高三一轮复习--51圆的方程

第八章解析几何第三节圆的方程高考成功方案第一步高考成功方案第二步高考成功方案第三步高考成功方案第四步返回考纲点击1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．2．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．返回返回1．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为()A．(4，－6)，16B．(2，－3)，4C．(－2,3)，4D．(2，－3)，16解析：由x2＋y2＋4x－6y－3＝0，得(x＋2)2＋(y－3)2＝16即圆心为(－2,3)，半径为4.答案：C返回2．已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是()A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝2C．x2＋y2＝1D．x2＋y2＝4答案：A解析：∵A(1，－1)，B(－1,1)，∴圆心坐标为(0,0)，半径r＝12|AB|＝1222＋22＝2.∴圆的方程为x2＋y2＝2.返回3．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是()A．m12B．m10C．m12D．m≤12返回解析：法一：由x2＋y2－x＋y＋m＝0，得(x－12)2＋(y＋12)2＝12－m∵方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，∴12－m0，即m12.法二：由D2＋E2－4F0得1＋1－4m0即m12.答案：A返回4．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________．解析：∵点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，∴(1－a)2＋(1＋a)24，即2a2＋24，∴a21.∴－1a1.答案：(－1,1)返回5．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，5为半径的圆的方程为______．答案：x2＋y2＋2x－4y＝0解析：由(a－1)x－y＋a＋1＝0得a(x＋1)－(x＋y－1)＝0，∴直线恒过定点(－1,2)，∴圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2＋2x－4y＝0.返回1．圆的定义(1)在平面内到的距离等于的点的轨迹是圆．(2)确定一个圆的要素是和．2．圆的标准方程．定长圆心半径(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)定点返回3．圆的一般方程(其中)．其中圆心为，半径r＝.x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0D2＋E2－4F04．点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系(1)若M(x0，y0)在圆外，则.(2)若M(x0，y0)在圆上，则.(3)若M(x0，y0)在圆内，则.(x0－a)2＋(y0－b)2r2(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2(x0－a)2＋(y0－b)2r212D2＋E2－4F(－D2，－E2)返回返回[做一题][例1]求经过点A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程．返回[自主解答]法一：∵圆过A(5,2)，B(3，－2)两点，∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上．线段AB的垂直平分线方程为y＝－12(x－4)．设所求圆的圆心坐标为C(a，b)，则有2a－b－3＝0，b＝－12a－4.解得a＝2，b＝1.∴C(2,1)，r＝|CA|＝5－22＋2－12＝10.∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.返回法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则2a－b－3＝0，5－a2＋2－b2＝r2，3－a2＋－2－b2＝r2解得a＝2，b＝1，r＝10∴圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.返回法三：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)，则25＋4＋5D＋2E＋F＝0，9＋4＋3D－2E＋F＝0，2×－D2＋E2－3＝0解得D＝－4，E＝－2，F＝－5.∴所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－5＝0.返回[悟一法]1．利用待定系数法确定圆的方程需要三个独立条件，“选标准，定参数”是解题的基本方法．其中，选标准是根据已知条件选恰当的圆的方程的形式，进而确定其中三个参数．一般来讲，条件涉及到圆上的点多，可选择一般方程，条件涉及用半径列方程，通常选择标准方程．2．求圆的方程的一般步骤为：①根据题意选用圆的方程的两种形式中的一种；②根据所给条件，列出关于D、E、F或a、b、r的方程组；③解方程组，求出D、E、F或a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求的圆的方程．返回[通一类]1．若不同的四点A(5,0)，B(－1,0)，C(－3,3)，D(a,3)共圆，求a的值．解：设经过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)．由题意可得52＋5D＋F＝0，－12－D＋F＝0，－32＋32＋－3×D＋3E＋F＝0.返回解得D＝－4，E＝－253，F＝－5.∴A，B，C三点确定的圆的方程为x2＋y2－4x－253y－5＝0.∵D(a,3)也在此圆上，∴a2＋9－4a－25－5＝0.∴a＝7或a＝－3(舍去).返回[做一题][例2]已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．返回[自主解答](1)原方程可化为(x－2)2＋y2＝3表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆，yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时|2k－0|k2＋1＝3，解得k＝3或k＝－3.所以yx的最大值为3，最小值为－3.返回(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b＝－2＋6或b＝－2－6.所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.