2013高考数学北师大版二轮复习课件：第2章 章末整合

章末整合反馈1.分段函数是一个函数，由于在不同区间上的对应关系不同，所以容易忽视自变量的取值范围，而造成错误．已知函数f(x)＝1xx∈－∞，0x2x∈[0，＋∞，求f(x＋1)．【错解】f(x＋1)＝1x＋1，x∈－∞，0x＋12，x∈[0，＋∞.误区一忽视函数定义域出错【错解分析】x＝－1∈(－∞，0)，此时1x＋1无意义，故上述解析错误．【正解】f(x＋1)＝1x＋1，x＋1∈－∞，0x＋12，x＋1∈[0，＋∞＝1x＋1，x∈－∞，－1x＋12，x∈[－1，＋∞.2．在研究函数的单调性时，应注意以下两方面的问题：一是必须在定义域的范围内研究单调性，超出了定义域范围的单调区间是没有意义的．二是单调区间的表述要正确．如函数f(x)＝1x的单调减区间为(－∞,0)和(0，＋∞)[或(－∞，0)，(0，＋∞)]，而不能表述为(－∞，0)∪(0，＋∞)．求函数y＝f(x)＝lg(x2＋x－6)的单调区间．【错解】∵y＝lg(x2＋x－6)可看成由y＝lgu和u＝x2＋x－6复合而成，而y＝lgu单调递增，故只需研究u＝x2＋x－6的单调性．∵u＝x2＋x－6＝x＋122－254，∴u＝x2＋x－6在－∞，－12上是减函数，在－12，＋∞上是增函数．∴原函数的单调递增区间为－12，＋∞，单调递减区间为－∞，－12.【错解分析】复合函数的单调性要考查内外函数的公共定义域，错解在于没有先确定f(x)的定义域．【正解】由x2＋x－6＞0，得f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(2，＋∞)，而y＝lg(x2＋x－6)由y＝lgu和u＝x2＋x－6复合而成，又u＝x2＋x－6＝x＋122－254，∴u＝x2＋x－6在－∞，－12上是减函数，在－12，＋∞上是增函数，∴f(x)在(－∞，－3)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．即原函数的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－3).已知复合函数f[g(x)]的解析式，可用换元法，此时要注意变量的取值范围．已知函数f(x2－3)＝lgx2x2－4，求f(x)的定义域．【错解】由x2x2－4＞0得x＜－2或x＞2，∴函数f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．误区二复合函数定义理解不到位出错【错解分析】错解中把f(x2－3)与函数f(x)混淆为同一函数，认为f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．若令F(x)＝f(x2－3)＝lgx2x2－4，令x2－3＝t，得f(t)＝lgt＋3t－1，就会发现F(x)与f(x)是两个不同的函数，它们有不同的定义域和不同的对应关系．【正解】要使f(x2－3)有意义应有x2x2－4＞0，即x2＞4.令x2－3＝t，有f(t)＝lgt＋3t－1.∵x2＝t＋3＞4，∴t＞1.∴函数f(x)＝lgx＋3x－1的定义域是{x|x＞1}.1.在指数函数解析式中，必须时刻注意底数a＞0且a≠1.2．对于指数函数的底数a，在不清楚其取值范围时，应树立分类讨论的数学思想，分a＞1和0＜a＜1两种情况进行讨论，以便确定其性质．如果函数y＝a2x＋2ax－1(a＞0，a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a的值．【错解】设t＝ax，则y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2当t＝a时，(a＋1)2－2＝14，∴a＝3.误区三忽视指数函数的有关性质出错【错解分析】本题在解答中，不注意对a进行分类讨论只得到a＝3的错误结果．【正解】设t＝ax，则y＝(t＋1)2－2，当a＞1时t∈[a－1，a]，∴ymax＝a2＋2a－1＝14，∴a＝3.当0＜a＜1时，t∈[a，a－1]，∴ymax＝(a－1)2＋2a－1－1＝14，∴a＝13.∴a＝3或13.已知关于x的方程9x－2×3x＋(3k－1)＝0有两个实根，求实数k的取值范围．【错解】令3x＝t，则方程化为t2－2t＋(3k－1)＝0，①要使原方程有两个根，方程①中判别式Δ≥0即可．由Δ＝(－2)2－4(3k－1)≥0，得k≤23.【错解分析】错解中由Δ≥0得到两根不一定都为正根，而t＝3x＞0，要使原方程有两个根，方程①必须有两正根．【正解】令3x＝t，则方程化为t2－2t＋(3k－1)＝0，①要使原方程有两个根，方程①必有两个正根，所以Δ＝－22－43k－1≥0，t1t2＝3k－1＞0，t1＋t2＝2＞0，解得13＜k≤23.在讨论对数函数的性质时，应注意定义域及对数底数的取值范围．已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上是关于x的减函数，则实数a的取值范围是()A．(0,1)B．(1,2)C．(0,2)D．(1，＋∞)【错解】由于2－ax中x系数－a＜0，所以a＞1时为减函数，故选D.误区四忽视真数满足的条件【错解分析】忽视2－ax＞0在区间[0,1]上必须恒成立．【正解】∵a＞0，∴u＝g(x)＝2－ax在区间[0,1]上是减函数，又由于y＝loga(2－ax)在区间[0,1]上是减函数，∴y＝logau是增函数．∴a＞1，还要使2－ax＞0在区间[0,1]上恒成立，∴只要g(1)＞0即2－a＞0，得a＜2.∴1＜a＜2.故选B.【答案】B含参数二次函数的处理，应对二次项系数进行分类讨论，当二次项系数为零时，是一次函数而不是二次函数．函数f(x)＝(m－1)x2＋2(m＋1)x－1的图像与x轴只有一个交点，则实数m的取值集合是________．【错解】由Δ＝4(m＋1)2＋4(m－1)＝0，即m2＋3m＝0，解得m＝－3，或m＝0，∴m的取值集合是{－3,0}．