦点F(1,0)，则椭圆的焦点在x轴上；c＝1.又离心率为ca＝12，故a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x24＋y23＝1.(2)∵a＞5，∴椭圆的焦点在x轴上，∵|F1F2|＝8，∴c＝4，∴a2＝25＋c2＝41，则a＝41.由椭圆定义，|AF1|＋|AF2|＝|BF2|＋|BF1|＝2a，∴△ABF2的周长为4a＝441.[答案](1)x24＋y23＝1(2)441考向2椭圆的几何性质【典例2】(1)(2013·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2，若d2＝6d1，则椭圆C的离心率为________．(2)(2014·扬州质检)已知F1、F2是椭圆C的左、右焦点，点P在椭圆上，且满足|PF1|＝2|PF2|，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为________．[解析](1)依题意，d2＝a2c－c＝b2c.又BF＝c2＋b2＝a，所以d1＝bca.由已知可得b2c＝6·bca，所以6c2＝ab，即6c4＝a2(a2－c2)，整理可得a2＝3c2，所以离心率e＝ca＝33.(2)在三角形PF1F2中，由正弦定理得sin∠PF2F1＝1，即∠PF2F1＝π2，设|PF2|＝1，则|PF1|＝2，|F2F1|＝3，∴离心率e＝2c2a＝33.[答案](1)33(2)33,【规律方法】1．椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系．2．椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：(1)求出a，c，代入公式e＝ca；(2)只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．【变式训练2】(1)(2013·课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．(2)(2014·徐州一中抽测)已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.则椭圆离心率的范围为________．[解析](1)如图，在Rt△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，(2)∴|PF1|＝2|PF2|，且|PF2|＝33|F1F2|，又|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF2|＝23a，于是|F1F2|＝233a，因此离心率e＝ca＝3a3a＝33.(2)法一：设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a.在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2＝m2＋n2－2mncos60°＝(m＋n)2－3mn＝4a2－3mn≥4a2－3·m＋n22＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)．∴c2a2≥14，即e≥12.又0e1，∴e的取值范围是12，1.法二：如图所示，设O是椭圆的中心，A是椭圆短轴上的一个顶点，由于∠F1PF2＝60°，则只需满足60°≤∠F1AF2即可，又△F1AF2是等腰三角形，且|AF1|＝|AF2|，所以0°∠F1F2A≤60°，所以12≤cos∠F1F2A1，又e＝cos∠F1F2A，所以e的取值范围是12，1.[答案](1)33(2)12，1考向3直线与椭圆的综合问题(高频考点)命题视角直线与椭圆的综合问题，是近年来高考命题的热点，主要命题角度有：(1)由已知条件求椭圆的方程或离心率；(2)由已知条件求直线的方程；(3)中点弦或弦的中点问题；(4)弦长问题；(5)与向量结合求参变量的取值．【典例3】(2014·南京市、盐城市高三第一次模拟考试)在平面直角坐标系xOy中，已知过点1，32的椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点为F(1,0)，过焦点F且与x轴不重合的直线与椭圆C交于A，B两点，点B关于坐标原点的对称点为P，直线PA，PB分别交椭圆C的右准线l于M，N两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点B的坐标为85，335，试求直线PA的方程；(3)记M，N两点的纵坐标分别为yM，yN，试问yM·yN是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．[思路点拨](1)根据椭圆定义求出a的值，再由c＝1求出b的值，就可得到椭圆的标准方程，(2)根据条件分别解出A，P点坐标，就可写出直线PA的方程，(3)先根据直线AB垂直x轴的特殊情况下探求yM，yN的值，再利用点共线及点在椭圆上条件，逐步消元，直到定值．本题难点在如何利用条件消去参数．点共线可得到坐标关系，而利用点差法得到斜率关系是解决本题的关键．[解](1)由题意，得2a＝1－12＋32－02＋1＋12＋32－02＝4，即a＝2，又c＝1，∴b2＝3，∴椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1.(2)∵B85，335，∴P－85，－335，又F(1，0)，∴kAB＝3，∴直线AB：y＝3(x－1)，联立方程组x24＋y23＝1，y＝3x－1，解得A(0，－3)，∴直线PA：y＝－34x－3，即3x＋4y＋43＝0.(3)当kAB不存在时，易得yMyN＝－9，当kAB存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P(－x2，－y2)，∴x214＋y213＝1，x224＋y223＝1，两式相减，得x2＋x1x2－x14＝－y2＋y1y2－y13，∴y2＋y1y2－y1x2＋x1x2－x1＝－34＝kPA·kAB，令kAB＝k＝y2x2－1，则kPA＝－34k，∴直线PA方程：y＋y2＝－34k(x＋x2)，∴yM＝－34k(x2＋4)－y2，∴yM＝－3x2＋4x