高考数学大二轮复习-专题8-选考系列-第1讲-坐标系与参数方程课件

第一部分专题强化突破专题八选修系列第一讲坐标系与参数方程1高考考点聚焦2核心知识整合3高考真题体验4命题热点突破5课后强化训练高考考点聚焦高考考点考点解读参数方程1.直线、圆、椭圆、抛物线的参数方程2．参数方程与普通方程的互化极坐标1.常见的直线及圆的极坐标方程2．极坐标方程与直角坐标方程的互化•备考策略•本部分内容在备考时应注意以下知识点：•一是参数方程、极坐标与曲线的关系；二是由参数方程、极坐标方程求解曲线的一些基本量，主要是极坐标与直角坐标、参数方程(直线、圆、椭圆的参数方程)与普通方程的互化问题的应用等，考查知识点较为简单和稳定，这也为大家的备考指明了方向．核心知识整合1．直角坐标与极坐标的互化公式把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yxx≠0.2．圆的极坐标方程(1)若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0.(2)几个特殊位置的圆的极坐标方程①当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；②当圆心位于M(a,0)，半径为a：_______________；③当圆心位于M(a，π2)，半径为a：ρ＝2asinθ.ρ＝2acosθ3．直线的极坐标方程(1)若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．(2)几个特征位置的直线的极坐标方程①直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；②直线过点M(a,0)且垂直于极轴：__________；③直线过M(b，π2)且平行于极轴：ρsinθ＝b.ρcosθ＝a4．几种常见曲线的参数方程(1)圆①以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是x＝a＋rcosα，y＝b＋rsinα，其中α是参数．②当圆心在(0,0)时，方程为x＝rcosα，y＝rsinα，其中α是参数．(2)椭圆①椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的参数方程是x＝acosφ，y＝bsinφ，其中φ是参数．②椭圆x2b2＋y2a2＝1(ab0)的参数方程是x＝bcosφ，y＝asinφ，其中φ是参数．(3)直线经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα，其中t是参数．5．直线参数方程中参数t的几何意义过定点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)①.通常称①为直线l的参数方程的“标准式”，其中参数t的几何意义是：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|＝|t|.当0απ时，sinα0，所以，直线l的单位方向向量e的方向总是向上．此时，若t0，则M0M→的方向向上；若t0，则M0M→的方向向下；若t＝0，则点M与点M0重合，即当点M在M0上方时，有t＝|M0M→|；当点M在M0下方时，有t＝－|M0M→|.•1．极坐标与直角坐标互化的前提是把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．•2．在将曲线的参数方程化为普通方程时，不仅仅是要把其中的参数消去，还要注意其中的x、y的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．高考真题体验1．(2018·全国卷Ⅰ，22)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝kx＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－3＝0.(1)求C2的直角坐标方程．(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．[解析](1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2＋y2＝ρ2得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.(2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆．由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以|－k＋2|k2＋1＝2，故k＝－43或k＝0.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝－43时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以|k＋2|k2＋1＝2，故k＝0或k＝43.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝43时，l2与C2没有公共点．综上可得，k＝－43，C1的方程为：y＝－43|x|＋2.2．(2018·全国卷Ⅱ，22)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝2cosθ，y＝4sinθ(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝1＋tcosα，y＝2＋tsinα，(t为参数)．(1)求C和l的直角坐标方程．(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．[解析](1)曲线C的直角坐标方程为x24＋y216＝1.当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tanα，当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.又由①得t1＋t2＝－42cosα＋sinα1＋3cos2α，故2cosα＋sinα＝0，于是直线l的斜率k＝tanα＝－2.3．(2018·全国卷Ⅲ，22)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为x＝cosθ，y＝sinθ(θ为参数)，过点0，－2且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．