2013高考数学专题闯关教学课件：等差数列、等比数列(共32张PPT)

等差数列、等比数列主干知识整合1．等差数列(1)定义式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．(2)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.(3)前n项和公式：Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－1d2.(4)等差中项公式：2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)．(5)性质：①an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．②若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．注意：为了方便，有时等差数列的通项公式也可写成an＝pn＋q的形式，前n项和的公式可写成Sn＝An2＋Bn的形式(p，q，A，B为常数)．2．等比数列(1)定义式：an＋1an＝q(n∈N*，q为非零常数)．(2)通项公式：an＝a1qn－1.(3)前n项和公式：Sn＝na1q＝1，a11－qn1－qq≠1.(4)等比中项公式：a2n＝an－1an＋1(n∈N*，n≥2)．(5)性质：①an＝amqn－m(n，m∈N*)．②若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq(p，q，m，n∈N*)．注意：(1)a2n＝an－1an＋1是an－1，an，an＋1成等比数列的必要不充分条件．(2)利用等比数列前n项和的公式求和时，不可忽视对公比q是否为1的讨论．高考热点讲练等差与等比数列的基本运算例1设数列{an}是等差数列，数列{bn}的前n项和为Sn＝23(bn－1)，若a2＝b1，a5＝b2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和Sn.【解】(1)∵S1＝23(b1－1)＝b1，∴b1＝－2.又S2＝23(b2－1)＝b1＋b2＝－2＋b2，∴b2＝4，∴a2＝－2，a5＝4.∵数列{an}为等差数列，∴公差d＝a5－a23＝63＝2，即an＝－2＋(n－2)·2＝2n－6.(2)∵Sn＋1＝23(bn＋1－1)①，Sn＝23(bn－1)②，①－②得Sn＋1－Sn＝23(bn＋1－bn)＝bn＋1，∴bn＋1＝－2bn，∴数列{bn}是等比数列，公比q＝－2，b1＝－2，即bn＝(－2)n.∴Sn＝23[(－2)n－1]．【归纳拓展】利用等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，由五个量a1，d(q)，n，an，Sn中的三个量可求其余两个量，即“知三求二”，体现了方程思想．解答等差、等比数列的有关问题时，“基本量”(等差数列中的首项a1和公差d或等比数列中的首项a1和公比q)法是常用方法．变式训练1等比数列{an}中，已知a3＝8，a6＝64.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.解：(1)设{an}的首项为a1，公比为q.由已知得8＝a1q2,64＝a1q5，解得q＝2，a1＝2.∴an＝2n.(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32.设{bn}的公差为d，则有b1＋2d＝8，b1＋4d＝32，解得b1＝－16，d＝12.从而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28.所以数列{bn}的前n项和Sn＝n－16＋12n－282＝6n2－22n.等差、等比数列的判定与证明例2已知数列{an}与{bn}满足bnan＋an＋1＋bn＋1an＋2＝0，bn＝3＋－1n2，n∈N*，且a1＝2，a2＝4.(1)求a3，a4，a5的值；(2)设cn＝a2n－1＋a2n＋1，n∈N*，证明{cn}是等比数列．【解】(1)由bn＝3＋－1n2，n∈N*，可得bn＝1，n为奇数，2，n为偶数.又bnan＋an＋1＋bn＋1an＋2＝0，当n＝1时，a1＋a2＋2a3＝0，由a1＝2，a2＝4，可得a3＝－3；当n＝2时，2a2＋a3＋a4＝0，可得a4＝－5；当n＝3时，a3＋a4＋2a5＝0，可得a5＝4.(2)证明：对任意n∈N*，a2n－1＋a2n＋2a2n＋1＝0，①2a2n＋a2n＋1＋a2n＋2＝0，②a2n＋1＋a2n＋2＋2a2n＋3＝0.③②－③，得a2n＝a2n＋3.④将④代入①，可得a2n＋1＋a2n＋3＝－(a2n－1＋a2n＋1)，即cn＋1＝－cn(n∈N*)．