2011年高考数学一轮精品复习课件：第8章《解析几何》――直线与圆锥曲线

学案9直线与圆锥曲线返回目录1.直线与圆锥曲线的位置关系主要是指直线和圆锥曲线，解决的方法是转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，进而转化为一元（一次或二次）方程解的情况去研究.设直线l的方程为：Ax+By+C=0,圆锥曲线方程为f(x,y)=0.Ax+By+C=0f(x,y)=0由{消元（x或y）相交、相切、相离解的个数若消去y后得ax2+bx+c=0:（1）若a=0，此时圆锥曲线不会是.当圆锥曲线为双曲线时，直线l与双曲线的渐近线.当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴.（2）若a≠0，设Δ=b2-4ac.①Δ0时，直线与圆锥曲线相交于；②Δ=0时，直线与圆锥曲线；③Δ0时，直线与圆锥曲线.另外，还能利用数形结合的方法，迅速判断某些直线和圆锥曲线的位置关系.返回目录椭圆平行或重合平行或重合两个点相切相离2.直线与圆锥曲线相交的弦长计算（1）当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用求弦长.（2）解由直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，得到关于x(或y)的一元二次方程，设直线与圆锥曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，直线斜率为k，则弦长公式为|AB|=或|AB|=.返回目录两点间的距离公式221212(1+k)[(x+x)-4xx]]4)+)[(1+1(212212yyyyk已知双曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx-1.(1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;(2)若l与C交于两点,O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值.【分析】联立直线方程和双曲线方程,化为关于x(或y)的一元二次方程，借助于Δ＞0得关于k的不等式;(2)求出面积S的表达式,再解方程.返回目录考点一直线与圆锥曲线的关系2【解析】(1)双曲线C与直线l有两个不同的交点,x2-y2=1y=kx-1整理得(1-k2)x2+2kx-2=0.∴1-k2≠0,Δ=4k2+8(1-k2)＞0,解得-＜k＜且k≠±1.故当-＜k＜且k≠±1时，双曲线C与直线l有两个不同的交点.返回目录{有两个不同的解,则方程组2222{（2）设交点A（x1，y1），B（x2，y2），直线l与y轴交于点D（0，-1）.x1+x2=x1x2=.当A，B分别在双曲线的一支上且|x1|＞|x2|时，S△OAB=S△OAD–S△OBD=（|x1|-|x2|）=|x1-x2|；当A，B在双曲线的两支上且x1＞x2时，返回目录由（1）得{2-2k1-k2-21-k1212S△OAB=S△OAD+S△OBD=（|x1|+|x2|）=|x1-x2|.∴S△OAB=|x1-x2|=，∴（x1-x2）2=（2）2.即=8，解得k=0或k=±.又∵-＜k＜,且k≠±1,∴当k=0或k=±时，△AOB的面积为.返回目录1212122+222-2k8()1-k1-k62622222【评析】（1）①在利用判别式时，易忽略1-k2≠0这一约束条件，1-k2=0时直线与双曲线只有一个交点.②在求△AOB面积的表达式时，不能按A，B两点在双曲线的同支上或异支上分类讨论.（2）方法总结：与直线和圆锥曲线的位置关系有关的参数范围问题，常采用解方程组的思想方法，转化为判别式进行；与弦长有关的问题，常常利用韦达定理，以整体代入的方法求解，这样可以避免求交点，使运算过程得到简化.返回目录1.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）A.[-，]B.［-2，2］C.［-1，1］D.［-4,4］2.如果过两点A（a,0),和B（0,a）的直线与抛物线y=x2-2x-3没有交点，那么实数a的取值范围是.