2013高考数学复习课件 8.7 直线与圆锥曲线的位置关系 理 新人教版

1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点，具体如下：①直线与圆锥曲线的相离关系，常通过求二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值和最小值来解决．②直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于圆或椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示直线与其相切或直线与双曲线的渐近线平行；对于抛物线，表示直线与其相切或直线与其对称轴平行．③直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线_____，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦．(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程，代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．直线l的方程为Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为零)，圆锥曲线方程f(x，y)＝0.由Ax＋By＋C＝0，fx，y＝0消元(x或y)，相交如消去y后得ax2＋bx＋c＝0.①若a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行或重合．②若a≠0，设Δ＝b2－4ac.(ⅰ)Δ0时，直线与圆锥曲线相交于不同的两点；(ⅱ)Δ＝0时，直线与圆锥曲线相切于一点；(ⅲ)Δ0时，直线与圆锥曲线没有公共点．(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用轴上两点间距离公式)．(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2|x2－x1|或|P1P2|＝1＋1k2|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用韦达定理，即作如下变形：|x2－x1|＝x1＋x22－4x1x2，|y2－y1|＝y1＋y22－4y1y2.2．直线与圆锥曲线相交形成的弦长问题(3)经过圆锥曲线的焦点的弦(也称焦点弦)的长度，应用圆锥曲线的定义，转化为两个焦半径之和，往往比用弦长公式简捷．(4)在给定的圆锥曲线f(x，y)＝0中，求弦的中点为(m，n)的弦AB所在直线方程时，一般可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用A、B在曲线上，得f(x1，y1)＝0，f(x2，y2)＝0及x1＋x2＝2m，y1＋y2＝2n，故可求出斜率kAB＝y1－y2x1－x2，最后由点斜式写出直线AB的方程．1．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若AP→＝2PB→，则椭圆的离心率是()A.32B.22C.13D.12解析：本题主要考查圆锥曲线中椭圆的几何性质．左焦点F(－c,0)，右顶点A(a,0)，不妨设点B在第二象限，则B－c，b2a.由AP→＝2PB→得：xP－xA＝2(xB－xP)，代入坐标得0－a＝2(－c－0)，所以e＝ca＝12.答案：D2．已知M(a,2)是抛物线y2＝2x上的一定点，直线MP、MQ的倾斜角之和为π，且分别与抛物线交于P、Q两点，则直线PQ的斜率为()A．－14B．－12C.14D.12答案：B解析：由题意得M(2,2)，设Py212，y1，Qy222，y2，由kMP＝－kMQ，得y1－2y212－2＝－y2－2y222－2，推得y1＋y2＝－4，故kPQ＝y2－y1y222－y212＝2y1＋y2＝－12.3．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是()A．(－153，153)B．(0，153)C．(－153，0)D．(－153，－1)解析：联立y＝kx＋2，x2－y2＝6，消去y得(1－k2)x2－4kx－10＝0，答案：D由题意得Δ0，x1＋x20，x1x20，即16k2＋401－k20，4k1－k20，－101－k20，解得－153k－1.故选D.4．在抛物线y2＝16x内，通过点(2,1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是________．解析：设弦的两端点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，所以y21＝16x1，y22＝16x2，相减得：(y1＋y2)(y1－y2)＝16(x1－x2)，所以y1＋y2＝2×1＝2，所以k＝y1－y2x1－x2＝8，所以y－1＝8(x－2)，即y＝8x－15.答案：y＝8x－151．涉及直线被圆锥曲线截得的弦的中点问题时，常用一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)，这样可直接得到两交点的坐标之和，也可用平方差法找到两交点坐标之和，直接与中点建立联系．2．有关曲线关于直线对称的问题，只需注意两点关于一条直线对称的条件：两点连线与该直线垂直(两直线都有斜率时，斜率互为负倒数)；中点在此直线上(中点坐标适合对称轴方程)．3．直线与圆锥曲线的位置关系，由于集中交汇了高中解析几何中直线、圆锥曲线两部分的知识内容，还涉及函数、方程、不等式、三角函数、平面几何等许多知识，形成了轨迹、最值、对称、范围、参系数等多种问题，因而成为解析几何中综合性最强，能力要求最高的内容，也成为高考的重点和热点．考点一直线与圆锥曲线的位置关系【案例1】函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a等于()关键提示：联立两个解析式，利用判别式Δ＝0来求或利用导数来求．(即时巩固详解为教师用书独有)A.18B.14C.12D．1答案：B解析：(方法1)函数y＝ax2＋1与直线y＝x相切等价于方程组y＝ax2＋1，y＝x有一对实数解，即方程ax2－x＋1＝0有两个相等实根，所以判别式Δ＝(－1)2－4a＝0，所以a＝14.(方法2)设切点为(x0，x0)，则曲线y＝ax2＋1在该点的导数y′|x＝x0＝2ax0为切线斜率1，即2ax0＝1.①又切点(x0，x0)满足曲线方程，即x0＝ax20＋1.