高中数学必修5_不等式的性质

§3.1不等关系与不等式第二课时不等式的性质课前预习目标课堂互动探究自学导引1、掌握常用不等式的基本性质．2、会用不等式的性质，进行数或式的大小比较和不等式的证明．3、掌握用不等式(组)研究含有不等关系的问题.1．实数大小的基本性质2．做差比较法的基本步骤及要点：作差→变形（通分、因式分解、配方、根式有理化）0baba0baba0baba复习回顾→定号→确定符号。不等式的基本性质性质1：如果ab，那么ba，如果ba，那么ab．(对称性)即：ab⇔ba.证明：ab⇒a-b0⇒-(a-b)0⇒b-a0⇒baba⇒b-a0⇒-(b-a)0⇒a-b0⇒ab性质2：如果ab，且bc，那么ac．(传递性)即ab，bc⇒ac不等式的传递性可以推广到n个的情形．证明：根据两个正数之和仍为正数，得.00)()(0c-bcbob-abacacacbba性质3：如果ab，那么a+cb+c．即ab⇒a+cb+c(可加性）证明：∵(a+c)-(b+c)=a-b0,∴a+cb+c.推论1：不等式中任何一项改变符号后，可以把它从—边移到另一边．（移项法则）如果a+bc,那么ac-b即a+bc⇒ac-b性质5：如果ab，且cd，那么a+cb+d．(相加法则)即ab，cd⇒a+cb+d．证明：∵ab,∴a+cb+c①又∵cd,∴b+cb+d.②由①②得a+cb+d例1已知ab，cd，求证：a-cb-d．(相减法则)证明：∵ab,cd,∴ab,-c-d.根据性质3的推论2，得a+(-c)b+(-d),即a-cb-d性质4：如果ab，且c0，那么acbc；如果ab，且c0，那么acbc。（可乘性）①ab,c0⇒acbc。证明：ac-bc=(a-b)c,∵ab,∴a-b0,又∵c0,根据同号相乘得正，∴(a-b)c0⇒acbc。性质6：如果ab0，且cd0，那么acbd。(相乘法则)证明:由性质3得bdacbdbccdcobcaccba00000思考感悟：若a＞b＞0，c＞d，则ac＞bd成立吗？证明：因为个nbababa0...00根据性质4的推论1，得bann性质7：若0,(1)nnababnNn则且(乘方法则）证明：用反证法。假定nnba，即nnba或nnba根据性质4的推论2和根式性质，得ab或a=b.这都与ab矛盾，因此nnba性质8：若0,(1)nnababnNn则且（开方法则）不等式的基本性质总结性质1：对称性abba性质2：传递性ab，且bc⇒ac性质3：可加性ab⇒a+cb+c推论1：移项法则ab⇔a+cb+c性质5：相加法则ab，cd⇒a+cb+d性质4：可乘性ab,且c0⇒acbcab，且c0⇒acbc性质6：相乘法则ab0，且cd0⇒acbd性质7：乘方法则ab0bann(nN,n1)性质8：开方法则ab0⇒(nN,n1)nnba例2已知ab,ab0,求证：11.ab名师讲解1.在应用不等式的性质时应注意的问题在使用不等式的性质时，一定要注意它们成立的条件，不能盲目套用，否则就会出错．例如：(1)性质5ab，cd⇒a＋cb＋d，即两个同向不等式可以相加，也可以表示为ab，cd⇒a＋cb＋d.(2)性质6ab0且cd0⇒acbd.不但要求两个不等式同向，而且不等式两边必须为正值，否则结论不一定成立，假设去掉大于0这个条件，取a＝3，b＝2，c＝－4，d＝－5，则有3×(－4)2×(－5)的错误结论．(3)性质7ab0⇒anbn(n∈N且n≥2)，若忽略n∈N，且n≥2，就会引出错误的结论．如取a＝3，b＝2，n＝－1，则有3－12－1，即1312的错误结论．(4)注意不等式性质的单向性或双向性．也就是说每条性质是否具有可逆性．仅有ab⇔ba，ab⇔a＋cb＋c具有可逆性．其余几条性质是不可以逆推的．利用不等式的性质判断命题的真假一【例1】下列说法正确的是________．①若ab，则ac2bc2；②若ab，则1a1b；③若ac2bc2，则ab；④若ab0，则a2abb2；⑤若ab0，则a2b2；⑥若cab0，则ac－abc－b；⑦若ab且1a1b，则a0，b0；⑧若ab，则lgalgb.典例剖析【解】①若c＝0时ac2＝bc2，故不正确．②若a0，b0，则1a1b，故不正确．③∵ac2bc2，∴c2≠0，则c20，故ab成立．④a2－ab＝a(a－b)，∵ab0，∴a－b0.∴a(a－b)0，故a2ab，而ab－b2＝b(a－b)，又b0，a－b0，∴abb2.∴原式成立．⑤a2－b2＝(a－b)(a＋b)，∵ab0，∴a－b0，a＋b0，∴a2－b20，∴a2b2.