高中数学必修一第一章综合知识汇总

章末质量评估跟踪训练热点考点例析知能整合提升工具栏目导引必修1第一章集合与函数概念课题导入回顾所学知识章末质量评估跟踪训练热点考点例析知能整合提升工具栏目导引必修1第一章集合与函数概念第一章综合复习课章末质量评估跟踪训练热点考点例析知能整合提升工具栏目导引必修1第一章集合与函数概念独立自学1.第一章中我们主要学习了哪两块知识？2.集合的性质有哪些？我们研究了函数的哪些性质？章末质量评估跟踪训练热点考点例析知能整合提升工具栏目导引必修1第一章集合与函数概念1．集合中元素特征的认识确定性、互异性、无序性是集合中元素的三个特征．(1)确定性是指一个对象a和一个集合A，a∈A和a∉A必居其一．它是确定一组对象能否构成集合的依据．(2)互异性是指同一个集合中的元素是互不相同的．相同的对象归入同一集合时只能算作集合的一个元素．在解答含参集合问题时，互异性是一个不可或缺的检验工具．(3)无序性是指任意改变集合中元素的排列次序，它们仍然表示同一个集合．引导探究一知识点梳理章末质量评估跟踪训练热点考点例析知能整合提升工具栏目导引必修1第一章集合与函数概念2．解读集合表示的三种方法集合常用的表示方法有三种，即列举法、描述法和图示法，其中图示法包括Venn图法和数轴法两种．(1)列举法是把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法．使用列举法要注意：元素间用分隔号“，”且元素不能重复．(2)描述法是用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．使用描述法要注意：写清楚该集合中元素的代号(字母或用字母表示的元素符号)，准确说明该集合中元素的特征．章末质量评估跟踪训练热点考点例析知能整合提升工具栏目导引必修1第一章集合与函数概念(3)Venn图法是指对给定的集合用封闭曲线的内部(常见的有圆和矩形)表示的方法．Venn图表示集合时，要清楚集合中的元素是什么．(4)数轴通常用来表示不等式的解集．使用时要注意空心点与实心点的区别．章末质量评估跟踪训练热点考点例析知能整合提升工具栏目导引必修1第一章集合与函数概念3．空集的透析空集是不含有任何元素的集合．除了它本身的实际意义外，在研究集合与集合之间的关系和运算时，必须予以单独考虑．(1)空集是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集．因此∅⊆{0}和∅{0}都成立．(2)对于任意集合A，都有A∩∅＝∅，A∪∅＝A，∁AA＝∅，∁A∅＝A成立．章末质量评估跟踪训练热点考点例析知能整合提升工具栏目导引必修1第一章集合与函数概念4．集合之间的关系与运算的注意点(1)正确判断元素与集合、集合与集合之间的关系．元素与集合之间的关系是属于与不属于的关系，集合与集合之间的关系是包含、真包含、相等的关系，要按照定义仔细区别．(2)灵活运用集合与集合之间关系与运算的判断方法．可将集合中的元素一一列举，直接观察得到；也可以根据定义判断；还可以借助数轴(集合中元素以不等式形式描述时)或Venn图判断．章末质量评估跟踪训练热点考点例析知能整合提升工具栏目导引必修1第一章集合与函数概念(3)巧用性质简化解题过程：①关系：A⊆A；A⊆B，B⊆A⇔A＝B；A⊆B，B⊆C⇒A⊆C；AB，BC⇒AC.②并集：A⊆B∪A，B⊆B∪A；A∪A＝A；A∪∅＝∅∪A＝A；A⊆B⇔A∪B＝B.③交集：A∩B＝B∩A；A∩A＝A；A∩∅＝∅∩A＝∅；A⊆B⇔A∩B＝A.④补集：∁UU＝∅，∁U∅＝U；∁U(∁UA)＝A；A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅；A⊆B⇔∁UA⊇∁UB；A＝B⇔∁UA＝∁UB.章末质量评估跟踪训练热点考点例析知能整合提升工具栏目导引必修1第一章集合与函数概念5．把握函数概念，重视构成要素函数的三要素是定义域、对应关系、值域．(1)定义域是使函数表达式有意义的自变量的取值集合．(2)对应关系f可以是解析式、表格、图象，对应函数的三种表示方法——解析法、列表法、图象法．(3)函数的值域由自变量和对应关系确定．章末质量评估跟踪训练热点考点例析知能整合提升工具栏目导引必修1第一章集合与函数概念6．