2013高考数学一轮复习课件：第四节直线与圆、圆与圆的位置关系

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系抓基础明考向提能力教你一招我来演练第八章平面解析几何[备考方向要明了]考什么1.能判断直线与圆、圆与圆的位置关系．2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．3.初步了解用代数方法处理几何问题.怎么考1.直线与圆的位置关系，特别是直线与圆相切一直是高考考查的重点和热点．2.多以选择题和填空题的形式出现，有时也出现在综合性较强的解答题中.一、直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)相离相切相交图形量化方程观点000几何观点drdrdr＜＝＞＞＝＜二、圆与圆的位置关系(⊙O1、⊙O2半径r1、r2，d＝|O1O2|)相离外切相交内切内含图形量的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|1．(教材习题改编)直线l：y－1＝k(x－1)和圆x2＋y2－2y＝0的位置关系是()A．相离B．相交C．相切D．相切或相交答案：B解析：圆心(0,1)半径r＝1，则圆心到直线l的距离d＝|k|1＋k21.2．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为()A．x＋3y－2＝0B．x＋3y－4＝0C．x－3y＋4＝0D．x－3y＋2＝0解析：设切线方程为y－3＝k(x－1)，由d＝r，可求得k＝33.故方程为x－3y＋2＝0.答案：D3．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有()A．1条B．2条C．3条D．4条答案：B解析：可判断圆C1与C2相交，故公切线有两条．4．(教材习题改编)直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＋4x－4y－8＝0截得的弦长等于________．解析：由题意知圆心为(－2,2)，r＝4.则圆心到直线的距离d＝2.又∵r＝4，∴|AB|＝214.答案：2145．已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，则两圆的公共弦所在的直线方程为________，公共弦长为________．解析：设两圆的交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则A、B两点满足方程x2＋y2＋2x－6y＋1＝0与x2＋y2－4x＋2y－11＝0，将两个方程相减得3x－4y＋6＝0，即为两圆公共弦所在直线的方程．易知圆C1的圆心(－1,3)，半径r＝3，用点到直线的距离公式可以求得点C1到直线的距离为：d＝|－1×3－4×3＋6|32＋42＝95.所以利用勾股定理得到AB＝2r2－d2＝245，即两圆的公共弦长为245.答案：3x－4y＋6＝02451．圆的切线问题(1)过圆x2＋y2＝r2(r0)上一点，点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2；(2)过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外一点M(x0，y0)引切线，有两条，求方程的方法是待定系数法，切点为T的切线长公式为|MT|＝x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＝|MC|2－r2(其中C为圆C的圆心，r为其半径)．2．两圆的方程组成的方程组有一解或无解时．不能准确地判定两圆的位置关系，当两圆方程组成的方程组有一解时，两圆有外切和内切两种可能情况．当方程组无解时，两圆有相离和内含两种可能情况．[精析考题][例1](2011·江西高考)若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是()A．(－33，33)B．(－33，0)∪(0，33)C．[－33，33]D．(－∞，－33)∪(33，＋∞)[自主解答]整理曲线C1方程得，(x－1)2＋y2＝1，知曲线C1为以点C1(1,0)为圆心，以1为半径的圆；曲线C2则表示两条直线，即x轴与直线l：y＝m(x＋1)，显然x轴与圆C1有两个交点，知直线l与x轴相交，故有圆心C1到直线l的距离d＝|m1＋1－0|m2＋1r＝1，解得m∈(－33，33)，又当m＝0时，直线l与x轴重合，此时只有两个交点，应舍去．[答案]B本例条件中“有四个交点”变为“有且只有两个交点”，再求m的取值范围．解：由曲线C2知为x轴与y＝m(x＋1)，作图分析知．曲线C1与x轴必有两个交点．故只需保证y＝m(x＋1)与圆C1无交点或过圆心即可∴由|2m|m2＋1r或m＝0得m＝0或m33或m－33，即此时m的取值范围是m＝0或m33或m－33.[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)1．(2012·台州模拟)圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为()A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能答案：C解析：∵圆的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，∴圆心为(1，－2)，半径r＝3.又圆心在直线2tx－y－2－2t＝0上，∴圆与直线相交．2．(2012·绍兴一中模拟)直线x＋7y－5＝0截圆x2＋y2＝1所得的两段弧长之差的绝对值是()A.π4B.π2C．πD.3π2答案：C解析：如图，OC＝|5|1＋49＝22，OB＝1，∴∠BOC＝π4，∠AOB＝π2.∴劣弧AB的长为π2，优弧AB＝3π2，∴3π2－π2＝π.[冲关锦囊]判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法(1)代数法：――――――→判别式Δ＝b2－4ac0⇔相交，＝0⇔相切，0⇔相离.(2)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：dr⇔相交，d＝r⇔相切，dr⇔相离.