∴原式成立．⑥ac－a－bc－b＝ac－ab－bc＋abc－ac－b＝ca－bc－ac－b.∵cab0，∴a－b0，c－a0，c－b0，c0，∴ac－abc－b.∴原式成立．⑦∵ab，∴a－b0，又1a1b，∴1a－1b0，即b－aab0，而ab，∴ab0且ab，∴a0，b0，∴原式成立．⑧ab时，a、b不一定为正数，故lga与lgb可能无意义，故应填③④⑤⑥⑦.答案③④⑤⑥⑦利用不等式的性质证明简单的不等式二【例2】证明下列不等式．(1)已知ab0，求证：baab；(2)已知ab0，求证：abba；(3)已知ab，1a1b，求证：ab0.【分析】首先作差，对差进行分析或利用不等式的性质，对已知不等式进行变形，从而得出要证的不等式．证明(1)ba－ab＝b2－a2ab，∵ab0，∴－a－b0，∴a2b2.故b2－a20.又∵ab0，∴b2－a2ab0，∴baab.(2)∵ab0，∴ab0.①又∵ab0，两边同乘正数1ab，得1b1a0.②①②两式相乘，得abba.(3)∵1a－1b＝b－aab，∵ab，∴b－a0.又∵1a1b，∴1a－1b0，∴b－aab0.∴ab0.利用不等式性质求变量的取值范围三【例3】已知－6a8,2b3，分别求2a＋b，a－b，ab的取值范围．【分析】解答本题可利用不等式的可加性和可乘性求解．【解】∵－6a8,2b3，∴－122a16.∴－102a＋b19.又∵－3－b－2，∴－9a－b6.又131b12，(1)当0≤a≤8时，0≤ab4；(2)当－6a0时，－2＜ab＜0.由(1)(2)得－2ab4.规律技巧解决此类问题，要注意题设中的条件，充分利用已知求解，否则易出错，同时在交换过程中要熟练掌握，准确使用不等式的性质，不能出现同向不等式相减，相除的错误.易错探究已知1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，求3a－2b的范围．【错解】∵1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，∴0≤a≤4.又∵1≤a＋b≤5，－3≤－(a－b)≤1，∴－1≤b≤3.∵0≤a≤4，－1≤b≤3，∴0≤3a≤12，－6≤－2b≤2，∴－6≤3a－2b≤14.【错因分析】在错解中，由已知条件推出不等式－6≤3a－2b≤14的各个步骤，均实行了不等式性质中的推出关系，但结论是不正确的，事实上，由1≤a＋b≤5与－1≤a－b≤3，得到0≤a≤4，－1≤b≤3，但这并不意味着a与b可各自独立地取得区间[0,4]与[－1,3]的一切值．如取a＝4，b＝3时，a＋b＝7，就已超出题设条件1≤a＋b≤5中的范围，细究缘由，就是推出关系并非等价关系．【正解】设x＝a＋b，y＝a－b，则a＝x＋y2，b＝x－y2，∵1≤x≤5，－1≤y≤3，∴3a－2b＝12x＋52y.又12≤12x≤52，－52≤52y≤152，∴－2≤12x＋52y≤10.即－2≤3a－2b≤10.随堂训练1.设a，b为非零实数，若ab，则下列不等式成立的是()A．a2b2B．ab2a2bC.1ab21a2bD.baab解析用a＝－1，b＝1，试之，易排除A，D.再取a＝1，b＝2，易排除B.答案C2．设a＝log122，b＝log1313，c＝120.3，则()A．abcB．acbC．bcaD．bac解析易知a＝log1320，b＝log1213log1212＝1，0c＝120.31，∴bca.答案B3．判断下列说法是否正确，并说明理由．(1)如果ab，那么a－cb－c；(2)如果ab，那么acbc；(3)如果acbc，那么ab；(4)如果ac2bc2，那么ab.解(1)正确，符合性质3；(2)不正确，当c0时不正确；(3)不正确，当c0时不正确；(4)正确，因为ac2bc2，所以c20，所以由性质4，可得ab.4．(1)若bc－ad≥0，bd0，求证：a＋bb≤c＋dd；(2)已知cab0，求证：ac－abc－b；(3)已知a，b，m均为正数，且ab，求证：a＋mb＋mab.证明：(1)bc－ad≥0⇒bc≥ad又bd0⇒1bd0⇒cd≥ab⇒cd＋1≥ab＋1⇒c＋dd≥a＋bb⇒a＋bb≤c＋dd.(2)cab0⇒c－bc－a0⇒1c－a1c－b0ab0⇒ac－abc－b.(3)a＋mb＋m－ab＝ba＋m－ab＋mbb＋m＝mb－abb＋m，∵ba0，m0，∴mb－abb＋m0，∴a＋mb＋mab.