【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习 第7章 第5节 空间向量及其运算课件 理 苏教版解析

固基础·自主落实提知能·典例探究课后限时自测启智慧·高考研析第五节空间向量及其运算理考纲传真要求内容ABC空间向量的概念√√空间向量共线、共面的充分必要条件√空间向量的加法、减法及数乘运算√空间向量的坐标表示√空间向量的数量积1．空间向量的有关概念(1)空间向量：既有大小又有方向的量．(2)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定零向量与共线．(3)共面向量：能平移到内的向量叫做共面向量．互相平行或重合任意向量同一平面2．空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝.b＝λaxa＋yb(3)空间向量基本定理及其推论①定理：如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使p＝.②推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得OP→＝.xe1＋ye2＋ze3xOA→＋yOB→＋zOC→3．两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积a·b＝．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.|a||b|cos〈a，b〉4．空间向量的坐标运算a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)向量和a＋b＝向量差a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数量积a·b＝共线a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)垂直a⊥b⇔夹角公式Cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23b21＋b22＋b23(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)a1b1＋a2b2＋a3b3a1b1＋a2b2＋a3b3＝01．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间中任意两非零向量a，b共面．()(2)对任意两个空间向量a，b，若a·b＝0，则a⊥b.()(3)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量．()(4)若a·b0，则〈a，b〉是钝角．()[解析](3)中a，b，c均不能为零向量，故错；(4)中当a，b反向时满足a·b0，但此时夹角为π，故错．[答案](1)√(2)×(3)×(4)×[答案]－23a－23b＋23c2．(教材习题改编)已知四棱锥P­ABCD的底面是平行四边形，E为棱PC上的点，CE＝2EP，若AB→＝a，AD→＝b，AP→＝c，则CE→＝________(用a，b，c表示)．[解析]如图所示，CE→＝23CP→＝23(CB→＋BA→＋AP→)＝23(－b－a＋c)＝－23a－23b＋23c.3．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量AB→与向量AC→的夹角为________．[解析]∵AB→＝(0,3,3)，AC→＝(－1,1,0)，cos〈AB→，AC→〉＝332·2＝12，∴〈AB→，AC→〉＝60°.[答案]60°4．已知空间三点A，B，C的坐标分别为(0,0,2)，(2,2,0)，(－2，－4，－2)，点P在xOy平面上且PA⊥AB，PA⊥AC，则P点坐标为________．[解析]设P(a，b,0)，AP→＝(a，b，－2)，AB→＝(2,2，－2)，AC→＝(－2，－4，－4)，由PA⊥AB，PA⊥AC得a＋b＋2＝0和a＋2b－4＝0解得a＝－8，b＝6.[答案](－8,6,0)5．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若三个向量a，b，c共面，则实数λ＝________.[解析]因为a，b，c共面，所以必存在实数m，n，使得c＝ma＋nb，得7＝2m－n，5＝－m＋4n，λ＝3m－2n，解得λ＝657.[答案]657考向1空间向量的线性运算【典例1】已知ABCD为正方形，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值：图7­5­1(1)OQ→＝PQ→＋xPC→＋yPA→；(2)PA→＝xPO→＋yPQ→＋PD→.[解](1)∵OQ→＝PQ→－PO→＝PQ→－12(PA→＋PC→)＝PQ→－12PA→－12PC→，∴x＝y＝－12.(2)∵PA→＋PC→＝2PO→，∴PA→＝2PO→－PC→.∵PC→＋PD→＝2PQ→，∴PC→＝2PQ→－PD→，∴PA→＝2PO→－(2PQ→－PD→)＝2PO→－2PQ→＋PD→，∴x＝2，y＝－2.【规律方法】1．利用向量的加减运算和数乘运算求解．2．用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，充分利用空间向量的线性运算和运算律．【变式训练1】如图7­5­2所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，M是C1D1的中点，点N是CA1上的点，且CN∶NA1＝4∶1，用a，b，c表示以下向量：(1)AM→；(2)AN→.图7­5­2[解](1)AM→＝12(AC1→＋AD1→)＝12[(AB→＋AD→＋AA1→)＋(AD→＋AA1→)]＝12(AB→＋2AD→＋2AA1→)＝12a＋b＋c.(2)AN→＝AC→＋CN→＝AC→＋45(AA1→－AC→)＝15AC→＋45AA1→＝15AB→＋15AD→＋45AA1→＝15a＋15b＋45c.考向2共线向量与共面向量定理的应用【典例2】(1)如果A(m＋1，n－1,3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3,9)三点共线，那么m＋n＝________.