【创新方案】(浙江专版)2014届高考数学一轮复习 3.6 简单的三角恒等变换限时集训 理

1限时集训(二十)简单的三角恒等变换(限时：50分钟满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．(2013·济南模拟)函数y＝sinxsinπ2＋x的最小正周期是()A.π2B．πC．2πD．4π2．(2013·沈阳四校联考)若1＋cos2αsin2α＝12，则tan2α等于()A.54B．－54C.43D．－433．已知α∈(－π，0)，tan(3π＋α)＝aloga13(a＞0，且a≠1)，则cos32π＋α的值为()A.1010B．－1010C.31010D．－310104．已知x∈π2，π，cos2x＝a，则cosx＝()A.1－a2B．－1－a2C.1＋a2D．－1＋a25．计算tanπ4＋α·cos2α2cos2π4－α的值为()A．－2B．2C．－1D．16．若cos2αsinα＋7π4＝－22，则sinα＋cosα的值为()2A．－22B．－12C.12D.727．函数y＝sinxcosx＋3cos2x的图象的一个对称中心是()A.π3，－32B.2π3，－32C.2π3，32D.π3，328．设α∈0，π2，则sin3αcosα＋cos3αsinα的最小值为()A.2764B.325C.536D．1二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．(2013·温州模拟)化简sin2α－π6＋sin2α＋π6－sin2α的结果为________．10．若α、β是锐角，且sinα－sinβ＝－12，cosα－cosβ＝12，则tan(α－β)＝________.11．设α是第二象限角，tanα＝－43，且sinα2cosα2，则cosα2＝________.12．(2013·青岛模拟)在△ABC中，若sinA＝513，cosB＝35，则cosC＝________.13．(2012·江苏高考)设α为锐角，若cosα＋π6＝45，则sin2α＋π12的值为________．14．如图，圆O的内接“五角星”与圆O交于Ai(i＝1,2,3,4,5)点，记弧AiAi＋1在圆O中所对的圆心角为αi(i＝1,2,3,4)，弧A5A1所对的圆心角为α5，则cos3α1·cos(α3＋α5)－sin3α2sin2α4等于________．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．(1)化简4cos4x－2cos2x－1tanπ4＋xsin2π4－x；(2)化简[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]·2sin280°.316．已知函数f(x)＝sinx＋cosx，f′(x)是f(x)的导函数．(1)求f′(x)及函数y＝f′(x)的最小正周期；(2)当x∈0，π2时，求函数F(x)＝f(x)f′(x)＋f2(x)的值域．17．已知函数f(x)＝3cos(ωx＋φ)－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且其图象经过点5π12，0.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数g(x)＝fx2＋π6，α，β∈0，π2，且g(α)＝1，g(β)＝324，求g(α－β)的值．答案[限时集训(二十)]1．B2.D3.B4.D5.D6.C7.D8.D49.1210.－7311.－5512.－166513.1725014.115．解：(1)原式＝＋cos2x2－2cos2x－1tanπ4＋xcos2π4＋x＝cos22xsinπ4＋xcosπ4＋x＝2cos22xsinπ2＋2x＝2cos22xcos2x＝2cos2x.(2)原式＝2sin50°＋sin10°·cos10°＋3sin10°cos10°·2sin80°＝2sin50°＋2sin10°·12cos10°＋32sin10°cos10°·2cos10°＝22[sin50°·cos10°＋sin10°·cos(60°－10°)]＝22sin(50°＋10°)＝22×32＝6.16．解：(1)由题意可知，f′(x)＝cosx－sinx＝－2·sinx－π4，所以y＝f′(x)的最小正周期为T＝2π.(2)F(x)＝cos2x－sin2x＋1＋2sinxcosx＝1＋sin2x＋cos2x＝1＋2sin2x＋π4.∵x∈0，π2，∴2x＋π4∈π4，5π4，∴sin2x＋π4∈－22，1.∴函数F(x)的值域为[0,1＋2]．517．解：(1)依题意函数的最小正周期T＝2πω＝π，解得ω＝2，所以f(x)＝3cos(2x＋φ)．因为函数f(x)的图象经过点5π12，0，所以3cos2×5π12＋φ＝0，得到2×5π12＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，即φ＝kπ－π3，k∈Z.由－π2＜φ＜0得φ＝－π3.故函数f(x)的解析式为f(x)＝3cos2x－π3.(2)依题意有g(x)＝3cos2×x2＋π6－π3＝3cosx，由g(α)＝3cosα＝1，得cosα＝13，同理g(β)＝3cosβ＝324，得cosβ＝24.而α，β∈0，π2，所以sinα＝1－132＝223，sinβ＝1－242＝144，所以g(α－β)＝3cos(α－β)＝3(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝3×13×24＋223×144＝2＋474.