求函数定义域的注意点(1)不对解析式化简变形，以免定义域变化．(2)求定义域的相关准则：①分式中分母不为零；②偶次根式中被开方式非负；③x0中x≠0；④解析式由几个式子构成时，定义域是使各式子有意义的自变量的取值集合的交集．(3)由实际问题建立的函数解析式，定义域要符合实际．章末质量评估跟踪训练热点考点例析知能整合提升工具栏目导引必修1第一章集合与函数概念7．分段函数的深入理解(1)分段函数是一个函数，而它的解析式表现为多个，依据定义域来分段．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．(2)分段函数的图象由几个不同部分组成，画分段函数的图象要将各段图象画在同一坐标系中，并注意各图象端点的虚实．(3)求函数值要“对号入座”，即先确定自变量所在定义域，再按对应解析式求值；求函数值对应的x值，要将函数值代入各解析式一一确定．章末质量评估跟踪训练热点考点例析知能整合提升工具栏目导引必修1第一章集合与函数概念8．细解函数的单调性与奇偶性单调性与奇偶性是函数的两个珠联璧合的重要性质．它们之间的关系非常密切，相辅相成，但两者之间既有联系又有区别．(1)单调性与奇偶性的区别①函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的，函数在某个区间上单调，并不能说明函数在其整个定义域上也单调；函数的奇偶性是对整个定义域而言的，是函数的整体性质．章末质量评估跟踪训练热点考点例析知能整合提升工具栏目导引必修1第一章集合与函数概念②函数的单调性反映了图象的增减变化；函数的奇偶性反映了图象的对称性：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．③函数的单调性是在一定区间上讨论的，而对函数的奇偶性而言，其定义域可能是区间，也可能是离散的点．(2)单调性与奇偶性的联系奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相同，偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相反．章末质量评估跟踪训练热点考点例析知能整合提升工具栏目导引必修1第一章集合与函数概念(3)单调性与奇偶性应用的注意点①若一个函数在两个不同的区间上具有相同的单调性，则区间之间应用“和”连接，而不能用“∪”．②函数奇偶性的判断中应先求定义域，若定义域关于原点对称，再依据定义判断奇偶性．③对于奇函数，若它在x＝0处有意义，则它的图象必过原点，即f(0)＝0.章末质量评估跟踪训练热点考点例析知能整合提升工具栏目导引必修1第一章集合与函数概念引导探究二专题例题讲解章末质量评估跟踪训练热点考点例析知能整合提升工具栏目导引必修1第一章集合与函数概念集合表示方法及集合中元素的特性【点拨】常用的集合表示方法有列举法、描述法和图示法，有限集常用列举法表示，而无限集常用描述法．描述法表示集合时，集合中元素的意义取决于它的“代表”元素，如：A＝{y|y＝2x＋3}中的元素为函数y＝2x＋3的函数值，A为值域；B＝{x|y＝2x＋3}中的元素为函数y＝2x＋3的自变量的取值，B为定义域；C＝{(x，y)|y＝2x＋3}中的元素为方程y＝2x＋3的解，也可以看作函数y＝2x＋3图象上的点，C是解集或点集．章末质量评估跟踪训练热点考点例析知能整合提升工具栏目导引必修1第一章集合与函数概念已知集合M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y|y＝x＋1，x∈R}，则M∩N等于()A．(0,1)，(1,2)B．{(0,1)，(1,2)}C．{y|y＝1或y＝2}D．{y|y≥1}[思维点击]解答本题首先要分清集合中的代表元素，然后求出其取值范围，再求交集．[规范解答]正确理解描述法是解题的关键．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}＝{y|y≥1}，N＝{y|y＝x＋1，x∈R}＝{y|y∈R}，∴M∩N＝{y|y≥1}∩{y|y∈R}＝{y|y≥1}，∴选D.