【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习 第7章 第3节 直线、平面平行的判定及其性质课件 理 苏教版

固基础·自主落实提知能·典例探究课后限时自测启智慧·高考研析第三节直线、平面平行的判定及其性质考纲传真要求内容ABC直线与平面平行的判定及性质√两平面平行的判定及性质√1．直线与平面平行的判定(1)定义：直线与平面，则称直线平行于平面．(2)判定定理：若，则b∥α.2．直线与平面平行的性质定理若，则a∥b.没有公共点a⊂α，b⊄α，a∥ba∥α，a⊂β，α∩β＝b3．面面平行的判定与性质判定定义定理性质图形条件结论α∥βα∥βa∥ba∥αα∩β＝∅a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∩γ＝a，α∥β，β∩γ＝bα∥β，a⊂β4.与垂直相关的平行的判定(1)a⊥α，b⊥α⇒；(2)a⊥α，a⊥β⇒.a∥bα∥β1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果一条直线不在某个平面内，那么这条直线就与这个平面平行．()(2)过平面外一点有无数条直线与这个平面平行．()(3)若平面α内的两条直线分别与平面β平行，则α与β平行．()(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．()[解析]直线与平面相交或平行统称为直线在平面外，故(1)错；过平面外一点能作一个平面与这个平面平行，故(2)正确；平面α内的两条直线应为相交直线，故(3)错；(4)对．[答案](1)×(2)√(3)×(4)√2．(教材习题改编)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥β，n⊂β，则m∥n；④若α∥β，m⊂α，则m∥β.上面命题中正确的是________．[解析]对于命题①中，两直线m，n平行或相交或异面，故错；②中两平面还有可能相交，故错；③中m，n还有可能异面，故错；④正确．[答案]④3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系是________．[解析]如图所示，连结BD交AC于F，连结EF，则EF是△BDD1的中位线，∴EF∥BD1，又EF⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，∴BD1∥平面ACE.[答案]平行4．(2012·四川高考改编)下列命题正确的编号是________．①若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行；②若一个平面内有三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行；③若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行；④若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行．[解析]对于①，位于某一平面内的两条相交直线与该平面所成的角均为零，因此错；对于②，三点如果在同一条直线上，两平面还可能相交；对于④，借助几何图形(正方体)易知错误．[答案]③5．已知直线l，m和平面α，则下列命题正确的是________．①若l∥m，m⊂α，则l∥α；②若l∥α，m⊂α，则l∥m；③若l⊥m，l⊥α，则m∥α；④若l⊥α，m⊂α，则l⊥m.[解析]对于①，若l∥m，m⊂α，则l∥α或l⊂α，所以①错；对于②，若l∥α，m⊂α，则l∥m或l与m是异面直线，所以②错；对于③，若l⊥m，l⊥α，则m∥α或m⊂α，所以③错；对于④，若l⊥α，m⊂α，则必有l⊥m，所以④正确．[答案]④考向1线面平行的判定与性质(高频考点)命题视角线面平行的判定与性质是历年高考的重点，主要命题角度：①证明线面平行；②由线面平行证明线线平行；③线面平行的判定与性质综合应用．【典例1】(2014·徐州质检)如图7­3­1，在五面体ABCDEF中，已知DE⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD＝60°，AB＝2，DE＝EF＝1.图7­3­1(1)求证：EF∥平面ABCD；(2)求三棱锥B­DEF的体积．[思路点拨]先由线线平行证出线面平行，再由性质定理得出线线平行，从而证出线面平行．[解](1)证明：因为AD∥BC，AD⊂平面ADEF，BC⊄平面ADEF，所以BC∥平面ADEF，又BC⊂平面BCEF，平面BCEF∩平面ADEF＝EF，所以BC∥EF，又BC⊂面ABCD，EF⊄平面ABCD，所以EF∥平面ABCD.(2)在平面ABCD内作BH⊥AD于点H，因为DE⊥平面ABCD，BH⊂平面ABCD，所以DE⊥BH，又AD，DE⊂平面ADEF，AD∩DE＝D，所以BH⊥平面ADEF，所以BH是三棱锥B­DEF的高．在直角三角形ABH中，∠BAD＝60°，AB＝2，所以BH＝3，因为DE⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以DE⊥AD，又由(1)知，BC∥EF，且AD∥BC，所以AD∥EF，所以DE⊥EF，所以三棱锥B­DEF的体积V＝13×S△DEF×BH＝13×12×1×1×3＝36.【通关锦囊】判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义，一般用反证法；(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．【变式训练1】(2012·辽宁高考)如图7­3­2，直三棱柱ABC­A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA′＝1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．图7­3­2(1)证明：MN∥平面A′ACC′；(2)求三棱锥A′­MNC的体积．[解](1)证明：法一：连结AB′，AC′，如图，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABC­A′B′C′为直三棱柱，所以M为AB′的中点．又因为N为B′C′的中点，所以MN∥AC′.又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′，因此MN∥平面A′ACC′.法二：取A′B′的中点P，连结MP，NP，AB′，如图，而M，N分别为AB′与B′C′的中点，所以MP∥AA′，PN∥A′C′，所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′.