高中数学必修5第2章 第3节 第2课时等差数列前n项和的综合应用

上一页返回首页下一页阶段一阶段二阶段三学业分层测评第2课时等差数列前n项和的综合应用上一页返回首页下一页1.掌握等差数列前n项和的性质及应用.重点2.会求等差数列前n项和的最值.重点、易错点3.能用裂项相消法求和.难点上一页返回首页下一页[基础·初探]教材整理等差数列前n项和的性质阅读教材P44例3～P45，完成下列问题．1．Sn与an的关系an＝，n＝1，n≥2S1Sn－Sn－1上一页返回首页下一页2．等差数列前n项和的性质(1)等差数列{an}中，其前n项和为Sn，则{an}中连续的n项和构成的数列Sn，，S3n－S2n，，…构成等差数列．(2)数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)．S2n－SnS4n－S3n上一页返回首页下一页3．等差数列前n项和Sn的最值(1)若a10，d0，则数列的前面若干项为项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最值．(2)若a10，d0，则数列的前面若干项为项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最值．特别地，若a10，d0，则是{Sn}的最值；若a10，d0，则是{Sn}的最大值．负数小正数大S1小S1上一页返回首页下一页1．下列说法中正确的有(填序号)．(1)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Snn也是等差数列．(2)在等差数列{an}中，当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝an＋1.(3)若a10，d0，则等差数列中所有正项之和最大．(4)在等差数列中，Sn是其前n项和，则有S2n－1＝(2n－1)an.上一页返回首页下一页【解析】(1)正确．因为由等差数列前n项和公式知Snn＝d2n＋a1－12d，所以数列Snn为等差数列．(2)错误．当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝nd.(3)正确．由实数的运算可知该说法正确．(4)正确．因为S2n－1＝a1＋a2n－12n－12＝2n－12[an＋(1－n)d＋an＋(n－1)d]＝(2n－1)an.【答案】(1)(3)(4)上一页返回首页下一页2．一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为.【导学号：05920030】【解析】由条件知a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝30，又∵a1＋a11＝a3＋a9＝a5＋a7，∴a5＋a7＝2a6＝10，∴中间项a6＝5.【答案】5上一页返回首页下一页3．等差数列{an}中，S2＝4，S4＝9，则S6＝.【解析】由S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，∴4＋(S6－9)＝2×5，∴S6＝15.【答案】15上一页返回首页下一页4.已知数列{an}的通项公式是an＝2n－48，则Sn取得最小值时，n为．【解析】由an≤0得，2n－48≤0，n≤24.∴当n＝23或24时，Sn最小．【答案】23或24上一页返回首页下一页[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________解惑：_______________________________________________________疑问2：_____________________________________________________解惑：_______________________________________________________疑问3：______________________________________________________解惑：_______________________________________________________上一页返回首页下一页[小组合作型]由数列的前n项和Sn求an已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋12n，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？【精彩点拨】求a1―→n≥2时求an―→n＝1时验证―→得通项公式an―→判定{an}是否为等差数列上一页返回首页下一页【自主解答】根据Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an与Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n1)，可知，当n1时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋12n－(n－1)2＋12(n－1)＝2n－12，①当n＝1时，a1＝S1＝12＋12×1＝32，也满足①式．∴数列{an}的通项公式为an＝2n－12.由此可知：数列{an}是以32为首项，以2为公差的等差数列．上一页返回首页下一页1．已知前n项和Sn求通项an，先由n＝1时，a1＝S1求得a1，再由n≥2时，an＝Sn－Sn－1求an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表示．2．由数列的前n项和Sn求an的方法，不仅适用于等差数列，它也适用于其他数列．上一页返回首页下一页[再练一题]1．已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式，求{an}的通项公式．(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n－2.上一页返回首页下一页【解】(1)当n＝1时，a1＝S1＝2×12－3×1＝－1；当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)＝2n2－7n＋5，则an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－(2n2－7n＋5)＝2n2－3n－2n2＋7n－5＝4n－5.此时若n＝1，an＝4n－5＝4×1－5＝－1＝a1，故an＝4n－5.上一页返回首页下一页(2)当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1；当n≥2时，Sn－1＝3n－1－2，则an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝3n－3n－1＝3·3n－1－3n－1＝2·3n－1.