【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习 第7章 第4节 直线、平面垂直的判定及其性质课件 理 苏教版

固基础·自主落实提知能·典例探究课后限时自测启智慧·高考研析第四节直线、平面垂直的判定及其性质考纲传真要求内容ABC直线与平面垂直的判定及性质√两平面垂直的判定及性质√1．直线与平面垂直(1)定义：如果一条直线a与一个平面α内的一条直线都垂直，就说直线a与平面α互相垂直．(2)判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条垂直，那么这条直线垂直于这个平面．(3)性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线．任意相交直线平行2．直线和平面所成的角(1)平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的，叫做这条直线与这个平面所成的角．(2)一条直线平面，则称它们所成的角是；一条直线与平面或，则称它们所成的角是0°的角．锐角垂直直角平行在平面内3．二面角的有关概念(1)二面角：一条直线和由这条直线出发的所组成的图形叫做二面角．二面角的范围是．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．两个半平面[0，π]垂直于棱4．平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理：如果一个平面经过另一个平面的，那么这两个平面互相垂直．(3)性质定理：如果两个平面互相，那么在一个平面内的直线垂直于另一个平面．直二面角一条垂线垂直垂直于它们交线1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)经过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直．()(2)如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直，它必和另一个平面平行．()(3)若一条直线和平面内的无数条直线垂直，则这条直线必和这个平面垂直．()(4)若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．()[解析](1)中过平面外一点能作无数个平面与已知平面垂直，故错；(2)中的这条直线也有可能在另一个平面内，故错；(3)中不符合有两相交直线这个条件，故错；(4)符合面面垂直的性质定理．[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材习题改编)设l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：(1)若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；(2)若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；(3)若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n；(4)若m∥α，α⊥β，则m⊥β.其中所有正确命题的序号是________．[解析](1)中缺少条件m与n相交，故(1)错误；(2)中两平面α，β也有可能相交，故(2)错误；(3)符合直线与平面垂直的性质定理及平行公理，故(3)正确；(4)中m可能与β平行，可能在β内，也可能与β相交，故(4)错误．[答案](3)3.如图7­4­1，沿等腰三角形ABC底边上的高AD，把△ABC折成二面角B­AD­C，则下列说法中正确的是________．图7­4­1①平面ABD和平面BDC可能不垂直；②平面ADC和平面BDC可能不垂直；③平面ABD和平面ADC只能有一个与平面BDC不垂直；④平面ABD和平面ADC都与平面BDC垂直．[解析]由AD为△ABC底面上的高知，折成二面角后，仍有AD⊥BD，AD⊥CD，且BD∩CD＝D，所以AD⊥面BDC，故①②③均不正确．[答案]④4．(2014·浙江高考改编)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥n，n∥α，则m⊥α；②若m∥β，β⊥α，则m⊥α；③若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α；④若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α.其中所有正确命题的序号是________．[解析]命题①②④中m均可能与平面α平行、垂直、斜交或在平面α内，故①②④均错．[答案]③5．(2014·苏锡、常镇四市调研)四棱锥P­ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，且PA＝4，则PC与底面ABCD所成角的正切值为________．[解析]连结PC，则∠PCA即为PC与底面ABCD所成的角，tan∠PCA＝PAAC＝422＝2.[答案]2考向1线面垂直的判定与性质【典例1】(2014·重庆高考)如图7­4­2，四棱锥P­ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝π3，M为BC上一点，且BM＝12.图7­4­2(1)证明：BC⊥平面POM；(2)若MP⊥AP，求四棱锥P­ABMO的体积．[解](1)证明：如图，因为四边形ABCD为菱形，O为菱形中心，连结OB，则AO⊥OB.因为∠BAD＝π3，故OB＝AB·sin∠OAB＝2sinπ6＝1.又因为BM＝12，且∠OBM＝π3，在△OBM中，OM2＝OB2＋BM2－2OB·BM·cos∠OBM＝12＋122－2×1×12×cosπ3＝34.所以OB2＝OM2＋BM2，故OM⊥BM.又PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BC.从而BC与平面POM内两条相交直线OM，PO都垂直，所以BC⊥平面POM.(2)由(1)可得，OA＝AB·cos∠OAB＝2·cosπ6＝3.设PO＝a，由PO⊥底面ABCD知，△POA为直角三角形，故PA2＝PO2＋OA2＝a2＋3.由△POM也是直角三角形，故PM2＝PO2＋OM2＝a2＋34.连结AM.在△ABM中，AM2＝AB2＋BM2－2AB·BM·cos∠ABM＝22＋122－2·2·12·cos2π3＝214.由已知MP⊥AP，故△APM为直角三角形，则PA2＋PM2＝AM2，即a2＋3＋a2＋34＝214，得a＝32，a＝－32(舍去)，即PO＝32.