又c1＝a1＋a3＝－1，故cn≠0，因此cn＋1cn＝－1，所以{cn}是等比数列．【归纳拓展】判断或证明某数列是等差(比)数列有两种方法：①定义法；②中项法．定义法要紧扣定义，注意n的范围．若要否定某数列是等差(比)数列，只需举一组反例即可．对于探索性问题，由前三项成等差(比)确定参数后，要用定义证明．在客观题中也可通过通项公式，前n项和公式判断数列是否为等差(比)数列．变式训练2已知数列{an}和{bn}满足a1＝m，an＋1＝λan＋n，bn＝an－2n3＋49.(1)当m＝1时，求证：对于任意的实数λ，数列{an}一定不是等差数列；(2)当λ＝－12时，试判断数列{bn}是否为等比数列．解：(1)证明：当m＝1时，a1＝1，a2＝λ＋1，a3＝λ(λ＋1)＋2＝λ2＋λ＋2.假设数列{an}是等差数列，由a1＋a3＝2a2，得λ2＋λ＋3＝2(λ＋1)，即λ2－λ＋1＝0，Δ＝－30，∴方程无实根．故对于任意的实数λ，数列{an}一定不是等差数列．(2)当λ＝－12时，an＋1＝－12an＋n，bn＝an－2n3＋49.bn＋1＝an＋1－2n＋13＋49＝－12an＋n－2n＋13＋49＝－12an＋n3－29＝－12an－2n3＋49＝－12bn，b1＝a1－23＋49＝m－29.∴当m≠29时，数列{bn}是以m－29为首项，－12为公比的等比数列；当m＝29时，数列{bn}不是等比数列．等差、等比数列的性质例3设等比数列{an}的公比为q(q0)，它的前n项和为40，前2n项和为3280，且前n项中数值最大的项为27，求数列的第2n项．【解】若q＝1，则na1＝40,2na1＝80，与2na1＝3280矛盾，∴q≠1，∴a11－qn1－q＝40，①a11－q2n1－q＝3280.②②①得1＋qn＝82，∴qn＝81.③将③代入①，得q＝1＋2a1.④又∵q0，由已知条件可得q1，∴a10，{an}为递增数列，∴an＝a1qn－1＝27.⑤由③④⑤得q＝3，a1＝1，n＝4，∴a2n＝a8＝1×37＝2187.【归纳拓展】等差数列与等比数列有很多类似的性质，抓住这些性质可以简化运算过程．例如当p＋q＝m＋n时，在等差数列{an}中有ap＋aq＝am＋an，而在等比数列{bn}中有bp·bq＝bm·bn.这些公式自己结合这两种数列的通项公式推导后可以加强记忆与理解．变式训练3设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，已知a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，若对任意n∈N*，都有Sn≤Sk成立，则k的值为()A．22B．21C．20D．19解析：选C.记数列{an}的公差为d，依题意得3d＝－6，d＝－2.又a1＋a4＋a7＝3a4＝3(a1＋3d)＝3(a1－6)＝99，所以a1＝39，故an＝a1＋(n－1)d＝41－2n.令an0得n20.5，即数列{an}的前20项均为正数，第21项及以后各项均为负数，因此当n＝20时，Sn取得最大值，因此满足题意的k的值是20.考题解答技法例(本题满分12分)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列Sn＋54是等比数列．【解】(1)设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d，依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.1分所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d.2分依题意，有()7－d()18＋d＝100，解得d＝2或d＝－13()舍去.3分故{bn}的第3项为5，公比为2.由b3＝b1·22，即5＝b1·22，解得b1＝54.4分所以{bn}是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为bn＝54·2n－1＝5·2n－3.6分(2)证明：数列{bn}的前n项和Sn＝54()1－2n1－2＝5·2n－2－54，8分即Sn＋54＝5·2n－2.9分所以S1＋54＝52，Sn＋1＋54Sn＋54＝5·2n－15·2n－2＝2.11分因此{Sn＋54}是以52为首项，2为公比的等比数列．…12分【得分技巧】(1)b3，b4，b5用公差d表示出来，利用b24＝b3b5，求出d这是一个得分点，再进一步计算bn＝5×2n－3这又是一个得分点．(2)利用bn的通项公式求出Sn这又是一个得分点．【失分溯源】(1)求出公差的值未舍去d＝－13导致出多的解，从而失分；(2)求出Sn＋54＝5×2n－2不进行判断，直接下结论，导致失分．