此时若n＝1，an＝2·3n－1＝2·31－1＝2≠a1，故an＝1，n＝1，2·3n－1，n≥2.上一页返回首页下一页等差数列前n项和的性质应用(1)在等差数列{an}中，若S4＝1，S8＝4，则a17＋a18＋a19＋a20的值为()【导学号：05920031】A．9B．12C．16D．17(2)等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n等于．上一页返回首页下一页(3)已知{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且SnTn＝2n＋2n＋3，则a5b5＝.【精彩点拨】(1)解决本题关键是能发现S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12，a17＋a18＋a19＋a20能构成等差数列．(2)利用等差数列奇偶项和的性质求解，或利用“基本量法”求解．(3)解决本题关键是如何将an转化为用等差数列的前(2n－1)项的和表示．上一页返回首页下一页【自主解答】(1)由题意知：S4＝1，S8－S4＝3，而S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12，S20－S16成等差数列．即1,3,5,7,9，a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16＝9.(2)法一(巧用性质)因为等差数列共有2n＋1项，所以S奇－S偶＝an＋1＝S2n＋12n＋1，即132－120＝132＋1202n＋1，解得n＝10.上一页返回首页下一页法二(基本量思想)可设等差数列的首项为a1，公差为d.依题意可列方程组n＋1a1＋nn＋12×2d＝132，na2＋n－1n2×2d＝120，即n＋1a1＋nd＝132，na1＋nd＝120，所以n＋1n＝132120，即n＝10.上一页返回首页下一页(3)由等差数列的性质，知a5b5＝a1＋a92b1＋b92＝a1＋a92×9b1＋b92×9＝S9T9＝2×9＋29＋3＝53.【答案】(1)A(2)10(3)53上一页返回首页下一页[再练一题]2．(1)等差数列{an}中，a2＋a7＋a12＝24，则S13＝.(2)(2015·九江高二检测)等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列Snn的前10项和为．上一页返回首页下一页【解析】(1)由a2＋a7＋a12＝24，得a7＝8.所以S13＝a1＋a132×13＝a7·13＝104.(2)因为an＝2n＋1，所以a1＝3.所以Sn＝n3＋2n＋12＝n2＋2n，所以Snn＝n＋2，所以Snn是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋10×92×1＝75.【答案】(1)104(2)75上一页返回首页下一页[探究共研型]等差数列前n项和Sn的函数特征探究1将首项为a1＝2，公差d＝3的等差数列的前n项和看作关于n的函数，那么这个函数有什么结构特征？如果一个数列的前n项和为Sn＝3n2＋n，那么这个数列是等差数列吗？上述结论推广到一般情况成立吗？上一页返回首页下一页【提示】首项为2，公差为3的等差数列的前n项和为Sn＝2n＋nn－1×32＝32n2＋12n，显然Sn是关于n的二次型函数．且常数项为0，二次项系数为d2，一次项系数为a1－d2；如果一个数列的前n项和为Sn＝3n2＋n，那么当n＝1时，S1＝a1＝4.上一页返回首页下一页当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n－2，则该数列的通项公式为an＝6n－2，所以该数列为等差数列，事实上对于任何一个等差数列的前n项和都是关于n的二次型函数，且常数项为0，反之，一个数列的前n项和具备上述特征，该数列一定是等差数列．上一页返回首页下一页探究2已知一个数列{an}的前n项和为Sn＝n2－5n，试画出Sn关于n的函数图象．你能说明数列{an}的单调性吗？该数列前n项和有最值吗？上一页返回首页下一页【提示】Sn＝n2－5n＝n－522－254，它的图象是分布在函数y＝x2－5x的图象上的离散的点，由图象的开口方向可知该数列是递增数列，图象开始下降说明了{an}前n项为负数．由Sn的图象可知，Sn有最小值且当n＝2或3时，Sn最小，最小值为－6，即数列{an}前2项或前3项和最小．上一页返回首页下一页数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2，(1)求{an}的通项公式；(2)问{an}的前多少项和最大；(3)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和S′n.上一页返回首页下一页【精彩点拨】(1)利用Sn与an的关系求通项，也可由Sn的结构特征求a1，d，从而求出通项．(2)利用Sn的函数特征求最值，也可以用通项公式找到通项的变号点求解．(3)利用an判断哪些项是正数，哪些项是负数，再求解，也可以利用Sn的函数特征判断项的正负求解．上一页返回首页下一页【自主解答】(1)法一当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1满足an＝34－2n.故{an}的通项公式为an＝34－2n.法二由Sn＝－n2＋33n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数，所以{an}是等差数列，由Sn的结构特征知d2＝－1，a1－d2＝33，解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n.上一页返回首页下一页(2)法一令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17，故数列{an}的前17项大于或等于零．又a17＝0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大．法二由y＝－x2＋33x的对称轴为x＝332.距离332最近的整数为16,17.由Sn＝－n2＋33n的图象可知：当n≤17时，an≥0，当n≥18时，an0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大．上一页返回首页下一页(3)由(2)知，当n≤17时，an≥0；当n≥18时，an0.所以当n≤17时，Sn′＝b1＋b2＋…＋bn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝33n－n2.当n≥18时，上一页返回首页下一页Sn′＝|a1|＋|a2|＋…＋|a17|＋|a18|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an)＝S17－(Sn－S17)＝2S17－Sn＝n2－33n＋544.故Sn′＝33n