[解析](1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.当α＝π2时，l与⊙O交于两点．当α≠π2时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－2.l与⊙O交于两点当且仅当21＋k21，解得k－1或k1，即α∈π4，π2或α∈π2，3π4.综上，α的取值范围是π4，3π4.(2)l的参数方程为x＝tcosα，y＝－2＋tsinα，(t为参数，π4α3π4)．设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝tA＋tB2，且tA，tB满足t2－22tsinα＋1＝0.于是tA＋tB＝22sinα，tP＝2sinα.又点P的坐标(x，y)满足x＝tPcosα，y＝－2＋tPsinα.所以点P的轨迹的参数方程是x＝22sin2α，y＝－22－22cos2α(α为参数，π4α3π4)．4．(2018·江苏卷，21C)在极坐标系中，直线l的方程为ρsinπ6－θ＝2，曲线C的方程为ρ＝4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．[解析]因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，所以曲线C是圆心为(2,0)，直径为4的圆．因为直线l的极坐标方程为ρsinπ6－θ＝2，则直线l过A(4,0)，倾斜角为π6，所以A为直线l与圆C的一个交点．设另一个交点为B，则∠OAB＝π6.连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA＝π2，所以AB＝4cosπ6＝23.因此，直线l被曲线C截得的弦长为23.命题热点突破命题方向1直角坐标与极坐标的互化与应用(2018·江苏一模)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos(θ－π4)＝2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．[解析](1)ρ＝2⇒ρ2＝4，所以x2＋y2＝4；因为ρ2－22ρcos(θ－π4)＝2，所以ρ2－22ρ(cosθcosπ4＋sinθsinπ4)＝2，所以x2＋y2－2x－2y－2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1，化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1，即ρsin(θ＋π4)＝22.•『规律总结』•直角坐标与极坐标方程的互化及应用•(1)直角坐标方程化极坐标方程时，可以直接将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入即可．•(2)极坐标方程化直角坐标方程时，一般需要构造ρ2，ρsinθ，ρcosθ，常用的技巧有式子两边同乘以ρ，两角和与差的正弦、余弦展开等．(2017·全国卷Ⅱ，22)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4.(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为(2，π3)，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．[解析]设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ10)．由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝4cosθ.由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ(ρ0)．因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB0)．由题设知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB的面积S＝12|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cosα·|sin(α－π3)|＝2|sin(2α－π3)－32|≤2＋3.当α＝－π12时，S取得最大值2＋3.所以△OAB面积的最大值为2＋3.命题方向2参数方程与普通方程的互化及应(2018·衡水一模)已知直线l的参数方程为x＝t，y＝mt(t为参数)，圆C的参数方程为x＝cosα，y＝1＋sinα(α为参数)．(1)若直线l与圆C的相交弦长不小于2，求实数m的取值范围；(2)若点A的坐标为(2,0)，动点P在圆C上，试求线段PA的中点Q的抛迹方程．[解析](1)直线l的参数方程为x＝t，y＝mt(t为参数)，普通方程为y＝mx，圆C的参数方程为x＝cosα，y＝1＋sinα(α为参数)，普通方程为x2＋(y－1)2＝1，圆心到直线l的距离d＝1m2＋1，相交弦长＝21－1m2＋1，所以21－1m2＋1≥2，所以m≤－1或m≥1.(2)设P(cosα，1＋sinα)，Q(x，y)，则x＝12(cosα＋2)，y＝12(1＋sinα)，消去α，整理可得线段PA的中点Q的轨迹方程(x－1)2＋(y－12)2＝14.『规律总结』参数方程化为普通方程消去参数的方法(1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法．(2)三角恒等式法：利用sin2α＋cos2α＝1消去参数，圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法．(3)常见消参数的关系式：①t·1t＝1；②(t＋1t)2－(t－1t)2＝4；③(2t1＋t2)2＋(1－t21＋t2)2＝1.(2017·全国卷Ⅰ，22)在直角坐标系xOy中曲线C的参数方程为x＝3cosθ，y＝sinθ(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝a＋4t，y＝1－t(t为参数)．(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为17，求a.[解析](1)曲线C的普通方程为x29＋y2＝1.当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.由x＋4y－3＝0，x29＋y2＝1，解得x＝3，y＝0或x＝－2125，y＝2425.从而C与l的交点坐标为(3,0)，(－2125，2425)．(2)直线l的普通