[精析考题][例2](2011·新课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．[自主解答](1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设圆C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(22)2＋t2，解得t＝1.则圆C的半径为32＋t－12＝3.所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组：x－y＋a＝0，x－32＋y－12＝9.消去y，得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.由已知可得，判别式Δ＝56－16a－4a20.因此x1＋x2＝4－a，x1x2＝a2－2a＋12.①由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0，又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.②由①②得a＝－1，满足Δ0，故a＝－1.[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)3．(2012·广州模拟)已知直线l经过坐标原点，且与圆x2＋y2－4x＋3＝0相切，切点在第四象限，则直线l的方程为()A．y＝－3xB．y＝3xC．y＝－33xD．y＝33x解析：如图所示，可知AC＝1，CO＝2，AO＝3，∴tan∠AOC＝33，所以切线为y＝－33x.答案：C4．(2012·枣庄模拟)已知直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥23，则k的取值范围为()A．[－34，0]B．[－34，1]C．[2，2]D．[－34，12]解析：若|MN|≥23，则圆心(3,2)到直线y＝kx＋3的距离小于等于1，即|3k＋1|k2＋1≤1，解得k∈[－34，0]．答案：A[冲关锦囊]1．圆的弦长的常用求法(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则(l2)2＝r2－d2(2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式：|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2].注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题．2．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上．然后设出切线方程，用待定系数法求解．注意斜率不存在情形.[精析考题][例3](2011·全国高考)设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝()A．4B．42C．8D．82[答案]C[自主解答]依题意，可设圆心坐标为(a，a)、半径为r，其中r＝a0，因此圆方程是(x－a)2＋(y－a)2＝a2，由圆过点(4,1)得(4－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－10a＋17＝0，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，|C1C2|＝2×102－4×17＝8.[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)5．(2012·江南十校联考)圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是()A．相离B．相交C．外切D．内切答案：B解析：圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径为r1＝1，圆O2的圆心坐标为(0,2)，半径r2＝2，故两圆的圆心距|O1O2|＝5，而r2－r1＝1，r1＋r2＝3，则有r2－r1|O1O2|r1＋r2，故两圆相交．6．(2012·皖南八校联考)已知点P(1，－2)，以Q为圆心的圆Q：(x－4)2＋(y－2)2＝9，以PQ为直径作圆与圆Q交于A、B两点，连接PA，PB，则∠APB的余弦值为________．解析：由题意可知QA⊥PA，QB⊥PB，故PA，PB是圆Q的两条切线，由以上知∠APB＝2∠APQ，在直角三角形APQ中：PQ＝4－12＋42＝5.AQ＝3.∴AP＝4.∴cos∠APB＝2cos2∠APQ－1＝2×(45)2－1＝725.答案：725[冲关锦囊]判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2、y2项得到．易错矫正忽视直线的斜率不存在致误[考题范例](2012·东城模拟)直线l过点(－4,0)且与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25交于A，B两点，如果|AB|＝8，那么直线l的方程为()A．5x＋12y＋20＝0B．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0C．5x－12y＋20＝0D．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0[失误展板]错解：设直线方程为y＝k(x＋4)∵圆心(－1,2)，r＝5，由被圆截得的弦长为8∴圆心(－1,2)到y＝k(x＋4)的距离为3.即|3k－2|1＋k2＝3.∴k＝－512.即直线方程为5x＋12y＋20＝0.错因：上述解法不正确的主要原因在于误认为斜率k一定存在．对于过定点的动直线，设出直线方程时，可结合题意或作出符合题意的图形分析斜率k是否存在．否则易由于思维不全面而致错．[正确解答]过点(－4,0)的直线若垂直于x轴，经验证符合条件，即方程为x＋4＝0满足题意；若存在斜率，设其直线方程为y＝k(x＋4)，由被圆截得的弦长为8，可得圆心(－1,2)到直线y＝k(x＋4)的距离为3，即|3k－2|1＋k2＝3，解得k＝－512，此时直线方程为5x＋12y＋20＝0，综上直线方程为5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0.答案：D点击此图进入