数学软件选讲 - 讲解常用Mathematica,Matlab,SAS软件

数学软件选讲•Mathematica•Matlab•SAS第一篇Mathematica基础知识作为一门新的编程语言图形处理（二维、三维及其参数方程的形式）极限、微分与积分求解方程（组）、微分方程（组）在线形代数方面的应用数值处理文件及其它高级操作第一章基础知识一、Mathematica3.0界面及运行介绍二、基本数值运算1.整数运算：加、减、乘、除、幂、阶乘2.数学常量：E、Pi、I、Degree、Infinity3.函数及数学函数4.浮点数及复数运算：N函数三、变量及表达式1.变量的定义及清除◆变量的特点(1)变量的默认作用域是全局的(2)全局变量不需事先定义或声明(3)尽量避免使用下划线定义变量2.多项式及其操作(1)定义、替换符操作(2)常用操作：Expand、Factor、Together、PartSimplify、Collect、Coefficient、Exponent四、序列及其操作1.序列的定义2.序列的生成：Table函数3.序列的操作(1)添加删除：Append、Prepend、Insert、Delete、DeleteCases(2)取元素：Part、Take、Drop、Select(3)检测：Length、Count、Position五、表达式“头”的概念：Head及Apply函数六、自定义函数1.一元函数例：Clear[f,x]f[x_]:=x^2+4x-22.多元函数例：f[x_,y_]:=x^2+y^2-33.迭代函数例：f[n_]:=f[n-1]+f[n-2];f[0]=1;f[1]=1;1·条件语句◆逻辑判断符====!=====!=第二章编程语言◆逻辑运算符!||&&◆/；运算符x=a/;test仅当test为True时才执行赋值语句◆If语句语法：If[test,then,else]若test为True，则执行then，若test为False，则执行else.◆Which语句语法：Which[test1,value1,test2,…]依次计算testi，给出对应第一个test为True的value◆Switch[expr,form1,value1,form2,…]比较expr与formi，给出与第一个form值匹配的value例1.定义如下的函数：220002xxxxx①使用/;定义：f[x_]:=0/;x=0f[x_]:=x/;x0&&x=2f[x_]:=x^2/;x2②使用If定义：f[x_]:=If[x=0,0,If[x2,x^2,x]]③使用Which定义：f[x_]:=Which[x=0,0,x2,x^2,True,x]2·输出语句Print3·循环语句◆Do语句语法：Do[expr,{i,imin,imax,di}]计算expr，i=imin,…,imax，步长为di◆While语句语法：While[test,body]当test为True时，计算body◆For语句语法：For[start,test,incr,body]以start为起始值，重复计算body和incr，直到test为False时为止◆循环控制语句Break和ContinueBreak[]退出最里面的循环Continue[]转入当前循环的下一步1.基本二维图形①Plot[f,{x,xmin,xmax}]，用于绘制形如y=f(x)的函数的图形。当将多个图形绘制在同一坐标系上时，形如：Plot[{f1,…,fn},{x,xmin,xmax}]注意：有时需要使用Evaluate函数。第三章图形处理例：在同一坐标系下绘出sinx,sin2x,sin3x,sin4x,sin5x的图形。常用的选项：PlotStyle－Hue[a]设置线条颜色PlotRange－{a,b}控制显示范围DisplayFunction控制图形显示AspectRatio图形的宽、高比AxesOrigin设置原点坐标形为间隔时，绘出这组图，以变化到从当，157515)2008.9(2sec)(tan02022vgvgxxy程序：Clear[a,y,x]v=200;g=9.8;y[a_,x_]:=Tan[a]*x-g*x^2*Sec[a]^2/(2v^2)Plot[Evaluate[Table[y[i,x],{i,Pi/12,5Pi/12,Pi/12}]],{x,0,4000}]例：有如下的抛物线簇：②ListPlot[List]，用于绘制散点图。注意，List的形式应为：}},{,},,{},,{{1100nnyxyxyx例：在同一坐标系下绘制下列两组散点图p1={{0,0},{0,45},{5.3,89.6},{22.6,131.2}};p2={{0,0},{2.68,44.8},{12.57,88.28},{27,130.3}};程序：g1=ListPlot[p1,PlotJoined-True,DisplayFunction-Identity];g2=ListPlot[p2,PlotJoined-True,DisplayFunction-Identity];Show[g1,g2,DisplayFunction-$DisplayFunction];③ParametricPlot[{fx,fy},{t,tmin,tmax}]用于绘制形如{x=fx(t),y=fy(t)}的参数方程图形。例：绘制以点（3,4）为圆心，半径为2的圆。ParametricPlot[{3+2Cos[t],4+2Sin[t]},{t,0,2Pi}]可增加如下选项：AspectRatio-1,AxesOrigin-{0,0}2.其它二维图形①ContourPlot[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}]，用于绘制形如z=f(x,y)的函数的等高线图。