又MP∩NP＝P，所以平面MPN∥平面A′ACC′.而MN⊂平面MPN，所以MN∥平面A′ACC′.(2)法一：连结BN，如图，由题意A′N⊥B′C′，平面A′B′C′∩平面B′BCC′＝B′C′，所以A′N⊥平面NBC.又A′N＝12B′C′＝1，故VA′­MNC＝VN­A′MC＝12VN­A′BC＝12VA′­NBC＝16.法二：VA′­MNC＝VA′­NBC－VM­NBC＝12VA′­NBC＝16.考向2面面平行的判定与性质【典例2】(2013·江苏高考)如图7­3­3，在三棱锥S­ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．图7­3­3求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.[证明](1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC，因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF⊂平面SAB，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.【规律方法】1．先证明F是SB的中点，从而证明EF∥平面ABC.2．证明两个平面平行的方法有：(1)用定义，此类题目常用反证法来完成证明；(2)用判定定理或推论(即“线线平行⇒面面平行”)，通过线面平行来完成证明；(3)根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明；(4)借助“传递性”来完成．【变式训练2】(2013·陕西高考)如图7­3­4，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝2.图7­3­4(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD­A1B1D1的体积．[解](1)证明：由题设知，BB1綊DD1，∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴BD∥B1D1.又BD平面CD1B1，∴BD∥平面CD1B1.∵A1D1綊B1C1綊BC，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥D1C.又A1B平面CD1B1，∴A1B∥平面CD1B1.又BD∩A1B＝B，∴平面A1BD∥平面CD1B1.(2)∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O是三棱柱ABD­A1B1D1的高．又AO＝12AC＝1，AA1＝2，∴A1O＝AA21－OA2＝1.又S△ABD＝12×2×2＝1，∴V三棱柱ABD­A1B1D1＝S△ABD·A1O＝1.考向3线面平行中的探索问题【典例3】(2014·四川高考)在如图7­3­5所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．图7­3­5(1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．[解](1)证明：因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC.因为AB，AC为平面ABC内两条相交的直线，所以AA1⊥平面ABC.因为直线BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC.又由已知，AC⊥BC，AA1，AC为平面ACC1A1内两条相交的直线，所以BC⊥平面ACC1A1.(2)取线段AB的中点M，连结A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点．由已知，O为AC1的中点．连结MD，OE，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，所以MD綊12AC，OE綊12AC，因此，MD綊OE.连结OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则DE∥MO.因为直线DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC，所以直线DE∥平面A1MC.即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE∥平面A1MC.【规律方法】1．通过“中点找中点”的办法，取AB的中点证明．2．解决探究问题一般要采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了符合结果要求的条件，则存在，否则就不存在．【变式训练3】(2014·扬州模拟)如图7­3­6所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．图7­3­6[解]法一：存在点E，且E为AB的中点时，DE∥平面AB1C1，下面给出证明：如图，取BB1的中点F，连结DF，则DF∥B1C1，∵AB的中点为E，连结EF，则EF∥AB1，B1C1∩AB1＝B1，∴平面DEF∥平面AB1C1.而DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.法二：假设在棱AB上存在点E，使得DE∥平面AB1C1，如图，取BB1的中点F，连结DF、EF，则DF∥B1C1，又DF⊄平面AB1C1，∴DF∥平面AB1C1，又DE∥平面AB1C1，DE∩DF＝D，∴平面DEF∥平面AB1C1，∵EF⊂平面DEF，∴EF∥平面AB1C1，又∵EF⊂平面ABB1，平面ABB1∩平面AB1C1＝AB1，∴EF∥AB1，∵点F是BB1的中点，∴点E是AB的中点．即当点E是AB的中点时，DE∥平面AB1C1.明确1个关系三种平行间的转化关系做到2个防范1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．2.线面平行的性质定理的符号语言为：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b，三个条件缺一不可．规范解答之9如何作答平行关系证明题(14分)(2014·课标全国卷Ⅱ)如图7­3­7，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．图7­3­7(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设AP＝1，AD＝3，三棱锥P­ABD的体积V＝34，求A到平面PBC的距离．——————[规范解答示例]———————(1)设BD与AC的交点为O