此时S四边形ABMO＝S△AOB＋S△OMB＝12·AO·OB＋12·BM·OM＝12×3×1＋12×12×32＝538.所以四棱锥P­ABMO的体积VP­ABMO＝13·S四边形ABMO·PO＝13×538×32＝516.【规律方法】1．证明直线和平面垂直的常用方法：(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；(3)面面垂直的性质定理．2．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．【变式训练1】(2014·扬州市期末考试)如图7­4­3，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F为线段AC上一点．图7­4­3(1)求证：BD⊥EF；(2)若EF∥平面PBD，求AFFC的值．[解](1)因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD.因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD.又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.因为EF⊂平面PAC，所以BD⊥EF.(2)设AC与BD交于点O，连结PO.因为EF∥平面PBD，平面PAC∩平面PBD＝PO，且EF⊂平面PAC，所以EF∥PO.又E是PC的中点，所以OF＝FC，所以AF＝3FC，即AFFC＝3.考向2面面垂直的判定与性质【典例2】(2014·淮安、宿迁高三摸底)如图7­4­4，在三棱锥P­ABC中，平面ABC⊥平面PAC，AB＝BC，E，F分别是PA，AC的中点，求证：图7­4­4(1)EF∥平面PBC；(2)平面BEF⊥平面PAC.[解](1)∵E，F分别是PA，AC的中点，∴EF∥PC.∵PC⊂平面PBC，EF⊄平面PBC，∴EF∥平面PBC.(2)∵AB＝BC，F是AC的中点，∴BF⊥AC，∵平面ABC⊥平面PAC，平面ABC∩平面PAC＝AC，BF⊂平面ABC，∴BF⊥平面PAC.∵BF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面PAC.【规律方法】1．解答本题(2)的关键是先利用平面与平面垂直的性质定理得出BF⊥平面PAC.2．证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也可简单地记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键．【变式训练2】如图7­4­5，在四棱锥P­ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：图7­4­5(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.[解](1)在△PAD中，∵E，F分别为AP，AD的中点，∴EF∥PD.又EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，∴直线EF∥平面PCD.(2)连结BD.∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD为正三角形．∵F是AD的中点，∴BF⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BF⊥平面PAD.又BF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面PAD.考向3直线、平面垂直的综合应用(高频考点)命题视角线面垂直和面面垂直是历年高考重点主要命题角度：①证明线面垂直；②证明线线垂直；③证明面面垂直．【典例3】(2013·北京高考)如图7­4­6，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：图7­4­6(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.[思路点拨]先由已知面面垂直得出线面垂直(1)得证；结合(1)及条件可以证出CD⊥平面PAD，进一步可证明CD⊥平面BEF.[解](1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四边形ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF.所以CD⊥EF.又因为CD⊥BE，EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.所以平面BEF⊥平面PCD.【通关锦囊】1．证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)．2．在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．【变式训练3】(2014·淮安调研)如图7­4­7，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，BP＝BC，E为PC的中点．图7­4­7(1)求证：AP∥平面BDE；(2)求证：BE⊥平面PAC.[解](1)设AC∩BD＝O，连结OE.因为ABCD为矩形，所以O是AC的中点．因为E是PC中点，所以OE∥AP.因为AP⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，所以AP∥平面BDE.(2)因为平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以BC⊥平面PAB.因为AP⊂平面PAB，所以BC⊥PA.因为PB⊥PA，BC∩PB＝B，BC⊂平面PBC，PB⊂平面PBC，所以PA⊥平面PBC.因为BE⊂平面PBC，所以PA⊥BE.因为BP＝BC，且E为PC中点，所以BE⊥PC.因为PA∩PC＝P，PA⊂平面PAC，PC⊂平面PAC.所以BE⊥平面PAC.明确1种关系垂直问题的转化关系掌握3类证法1.证明线线垂直的方法(1)定义：两条直线所成的角为90°；(2)平面几何中证明线线垂直的方法；(3)线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；(4)线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.2．证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义：a与α内任何直线都垂直⇒a⊥α；(2)判定定理1：m、n⊂α，m∩