必修五不等式知识点

第1面不等式的基本知识（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1)对称性：abba(2)传递性：cacbba,(3)加法法则：cbcaba；dbcadcba,(同向可加)(4)乘法法则：bcaccba0,；bcaccba0,bdacdcba0,0(同向同正可乘)(5)倒数法则：baabba110,(6)乘方法则：)1*(0nNnbabann且(7)开方法则：)1*(0nNnbabann且2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）3、应用不等式性质证明不等式（二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式00022acbxaxcbxax或的解集：设相应的一元二次方程002acbxax的两根为2121xxxx且、，acb42，则不等式的解的各种情况如下表：000二次函数cbxaxy2（0a）的图象cbxaxy2cbxaxy2cbxaxy2一元二次方程的根002acbxax有两相异实根)(,2121xxxx有两相等实根abxx221无实根的解集)0(02acbxax21xxxxx或abxx2R第2面的解集)0(02acbxax21xxxx2、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现()fx的符号变化规律，写出不等式的解集。如：xxx1120233、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。()()0()()0()()0;0()0()()fxgxfxfxfxgxgxgxgx4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题若不等式Axf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上minfxA若不等式Bxf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上maxfxB（三）线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(yx,)，把它的坐标（yx,)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）3、线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x、y的一次式z=ax+by是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．第3面4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：（1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）依据线性目标函数作参照直线ax+by＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解（四）基本不等式2abab1．若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号.2．如果a,b是正数，那么).(2号时取当且仅当baabba变形：有:a+b≥ab2；ab≤22ba,当且仅当a=b时取等号.3．如果a,b∈R+,a·b=P(定值),当且仅当a=b时,a+b有最小值P2;如果a,b∈R+,且a+b=S(定值),当且仅当a=b时,ab有最大值42S.注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”4.常用不等式有：（1）2222211abababab(根据目标不等式左右的运算结构选用)；（2）a、b、cR，222abcabbcca（当且仅当abc时，取等号）；（3）若0,0abm，则bbmaam（糖水的浓度问题）。不等式主要题型讲解（一）不等式与不等关系题型一：不等式的性质1.对于实数cba,,中，给出下列命题：①22,bcacba则若；②babcac则若,22；③22,0bababa则若；④baba11,0则若；⑤baabba则若,0；⑥baba则若,0；⑦bcbacabac则若,0；⑧11,abab若，则0,0ab。其中正确的命题是______题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）第4面（二）解不等式题型三：解不等式2.解不等式3.解不等式2(1)(2)0xx。4.解不等式25123xxx5.不等式2120axbx的解集为{x|-1＜x＜2}，则a=_____,b=_______6.关于x的不等式0bax的解集为),1(，则关于x的不等式02xbax的解集为7.解关于x的不等式2(1)10axax题型四：恒成立问题8.关于x的不等式ax2+ax+1＞0恒成立，则a的取值范围是_____________第5面9.若不等式22210xmxm对01x的所有实数x都成立，求m的取值范围.10.已知0,0xy且191xy，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。（三）基本不等式2abab题型五：求最值11.（直接用）求下列函数的值域（1）y＝3x2＋12x2（2）y＝x＋1x12.（配凑项与系数）（1）已知54x，求函数14245yxx的最大值。（2）当时，求(82)yxx的最大值。第6面求函数2254xyx的值域。13.（条件不等式）（1）若实数满足2ba，则ba33的最小值是.（2）已知0,0xy，且191xy，求xy的最小值。（四）线性规划题型八：目标函数求最值14.满足不等式组0,087032yxyxyx，求目标函数yxk3的最大值