误区五忽视对函数类型的判断【错解分析】错解中忽略了m－1＝0的情况，若m－1＝0，m＝1，这时f(x)＝4x－1，其图像和x轴只有一个交点14，0，所以m＝1也满足题意．【正解】当m＝1时，f(x)＝4x－1，其图像和x轴只有一个交点14，0；当m≠1时，依题意得Δ＝4(m＋1)2＋4(m－1)＝0，即m2＋3m＝0，解得m＝－3或m＝0.∴m的取值集合是{－3,0,1}．【答案】{－3,0,1}判断函数的对称性，要分清是函数自身对称，还是两个函数之间互相对称．设函数f(x)定义在实数集上，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像()A．关于x＝1对称B．关于x＝0对称C．关于x＝－1对称D．不关于任何直线对称【错解】∵函数定义在实数集R上且f(x－1)＝f(1－x)，∴函数的图像关于x＝0对称，故选B.误区六混淆“函数自身对称”与“两个函数对称”致误【错解分析】题目考查的是函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)图像的对称性．这是两个不同函数，而错解中误认为f(x－1)＝f(1－x)，而利用f(x－1)＝f(1－x)考查的是函数f(x)自身的对称性．【正解】因为y＝f(x)，x∈R，而f(x－1)的图像是f(x)的图像向右平移1个单位而得到的，又f(1－x)＝f[－(x－1)]的图像是f(－x)的图像也向右平移1个单位而得到的，因f(x)与f(－x)的图像关于y轴(即直线x＝0)对称，因此f(x－1)与f(1－x)的图像关于直线x＝1对称．故选A.【答案】A对于实际问题，其定义域除了使解析式有意义外，还要注意它的实际意义．在利用函数模型求得问题的解后，要注意检验其合理性．如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝a，BC＝b(a＞b)．在AB、AD、CD、CB上分别截取AE、AH、CG、CF都等于x，当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？求出这个最大面积．误区七忽视实际问题中函数自变量的范围致误【错解】设四边形EFGH的面积为S，由题意得S△AEH＝S△CFG＝12x2，S△BEF＝S△DHG＝12(a－x)(b－x)．由此得S＝ab－212x2＋12a－xb－x＝－2x2＋(a＋b)x＝－2x－a＋b42＋a＋b28.当x＝a＋b4时，S取得最大值a＋b28.【错解分析】错解忽略了自变量的取值范围：0＜x≤b.由于a＞b＞0，所以当a＞3b时，a＋b4＞b，自变量x不能取到a＋b4，面积不能取到a＋b28.在由实际问题列函数关系式时，要注意根据实际意义求出自变量的取值范围．【正解】由错解中的计算可得S＝－2x－a＋b42＋a＋b28，由题意可得函数的定义域为{x|0＜x≤b}，因为a＞b＞0，所以0＜b＜a＋b2.若a＋b4≤b，即a≤3b时，x＝a＋b4，使面积S取得最大值a＋b28；若a＋b4＞b，即a＞3b时，函数S(x)在(0，b]上是增函数，因此，当x＝b时，面积S取得最大值ab－b2.综上可知，若a≤3b，当x＝a＋b4时，四边形EFGH的面积取得最大值a＋b28；若a＞3b，当x＝b时，四边形EFGH的面积取得最大值ab－b2.利用导数的几何意义求切线方程时，应注意题目的叙述过程：若“求在曲线上某一点处的切线方程”，则表明该点在曲线上，并且该点即为切点；若“求过某点的曲线的切线方程”，则该点不一定为切点，也不一定在曲线上，采用的方法也有别于第一种情况．曲线S：f(x)＝3x－x3过点A(0,16)的切线方程为____________．【错解】由于f′(x)＝－3x2＋3，故f′(0)＝3，即曲线在A点处切线斜率为3，从而切线方程为：3x－y＋16＝0.误区八忽视点是否在曲线上而致误【错解分析】将点A坐标代入曲线S方程易知点A不在曲线上，故由导数的几何意义可知f′(0)不是曲线过A点的切线的斜率．【正解】设过A的切线与曲线S相切于点M(x0,3x0－x30)，由于f′(x)＝－3x2＋3，由导数的几何意义可知切线的斜率k＝f′(x0)＝－3x20＋3①又由两点连线的斜率公式知k＝3x0－x30－16x0②联立①②得x0＝2，从而切线的斜率k＝f′(x0)＝－3x20＋3＝－9，故切线方程为9x＋y－16＝0.【答案】9x＋y－16＝0函数的极值点一定是导数为零的点，但导数值为零的点不一定是极值点，函数在一点导数值为零是函数极值点的必要条件，而不是充分条件．函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1时有极值10，则a的值是________．误区九极值点与导数为零的点的关系不清致误【错解】f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由于当x＝1时函数取得极值10，故必有f′(1)＝3＋2a＋b＝0①；f(1)＝1＋a＋b＋a2＝10②由①②得a＝－3，或a＝4.【错解分析】要明确函数的极值点与导数对应的方程f′(x)＝0的根之间的关系，即f′(x)＝0是x为极值点的必要而不充分条件，检验这一步骤必不可少．【正解】f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由于当x＝1时函数取得极值10，故必有f′(1)＝3＋2a＋b＝0①f(1)＝1＋a＋b＋a2＝10②由①②得a＝－3或a＝4，但当a＝－3时，b＝3，此时f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，此时虽有f′(1)＝0，但由极值定义可知当x＝1时函数值不是极值，故a＝4.【答案】4本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放