②DensityPlot[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}]，用于绘制形如z=f(x,y)的函数的密度图。例：绘制函数f=sinx·siny的等高线图和密度图3.三维图形①Plot3D[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}]绘制形如Z=f(x,y)的三维图形。例：绘制以下的函数图形：Z=10sin(x+siny)命令：Plot3D[10Sin[x+Sin[y]],{x,-10,10},{y,-10,10}]可增加选项：PlotPoints-40②ParametricPlot3D[{fx,fy,fz},{t,tmin,tmax},{u,umin,umax}]用于绘制形如{x=fx(t),y=fy(t),z=fz(t)}的参数图形。)200,8.9(60)0,0(22022020vgyyxxvggvy所得的图形。轴旋转绕例：画出抛物线202022,2],0[],32,0[sincosvgbgvabarbrayrzrx其中，其中参数方程为：解：旋转所得的抛物面4.利用函数包绘制特殊图形载入图形函数包的方法：类名`包名`例：Graphics`Graphics`PolarPlot[r,{t,tmin,tmax}]绘制极坐标图形LogPlot[f,{x,xmin,xmax}]画对数线性图BarChart[list]画出list的条形图PieChart[list]画出list的百分图例：Graphics`ImplicitPlot`ImplicitPlot[eqn,{x,xmin,xmax}]绘制形如f(x,y)=0的隐函数图形例：绘制以点（3,4）为圆心，半径为2的圆。ImplicitPlot[(x-3)^2+(y-4)^2==2,{x,0,5}]第二章幂级数、极限、微分与积分1.幂级数展开Series[expr,{x,xo,n}]求在点x=xo处至多n次的幂级数展开例：求ex在点x=0处x4级幂级数展开注：使用Normal函数可以去掉级数中的极小项，从而转变成一般表达式。2.极限Limit[expr,x-xo]求x逼近xo时expr的极限某些函数在一点处的极限随逼近方向不同而不同，可用Direction选择方向：Limit[expr,x-xo,Direction-1]左极限Limit[expr,x-xo,Direction--1]右极限例：求1/x的左右极限xxxsinlim0xxxx32lim例：3.微分D[f,{x,n}]求f的n阶偏微分Dt[f]求f的全微分例：D[x^n,{x,3}]Dt[x^2+y^2]例：y=xarctgx，求其100阶导数及其在0点的值4.积分Integrate[f,x]求f的不定积分Integrate[f,{x,xmin,xmax}]求f的定积分Integrate[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}]求f的多重积分例：ax21)sin(sinx2121ax20)sin(sinx第三章线性代数1.构造矩阵和向量Table[f,{i,m},{j,n}]构造m×n矩阵，f是i,j的函数，给出[i,j]项值Array[f,{m,n}]构造m×n矩阵，[i,j]项的值是f[i,j]DiagonalMatrix[List]生成对角线元素为List的对角矩阵IdentityMatrix[n]构造n阶单位阵2.截取矩阵块M[[i]]取矩阵M的第i行Map[#[[i]]&,M]取矩阵M的第i列M[[i,j]]取矩阵M的i,j位置的元素M[[{i1,…,ir},{j1,…,js}]]矩阵M的r×s子矩阵，元素行标为ik，列标为jkM[[Range{i0,i1},Range{j0,j1}]]矩阵M的从i0到i1行，j0到j1列元素组成的子矩阵3.矩阵及向量的运算M.N对M、N做矩阵乘法（向量内积）M*N将M、N的对应位置元素相乘Outer[Times,M,N]求M、N的外积Dimensions[M]给出矩阵M的维数Transpose[M]转置Inverse[M]求逆Det[M]方阵M的行列式值MatrixPower[M,n]n阶矩阵幂MatrixExp[M]矩阵指数Eigenvalues[M]M的特征值Eigenvectors[M]M的特征向量第四章求解方程（组）、微分方程（组）1.求解多项式方程（组）Solve[eqns,vars]求解多项式方程Solve[{eqn1,…eqnn},{var1,…varn}]求解多项式方程组注：Solve只能给出多项式方程（组）的解，因此它们只适用于幂次不高、规模不大的多项式方程（组）。21yxbyaxNSolve[eqns,vars]求多项式方程的数值解NSolve[{eqn1,…eqnn},{var1,…varn}]求多项式方程组的数值解对于数值解，可以直接用NSolve求解例：求解以下方程（组）x2+ax=2x3+34x+1=0x5-1331x+11=0133xyyxxyyx2.求解微分方程（组）DSolve[eqns,y[x],x]求解y[x]的微分方程DSolve[eqns,y,x]以纯函数的形式给出y的解DSolve[{eqn1,eqn2,…},{y1,y2,…},x]求解微分方程组例：求解以下微分方程（组）y’=yy’’－ky=1xyyx''的值时函数并求yxyyy8.21)0(2'第五章数值处理1.数值积分NIntegrate[expr,{x,xmin,xmax}]注意，NIntegrate直接计算数值积分，不先给出符号结果，而Integrate[…]//N会尽可能的先求精确解的形式。2.数值根求解FindRoot[lhs=rhs,{x,x0}]以x0为初始点求方程的数值解FindRoot[lhs=rhs,{x,{x0,x1}}]给出两个初值求数值根（方程的符号导数无法求出时，必须使用此形式）FindRoot[{eqn1