返回目录＊对应演练＊1212（1）C（由题意得Q（-2，0）.设l的方程为y=k（x+2），代入y2=8x得k2x2+4（k2-2）x+4k2=0，∴Δ=16（k2-2）2-16k4≥0,即k2≤1,∴-1≤k≤1.故应选C.）（2）直线AB的方程为，即y=a-x，代入y=x2-2x-3得x2-x-3-a=0.∴Δ=1+4（a+3）＜0,即a＜-.返回目录xy+=1aa134椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1相交于A,B两点，若|AB|=2，且AB的中点C与椭圆中心连线的斜率为2，求实数a,b的值.【分析】先把直线方程与圆锥曲线方程联立，再利用根与系数的关系可以计算弦长.返回目录考点二弦长问题22【解析】设椭圆与直线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,ax2+by2=1x+y=1∴x1+x2=,x1x2=.∴|AB|=·|x2-x1|=·.∴(a+b)2=a+b-ab.①∴a=b.②把②代入①得b=,a=.返回目录可得(a+b)x2-2bx+b-1=0.则由{2ba+bb-1a+b21+(-1)22a+b-ab=22a+b121212OC12121212y+yy+y(1-x)+(1-x)2a22k====-1==,x+xx+xx+xx+xb22222313又∵【评析】（1）弦长公式|AB|=|x2-x1|中，k指的是直线的斜率.在计算弦长时要特别注意一些特殊情况:①直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直;②直线过圆锥曲线的焦点.在出现这些情况时可以直接计算或利用曲线的统一定义把弦长进行转化.（2）用公式之前首先验证斜率不存在的情况.（3）弦长公式的另一种形式|AB|=·|y1-y2|也经常用到，原则是计算方便、快捷.返回目录21+k211+k如图，双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点.已知|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，且BF与FA同向.（1）求双曲线的离心率；（2）设AB被双曲线所截得的线段长为4，求双曲线的方程；返回目录＊对应演练＊(1)设双曲线方程为（a＞0,b＞0）,|OA|=m-d,|AB|=m,|OB|=m+d.由勾股定理可得(m-d)2+m2=(m+d)2，解得d=m，tan∠AOF=，tan∠AOB=tan2∠AOF==,解得或=-2（舍去），a=2b，c=b，则离心率e=.-=22221xyab14baABOA4334)ab(1ab2AOFtan1AOF2tanAOFtan222由倍角公式得21abab返回目录525（2）设过点F的直线方程为y=-（x-c）.与双曲线方程联立,将a=2b,c=b代入,化简有则x1+x2=x1·x2=，AB被双曲线所截得的线段长为4=.|x1-x2|=,将上式代入，有4=,解得b=3，则有a=6，最后求得双曲线方程为.返回目录ba-=22221xyab50,21xb58-x4b1522b15532528b22)ba-1(212212x4x-)x](x)ba-[1(]528b4-)15b5325[(2219y-36x22若抛物线y=x2上存在关于直线y=m(x-3)对称的两点，求实数m的取值范围.返回目录考点三对称问题【分析】两点所在的直线与抛物线有两个交点，可利用判别式求m的范围.【解析】设直线l:y=-x+b与y=x2两交点为A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为M(x0,y0).y=-x+by=x2,∴Δ=1+4m2b＞0.∵x0=,y0=,又M在对称轴y=m(x-3)上,∴+b=m(--3),返回目录m1m1由得mx2+x-mb=0.{2m1-2xx21=+b2m1b)2m1(-m1-2+=+22m12m1∴b=--3m-.又∵Δ=1+4m2b=1+4m2(--3m-)=-12m3-2m2-1＞0,∴12m3+2m2+1＜0.即(2m+1)(6m2-2m+1)＜0.∴m＜-，即m的取值范围为(-∞,-).