高三一轮复习--32等比数列及其前n项和

第五章数列第三节等比数列及其前n项和高考成功方案第一步高考成功方案第二步高考成功方案第三步高考成功方案第四步返回考纲点击1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．2．能在具体的问题情境中，识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．3．了解等比数列与指数函数的关系．返回返回答案：B1．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a25，a2＝2，则a1等于()A．1B.2C．－2D．2解析：由题意可知，a3·a9＝a26＝2a25，∴正数公比q＝2.∴a1＝a2q＝22＝2.返回2．已知数列{an}为等比数列，且a5a9＝2π3，则cos(a2a12)＝()A.12B．－12C.32D．－32答案：B解析：∵{an}为等比数列，∴a5a9＝a2a12，∴cos(a2a12)＝cos(a5a9)＝cos2π3＝－12.返回3．在等比数列{an}中a1＝2，前n项和为Sn，若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn等于()A．2n＋1－2B．3nC．2nD．3n－1解析：要{an}是等比数列，{an＋1}也是等比数列，则只有{an}为常数列，故Sn＝na1＝2n.答案：C返回4．已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝________.答案：52解析：由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以a4a5a6＝52.返回5．(2011·北京高考)在等比数列{an}中，若a1＝12，a4＝4，则公比q＝________；a1＋a2＋…＋an＝________.答案：22n－1－12解析：a4＝a1q3，得4＝12q3，解得q＝2，a1＋a2＋…＋an＝121－2n1－2＝2n－1－12.返回1．等比数列的相关概念相关名词等比数列{an}的有关概念及公式定义an＋1an＝q(q是常数且q≠0，n∈N*)或anan－1＝q(q是常数且q≠0，n∈N*且n≥2)通项公式an＝＝am·qn－ma1qn－1返回相关名词等比数列{an}的有关概念及公式前n项和公式等比中项设a、b为任意两个同号的实数，则a、b的等比中项G＝±ab返回2．等比数列的性质(1)对任意的正整数m、n、p、q，若m＋n＝p＋q则.特别地m＋n＝2p则.(2)若等比数列前n项和为Sn则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列，即(S2m－Sm)2＝(m∈N*，公比q≠－1)．am·an＝ap·aqam·an＝aSm(S3m－S2m)2p返回(3)数列{an}是等比数列，则数列{pan}(p≠0，p是常数)也是等比数列；(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.返回返回[做一题][例1]等比数列{an}满足：a1＋a6＝11，a3·a4＝329，且公比q∈(0,1)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若该数列前n项和Sn＝21，求n的值．返回[自主解答](1)∵a3·a4＝a1·a6＝329，∴由条件知a1，a6是方程x2－11x＋329＝0的两根，解得x＝13或x＝323.又0＜q＜1，∴a1＝323，a6＝13.∴q5＝a6a1＝132，即q＝12，∴an＝a6·qn－6＝13·(12)n－6.(2)令323[1－12n]1－12＝21，得(12)n＝164，∴n＝6.返回[悟一法]1．等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．2．解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程．3．在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式．返回[通一类]1．设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝4，a4a5a6＝212.(1)求首项a1和公比q的值；(2)若Sn＝210－1，求n的值．返回解：(1)∵a4a5a6＝a35＝212⇒a5＝16，∴a5a3＝q2＝4⇒q＝2，a1q2＝a3.解得a1＝1.(2)由Sn＝210－1，得Sn＝a1qn－1q－1＝2n－1，∴2n－1＝210－1⇒2n＝210.∴n＝10.返回[做一题][例2](2011·湖北高考)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列{Sn＋54}是等比数列．返回[自主解答](1)设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d.依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d.依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去)．故{bn}的第3项为5，公比为2.由b3＝b1·22，返回即5＝b1·22，解得b1＝54.所以{bn}是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为bn＝54·2n－1＝5·2n－3.返回(2)证明：由(1)得数列{bn}的前n项和Sn＝541－2n1－2＝5·2n－2－54，即Sn＋54＝5·2n－2.所以S1＋54＝52，Sn＋1＋54Sn＋54＝5·2n－15·2n－2＝2.因此{Sn＋54}是以52为首项，公比为2的等比数列．返回[悟一法]判定或证明一个数列是等比数列，常用两种方法：一是利用等比数列的定义，即证明an＋1an＝q(q≠0)，二是利用等比中项，即证明a2n＋1＝an·an＋2≠0.