答案：D章末质量评估跟踪训练热点考点例析知能整合提升工具栏目导引必修1第一章集合与函数概念1．(1)设集合A＝{x|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则A∩B＝______；(2)集合A＝{(x，y)|x＋y≤1，x∈N，y∈N}中元素的个数是()A．1B．2C．3D．4章末质量评估跟踪训练热点考点例析知能整合提升工具栏目导引必修1第一章集合与函数概念解析：(1)集合A中的元素为数，即表示二次函数y＝x2自变量的取值集合；集合B中的元素为点，即表示抛物线y＝x2上的点的集合．这两个集合不可能有相同的元素，故A∩B＝∅.(2)集合A中的元素是点集，∵x∈N，y∈N，x＋y≤1∴满足条件的点为(0,0)、(0,1)、(1,0)共3个．即集合A中元素的个数为3.答案：(1)∅(2)C章末质量评估跟踪训练热点考点例析知能整合提升工具栏目导引必修1第一章集合与函数概念集合的关系及运算【点拨】集合间的关系及运算是集合的核心，解决此类问题，应从元素入手，弄清元素与集合、集合与集合之间的关系，对于含有参数的问题经常进行等价转化，一般先化简集合，然后利用数形结合来解决．章末质量评估跟踪训练热点考点例析知能整合提升工具栏目导引必修1第一章集合与函数概念已知集合A＝{x|x－1或x≥1}，B＝{x|2ax≤a＋1，a1}，若B⊆A，求实数a的取值范围．[思维点击]欲求参数a的取值范围，需建立关于a的不等式．由B⊆A可得端点之间的不等关系，进而求a的范围．章末质量评估跟踪训练热点考点例析知能整合提升工具栏目导引必修1第一章集合与函数概念[规范解答]∵a1，∴2aa＋1.∴B≠∅.在数轴上表示集合A，B如图所示．由B⊆A知，a＋1－1或2a≥1，即a－2或a≥12.又∵a1，∴a－2或12≤a1.故所求a的取值范围是(－∞，－2)∪12，1.章末质量评估跟踪训练热点考点例析知能整合提升工具栏目导引必修1第一章集合与函数概念2．已知A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|k－1≤x≤2k＋1}，求使A∩B＝∅的实数k的取值范围．解析：当B＝∅，即k－12k＋1时，k－2；当B≠∅时，由A∩B＝∅，得2k＋1－2，k－1≤2k＋1或k－15，k－1≤2k＋1.解得－2≤k－32或k6.综上所述，k的取值范围为kk－32或k6.章末质量评估跟踪训练热点考点例析知能整合提升工具栏目导引必修1第一章集合与函数概念函数的性质及应用【点拨】研究函数性质往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性入手，分析函数的图象及其变化趋势，从近几年高考形势来看，对函数性质的考查体现了“小”、“巧”、“活”的特征，解题时应注重上述性质间的融合．章末质量评估跟踪训练热点考点例析知能整合提升工具栏目导引必修1第一章集合与函数概念已知函数f(x)＝mx2＋23x＋n是奇函数，且f(2)＝53.(1)求实数m和n的值；(2)判断函数f(x)在(－∞，0)上的单调性，并加以证明．[思维点击]由f(2)＝53及f(－x)＝－f(x)，列出关于m、n的方程组可求出m、n.章末质量评估跟踪训练热点考点例析知能整合提升工具栏目导引必修1第一章集合与函数概念[规范解答](1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴mx2＋2－3x＋n＝－mx2＋23x＋n＝mx2＋2－3x－n.比较得n＝－n，n＝0.又f(2)＝53，∴4m＋26＝53，解得m＝2.即实数m和n的值分别是2和0.章末质量评估跟踪训练热点考点例析知能整合提升工具栏目导引必修1第一章集合与函数概念(2)函数f(x)在(－∞，－1]上为增函数，在(－1,0)上为减函数．证明如下：由(1)可知f(x)＝2x2＋23x＝2x3＋23x.设x1x20，则f(x1)－f(x2)＝23(x1－x2)1－1x1x2＝23(x1－x2)·x1x2－1x1x2.章末质量评估跟踪训练热点考点例析知能整合提升工具栏目导引必修1第一章集合与函数概念当x1x2≤－1时，x1－x20，x1x20，x1x2－10，∴f(x1)－f(x2)0，即f(