②联立①②，解得a＝14.【即时巩固1】设双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为()A.54B．5C.52D.5解析：由题意知，双曲线的渐近线与抛物线相切．双曲线的一条渐近线方程为y＝bax.答案：D由y＝bax，y＝x2＋1消去y得x2－bax＋1＝0.其判别式Δ＝ba2－4＝0.所以b2＝4a2.又c2＝a2＋b2＝5a2，所以离心率e＝ca＝5.【案例2】A、B是抛物线y2＝2px(p0)上的两点，且OA⊥OB.(1)求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；(2)求证：直线AB过定点；(3)求弦AB中点P的轨迹方程；(4)求△AOB面积的最小值．关键提示：设出A、B两点的坐标，充分利用OA⊥OB及A、B两点在抛物线上这两个条件，同时要注意均值不等式的应用．(1)解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为OA⊥OB，所以kOA·kOB＝－1.所以x1x2＋y1y2＝0.因为y21＝2px1，y22＝2px2，所以y212p·y222p＋y1y2＝0.因为y1y2≠0，所以y1y2＝－4p2.所以x1x2＝4p2.(2)证明：因为y21＝2px1，y22＝2px2，所以(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)．所以y1－y2x1－x2＝2py1＋y2.所以kAB＝2py1＋y2.所以直线AB的方程为y－y1＝2py1＋y2(x－x1)，y－y1＝2py1＋y2x－y212p，所以y＝2pxy1＋y2＋－4p2y1＋y2.所以y＝2py1＋y2(x－2p)．所以AB过定点(2p,0)，设为M，即M(2p,0)．(3)解：如图，设OA的方程为：y＝kx，代入y2＝2px，得x＝0或x＝2pk2.所以A2pk2，2pk.同理B(2pk2，－2pk)，设AB中点为P(x，y)．则x＝pk2＋1k2，y＝p1k－k，消去k得y2＝p(x－2p)(p0)．所以中点的轨迹方程为y2＝p(x－2p)．(4)解：S△AOB＝S△AOM＋S△BOM＝12|OM|·(|y1|＋|y2|)＝p(|y1|＋|y2|)≥2p|y1y2|＝4p2，当且仅当|y1|＝|y2|＝2p时，△AOB的面积最小为4p2.(1)求双曲线C的方程；(2)已知直线x－y＋m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值．【即时巩固2】已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为3，右焦点为(3，0)．解：(1)由题意，c＝3，ca＝3得a＝1，所以b2＝c2－a2＝2，所以所求双曲线C的方程为x2－y22＝1.(2)设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，因为点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝5上，所以m2＋(2m)2＝5，所以m＝±1.由x2－y22＝1，x－y＋m＝0得x2－2mx－m2－2＝0(判别式Δ0)，所以x0＝x1＋x22＝m，y0＝x0＋m＝2m.考点二中点弦问题【案例3】已知双曲线方程2x2－y2＝2.(1)求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程；(2)过点B(1,1)能否作直线l，使l与所给双曲线交于Q1、Q2两点，且点B是弦Q1Q2的中点？这样的直线l如果存在，求出它的方程；如果不存在，请说明理由．关键提示：(1)设出弦的两端点的坐标，再求出中点弦的斜率即可．(2)先求出直线l的方程，再联立双曲线方程，判断Δ的符号即可．解：(1)设以A(2,1)为中点的弦两端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又据对称性知x1≠x2，所以y1－y2x1－x2是中点弦P1P2所在直线的斜率，所以不必求出点P1、P2的坐标，只要确定比值y1－y2x1－x2，问题就可解决．因为P1、P2在双曲线上，所以2x21－y21＝2,2x22－y22＝2.两式相减得2(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0.因为x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，所以中点弦所在直线方程为y－1＝4(x－2)，即4x－y－7＝0.(2)可假定直线l存在，采用(1)的方法可求出l的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.得2x2－4x＋3＝0.因为Δ＝(－4)2－4×2×3＝－80，无实根，所以直线l与双曲线无交点，这一矛盾说明了满足条件的直线l不存在．所以y1－y2x1－x2＝4，联立方程组2x2－y2＝2，2x－y－1＝0，消去y，【即时巩固3】双曲线9x2－16y2＝144被点P(8,3)平分的弦AB的直线方程是()A．3x－2y－18＝0B．3x＋2y＋18＝0C．2x－3y－18＝0D．2x＋3y＋18＝0解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由9x21－16y21＝144，9x22－16y22＝144，两式相减，得9(x1＋x2)(x1－x2)－16(y1＋y2)(y1－y2)＝0.又因为P(8,3)为AB的中点，答案：A所以x1＋x2＝16，y1＋y2＝6.所以kAB＝y1－y2x1－x2＝32.所以直线AB的方程为y－3＝32(x－8)，即3x－2y－18＝0.考点三最值问题【案例4】已知A，B，C均在椭圆M：x2a2＋y2＝1(a＞1)上，直线AB、AC分别过椭圆的左、右焦点F1、F2，当AC→·F1F2→＝0时，有9AF1→·AF2→＝AF1→2.(1)求椭圆M的方程；(2)设P是椭圆M上的任一点，EF为圆N：x2＋(y－2)2＝1的任一条直径，求PE→·PF→的最大值．关键提示：先利用已知条件求出椭圆的方程，再将PE→·PF→转化为NP→2－1.解：(1)因为AC→·F1F2→＝0，所以有AC→⊥F1F2→，所以△AF1F2为直角三角形，所以|AF1→|cos∠F1AF2＝|AF2→|，则有9AF1→·AF2→＝9|AF1→||AF2→|cos∠F1AF2＝9|AF2→|2＝AF1→2＝|AF1→|2，所以|AF→1|＝3|AF→2|.又|AF→1|＋|AF→2|