返回目录22m12122m1212121【评析】若A,B两点关于直线对称，则直线AB与对称轴垂直，且线段AB的中点在对称轴上.即对称轴是线段AB的垂直平分线.解对称问题应注意条件的充分利用，如斜率、截距等，同时还应注意各量之间的关系.返回目录如图所示，若椭圆上存在两点A，B关于l:y=4x+m对称，求m的取值范围.返回目录＊对应演练＊13y2x22=+解法一：设A(x1,y1),B(x2,y2)，AB中点M(x0,y0).∵kAB=-，∴∵A,B在椭圆上，41-k1l=41-x-xy-y2121=6,2y3x62y3x22222121=+=+{∴∴3(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0即3·2x0+2·2y0·=0,即3x0-y0=0,∴y0=6x0.①∵A,B中点在l上,∴y0=4x0+m②由①②求得M(,3m),又M必在椭圆3x2+2y2=6内部,∴6.即3()2+2(3m)26.∴-m.返回目录2121x-xy-y212m20202y3x+2m522522解法二：设直线AB的方程为y=-x+n,y=-x+n25x2-8nx+16n2-48=0,∵AB与椭圆有两公共点A,B,∴方程有两实根，∴Δ0，即n2,设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1+x2=,返回目录4141由消去y得13y2x22=+{825258n设AB中点M(x0,y0)，则x0=n,y0=-x0+n=n,即M(n,n),又点M在直线y=4x+m上，∴n=+m,∴n=m,即(m)2,∴-m.返回目录254412524254252425242516n825825825552552已知椭圆上的两个动点P，Q及定点M(1,),F是椭圆的左焦点，且|PF|，|MF|，|QF|成等差数列.(1)求证:线段PQ的垂直平分线经过一个定点A;(2)设点A关于原点O的对称点是B,求|PB|的最小值及相应的P点坐标.返回目录考点四定点定值问题12y4x22=+26【分析】(1)由|PF|,|MF|,|QF|成等差数列可得PQ的中点横坐标,引入参数PQ中点的纵坐标,先求kPQ,利用直线PQ的方程求解.(2)建立|PB|关于动点坐标的目标函数,利用函数的性质求最值.返回目录【解析】(1)设P(x1,y1),Q(x2,y2),a=2,b=,c=,e=.由椭圆的焦半径公式得|PF|=2+x1,|QF|=2+x2,|MF|=2+.2222222222∵2|MF|=|PF|+|QF|,∴2(2+)=4+(x1+x2),∴x1+x2=2.当x1≠x2时,设线段PQ的中点N(1,n),∴kPQ=,∴线段PQ的垂直平分线方程为y-n=2n(x-1).∴(2x-1)n-y=0，该直线恒过一个定点A(,0).当x1=x2时，线段PQ的中垂线也过定点A(,0).综上,线段PQ的垂直平分线恒过定点A(,0).返回目录22224,2yx42yx22222121=+=+{21212121yyxx·21-x-xy-y++=得由2n1-x-xy-y2121=212121(2)由于点B与点A关于原点O对称,故点B(-,0).∵-2≤x1≤2,-2≤x2≤2,∴x1=2-x2∈［0,2］,|PB|2=(x1+)2+=(x1+1)2+≥,∴当点P的坐标为(0,±)时,|PB|min=.返回目录212121y214749232【评析】本题是圆锥曲线中的综合问题,涉及到了等差数列、定点问题以及最值问题.求圆锥曲线的最值问题通常是先建立一个目标函数,然后利用函数的单调性、函数的图象、函数的有界性或重要不等式等求最值，本题是建立二次函数、利用二次函数的图象求最值.返回目录如图所示,M是抛物线y2=x上的一点,动弦ME,EF分别交x轴于A,B两点，且MA=MB.（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；（2）若M为定点，N（a,0）（其中aR）是x轴上一点，求|MN|的最小值.返回目录＊对应演练＊∈（1）设M（，），直线ME的斜率为k（k＞0）,则直线MF的斜率为-k，∴直线ME的方程为y-y0=k（x-）.y-y0=k（x-），y2=x，yE=,∴xE=.同理，yF=，∴xF=.∴kEF=（定值）.∴直线EF的斜率为定值.返回目录20y消去x得ky2-