在解题中，要注意根据要证明的问题，对给出的条件合理地变形，构造出符合等比数列定义式的形式，从而证明或判断结论．返回[通一类]2．(2012·皖南八校联考)已知函数f(x)＝2x＋1x＋2(x≠2，x∈R)，数列{an}满足a1＝t(t≠－2，t∈R)，an＋1＝f(an)，(n∈N)．(1)若数列{an}是常数列，求t的值；(2)当a1＝2时，记bn＝an＋1an－1(n∈N*)，证明：数列{bn}是等比数列，并求出通项公式an.返回解：(1)∵数列{an}是常数列，∴an＋1＝an＝t，即t＝2t＋1t＋2，解得t＝－1，或t＝1.∴所求实数t的值是1或－1.返回(2)∵a1＝2，bn＝an＋1an－1，∴b1＝3，bn＋1＝an＋1＋1an＋1－1＝2an＋1an＋2＋12an＋1an＋2－1＝3an＋1an－1，即bn＋1＝3bn(n∈N*)．返回∴数列{bn}是以b1＝3为首项，公比为q＝3的等比数列，于是bn＝3×3n－1＝3n(n∈N*)．由bn＝an＋1an－1(n∈N*)，即an＋1an－1＝3n，解得an＝3n＋13n－1.∴所求的通项公式an＝3n＋13n－1(n∈N*).返回[做一题][例3](1)在等比数列{an}中，若a1·a2·a3·a4＝1，a13·a14·a15·a16＝8，求a41·a42·a43·a44.(2)有四个正数，前三个数成等差数列，其和为48，后三个数成等比数列，其最后一个数为25，求此四个数．返回[自主解答](1)法一：a1·a2·a3·a4＝a1·a1q·a1q2·a1q3＝a41·q6＝1，①a13·a14·a15·a16＝a1q12·a1q13·a1q14·a1q15＝a41·q54＝8，②由②÷①，得a41·q54a41·q6＝q48＝8⇒q16＝2，又a41·a42·a43·a44＝a1q40·a1q41·a1q42·a1q43＝a41·q166＝a41·q6·q160＝(a41·q6)·(q16)10＝1·210＝1024.返回法二：由性质可知，依次4项的积为等比数列，设公比为q，T1＝a1·a2·a3·a4＝1，T4＝a13·a14·a15·a16＝8，∴T4＝T1·q3＝1·q3＝8.∴q＝2.∴T11＝a41·a42·a43·a44＝T1·q10＝210＝1024.返回(2)设前三个数分别为a－d，a，a＋d(d为公差)，由题意知，(a－d)＋a＋(a＋d)＝48，解得a＝16.又∵后三个数成等比数列，即16,16＋d,25成等比数列，∴(16＋d)2＝16×25.解之得，d＝4，或d＝－36.因四个数均为正数，故d＝－36应舍去，所以所求四个数依次是12,16,20,25.返回将问题(1)中“a1·a2·a3·a4＝1，a13·a14·a15·a16＝8”改为“a1＋a2＋a3＝7，a1·a2·a3＝8”，求{an}的通项公式．解：法一：∵数列{an}为等比数列，∴a1a2a3＝a.又∵a1a2a3＝8，∴a2＝2，∴a1＋a3＝5.32返回设等比数列的公比为q，则a1＋a1q2＝5，a1q＝2，解之得q＝2或12，∴an＝2×2n－2或an＝2×(12)n－2，即an＝2n－1或an＝23－n.返回法二：设{an}的公比为q，由题意知a1＋a1q＋a1q2＝7，a1·a1q·a1q2＝8.解得a1＝1q＝2或a1＝4，q＝12.∴an＝2n－1或an＝23－n.返回[悟一法]等比数列的性质可以分为三类：①通项公式的变形，②等比中项的变形，③前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．返回[通一类]3．(1)已知在等比数列{an}中，an＞0，(2a4＋a2＋a6)a4＝36，则a3＋a5＝________.(2)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝6，S4＝30，则S6＝________.解析：(1)(2a4＋a2＋a6)a4＝a2a4＋2a4a4＋a6a4＝a23＋2a3a5＋a25＝(a3＋a5)2＝36，∵an＞0，∴a3＋a5＝6.返回(2)对等比数列{an}有S2、S4－S2、S6－S4成等比数列，∵S2＝6，S4－S2＝30－6＝24，∴S6－S4＝2426＝96，S6＝S4＋96＝126.答案：(1)6(2)126返回返回[热点分析]等比数列是数列的重点，高考主要考查等比数列的定义与性质、通项公式、前n项和公式、等比中项；三种题型均有可能考查到，选择题、填空题主要以等比数列的性质及基本量的运算，解答题考查等比数列的判定与证明，以及前n项和公式的运用．返回[考题印证](2012·临沂模拟)已知等比数列{an}中，a1＝2，a5＝18，则a2a3a4等于()A．36B．216C．±36D．±216返回[考题纠错]———————————(前人之鉴，后人之师)[错解]由等比数列的性质得a23＝a1·a5＝2×18＝36，∴a3＝±6，∴a2a3a4＝a33＝(±6)3＝±216.返回[错因]错解的原因是没有判断a3的符号，事实上在等比数列中各项符号有三种情况：①各项为正，②各项为负，③正负相间．本例中a3＝a1q2＞0.所以在求等比数列中的项时，应注意符号判断．返回[正解]由等比数列的性质得a23＝a1·a5＝2×18＝36，又a3＝a1q2＝2q2＞0，故a3＝6，∴a2a3a4＝a33＝216.返回1．已知等比数列{an}中有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且a7＝b7，则b5＋b9＝()A．2B．4C．8D．16答案：C解析：由a3a11＝4a7，得a27＝4a7，∵a7≠0，∴a7＝4.又a7＝b7＝4，∴b5＋b9＝2b7＝2×4＝8.返回2．已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝2an－1，那么数列{an－1}()A．是等差数列B．是等比数列C．既是等差数列又是等比数列D．不是等差数列也不是等比数列解析：由条件得an＋1－1＝2an－2＝2(an－1)，所以数列{an－1}是以2为首项，2为公比的等比数列．答案：B返回解析：a4－a3＝2(S3－S2)＝2a3.∴a4＝3a3，∴q＝a4a3＝3.3．等比数列{an}中