返回(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2－02＋0－02＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－43.返回保持例题条件不变，求点P(x，y)到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值和最小值．解：∵圆心(2,0)到直线3x＋4y＋12＝0的距离为d＝|6＋12|5＝185，∴P(x，y)到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值为185＋3，最小值为185－3.返回[悟一法]研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数形结合求解，一般地：(1)形如u＝y－bx－a型的最值问题，可转化为动直线的斜率的最值问题；(2)形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；(3)形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题．返回[通一类]2．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(－1,0)，B(1,0)，点P为圆上的动点，求d＝|PA|2＋|PB|2的最大值、最小值及对应的P点坐标．返回解：若设P(x0，y0)，则d＝|PA|2＋|PB|2＝(x0＋1)2＋y02＋(x0－1)2＋y02＝2(x02＋y02)＋2，欲求d的最值，只需求w＝x02＋y02的最值，即求圆C上的点到原点距离平方的最值，故过原点O与圆心C的直线与圆的两个交点P1，P2即为所求．设过O，C两点的直线交圆C于P1，P2两点，则wmin＝(|OC|－1)2＝16＝|OP1|2，此时dmin＝2×16＋2＝34，P1(125，165)；wmax＝(|OC|＋1)2＝36＝|OP2|2，此时dmax＝2×36＋2＝74，P2(185，245).返回[做一题][例3]已知P(4,0)是圆x2＋y2＝36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB＝90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程．返回[自主解答]设AB的中点为R，坐标为(x1，y1)，则在Rt△ABP中，|AR|＝|PR|.又因为R是弦AB的中点，故|AR|2＝|AO|2－|OR|2＝36－(x21＋y21)，又|AR|＝|PR|＝x1－42＋y21，所以有(x1－4)2＋y21＝36－(x21＋y21)．即x21＋y21－4x1－10＝0，返回因此点R在一个圆上．而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动．设Q(x，y)，因为R是PQ的中点，所以x1＝x＋42，y1＝y＋02.代入方程x21＋y21－4x1－10＝0，得(x＋42)2＋(y2)2－4·x＋42－10＝0，整理得x2＋y2＝56.即矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程为x2＋y2＝56.返回[悟一法]求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下做法：（1）直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；（2）定义法：根据圆、直线等定义列方程；（3）几何法：利用圆与圆的几何性质列方程；（4）代入法：找到要求点与已知点的关系代入已知点满足的关系式．不论哪种方法，充分利用圆与圆的几何性质，找出动点与定点之间的关系是解题的关键．返回[通一类]3．已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的中点M的轨迹．解：设点M的坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，由于点B的坐标是(4,3)，且点M是线段AB的中点．所以x＝x0＋42，且y＝y0＋32，于是有x0＝2x－4，y0＝2y－3.①返回因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4，即(x0＋1)2＋y02＝4.②把①代入②，得(2x－4＋1)2＋(2y－3)2＝4，整理，得x－322＋y－322＝1.所以，点M的轨迹是以32，32为圆心，半径长是1的圆．返回返回[热点分析]圆的方程的求法是高考对本节内容的考查热点，主要考查待定系数法在求圆方程中的应用，有时和直线与圆的位置关系相结合命题．返回[考题印证](2011·辽宁高考)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为________．返回[法一]设圆心坐标为(a,0)，易知a－52＋－12＝a－12＋－32，解之得a＝2，∴圆心为(2,0)，半径为10.∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.[一题多解]———————————(条条大道通罗马)返回[法二]依题意设所求圆的方程为：(x－a)2＋y2＝r2，把所给两点坐标代入方程得，5－a2＋1＝r2，1－a2＋9＝r2解得a＝2，r2＝10所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.[法三]线段AB的中垂线方程为2x－y－4＝0，与x轴的交点(2,0)即为圆心C的坐标，所以半径为|CB|＝10，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.[答案](x－2)2＋y2＝10返回1．若圆心在x轴上、半径为5的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O的方程是()A．(x－5)2＋y2＝5B．(x＋5)2＋y2＝5C．(x－5)2＋y2＝5D．(x＋5)2＋y2＝5答案：D解析：设圆心O(a,0)(a＜0)，则5＝|a|12＋22⇒|a|＝5，得a＝－5，∴圆O的方程为(x＋5)2＋y2＝5.返回2．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为()A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1D．(x－2)2＋(y－2)2＝1返回解析：圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(－1,1)．圆C2的圆心设为(a，b)，C1与C2关于直线x－y－1＝0对称，∴b－1a＋1＝－1，a－12－b＋12－1＝0，解得a＝2，b＝－2，圆C2的半径为1，∴圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