(2)已知A，B，C三点不共线，O为A，B，C三点确定的平面外一点，分别在下列条件下，判断点P是否一定与A，B，C共面？①OP→＝25OA→＋15OB→＋25OC→；②OP→＝2OA→－2OB→－OC→.[解析](1)设AB→＝λAC→，得(m－1,1，m－2n－3)＝λ(2，－2,6)，所以m－1＝2λ，1＝－2λ，m－2n－3＝6λ，解得m＝0，n＝0.[答案]0(2)①由OP→＝25OA→＋15OB→＋25OC→，且25＋15＋25＝1，所以由共面向量定理的推论知P与A，B，C共面．②因为2－2－1＝－1≠1，所以P与A，B，C三点一定不共面．【规律方法】1．“三点共线”可以转化为“两向量共线”；点共面问题可转化为向量共面问题．2．应用共线(面)向量定理、证明点共线(面)的方法比较三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面PA→＝λPB→MP→＝xMA→＋yMB→对空间任一点O，OP→＝OA→＋tAB→对空间任一点O，OP→＝OM→＋xMA→＋yMB→对空间任一点O，OP→＝xOA→＋(1－x)OB→对空间任一点O，OP→＝xOM→＋yOA→＋(1－x－y)OB→【变式训练2】已知两个非零向量a，b不共线，如果AB→＝a＋b，AC→＝2a＋8b，AD→＝3a－3b，求证：A，B，C，D四点在同一平面上．[证明]设存在实数λ，μ，使得AD→＝λAB→＋μAC→，则λ＋2μ＝3，λ＋8μ＝－3，解得λ＝5，μ＝－1，故A，B，C，D四点共面．考向3空间向量的数量积及其应用(高频考点)命题视角空间向量的数量积及其应用是历年高考的重点，主要命题角度：①空间线面关系的判定；②求向量的夹角；③距离问题．【典例3】如图7­5­3，已知线段AB⊥平面α，BC⊂α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，求AD的两点间的距离．图7­5­3[思路点拨]选取AD→，将AD→表示为几个已知向量和的形式，求这几个已知向量的两两间夹角，利用公式|a|＝a·a，求AD→的模．[解]∵AD→＝AB→＋BC→＋CD→，∴|AD→|2＝|AB→|2＋|BC→|2＋|CD→|2＋2AB→·BC→＋2AB→·CD→＋2BC→·CD→.①∵AB＝BC＝CD＝2，∴|AB→|＝|BC→|＝|CD→|＝2.②又∵AB⊥α，BC⊂α，∴AB⊥BC，∴AB→·BC→＝0.③∵CD⊥BC，∴CD→·BC→＝0.④把②③④代入①可得|AD→|2＝12＋8cos〈AB→，CD→〉，⑤由∠DCF＝30°，从而∠CDF＝60°.又∵AB⊥α，DF⊥α，∴AB∥DF，∴〈AB→，DC→〉＝60°，∴〈AB→，CD→〉＝120°，代入⑤得|AD→|2＝12＋8cos120°＝8，∴|AD→|＝22，即A，D两点间的距离为22.【通关锦囊】1．利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．2．利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题：(1)a≠0，b≠0，a⊥b⇔a·b＝0；(2)|a|＝a2；(3)cos〈a，b〉＝a·b|a||b|.【变式训练3】如图7­5­4所示，在空间四边形OABC中，OA，OB，OC两两成60°角，且OA＝OB＝OC＝2，E为OA中点，F为BC中点，求E，F间的距离．图7­5­4[解]∵EF→＝EA→＋AF→＝12OA→＋12(AB→＋AC→)＝12OA→＋12[(OB→－OA→)＋(OC→－OA→)]＝－12OA→＋12OB→＋12OC→，∴|EF→|2＝14OA→2＋14OB→2＋14OC→2＋2×－12×12OA→·OB→＋2×－12×12OA→·OC→＋2×12×12OB→·OC→＝14×4＋14×4＋14×4－12×2×2cos60°－12×2×2cos60°＋12×2×2cos60°＝2，∴EF＝|EF→|＝2.了解1个拓展空间向量是平面向量的拓展，对空间向量的研究与平面向量进行类比可事半功倍．明确1种意识用向量解决立体几何问题应树立“基底”的意识．熟记1种方法用向量解决立体几何问题时，可用基向量的运算求解，适于建系的可用坐标运算求解．做到3个防范1.注意向量夹角的确定，避免首尾相连的向量夹角确定错误．2.注意向量夹角与两直线夹角的区别．3.注意向量共线与两直线平行与重合的区别．思想方法之15合理选取基底求解立体几何问题(2012·浙江高考改编)已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下面四种描述正确的是________(填序号)．①存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直；②存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直；③存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直；④对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直．[解析]如图，在图(1)中，易知AE＝CF＝63，BE＝EF＝FD＝33.在图(2)中，设AE→＝a，EF→＝b，FC→＝c，则a，b＝b，c＝90°，a，c＝θ，则AC→＝a＋b＋c，BD→＝3b，故AC→·BD→＝3b2＝1≠0，故AC与BD不垂直，①不正确．AB→＝AE→＋EB→＝a－b，CD→＝CF→＋FD→＝b－c，所以AB→·CD→＝－a·c－b2＝－23cosθ－13.当cosθ＝－12，即θ＝2π3时，AB→·CD→＝0，故②正确．AD→＝AE→＋ED→＝a＋2b，BC→＝BF→＋FC→＝2b＋c，所以AD→·BC→＝a·c＋4b2＝23cosθ＋43＝23(cosθ＋2)，故无论θ为何值AD→·BC→≠0，故③不正确，④显然不正确．[答案]②【智慧心语】易错提示：(1)不能通过分析找出基底{AE→，EF→，FC→}，将问题转化为变量θ的取值问题，而无从下手．(2)没有求出AE、EF、BE、FD、FC的长，从而在问题解决中涉及到的变量过多，而无法完成求解．防范措施：(1)用向量法解决立体几何问题的关键是找到基底，且该基底既能反映条件的特征，也能方便地与结论联系；例如本题中，翻折过程中二面角A­BD­C大小在变化，即π－θ在变化，因此以AE→