高中物理竞赛讲座：万有引力定律.

高中物理竞赛讲座：万有引力定律一、开普勒三定律二、万有引力定律假设月亮绕地球运动轨迹是一个圆轨道，试利用开普勒定律导出牛顿万有引力定律。分析与解：由于地球质量远大于月亮质量，暂且认为地球不动，月亮绕地球作圆周运动，由开普勒第二定律，月亮必作匀速圆周运动。向心加速度2Var其中V是月亮的速率，r是圆轨道半径。根据开普勒第三定律，月亮运动周期T满足32Tr2/3rT又注意到：2πrVT所以：12321rVrr2/12/31rrrV代入向心加速度公式可得：21ar21ra或2mFmar月月2rmamFm月为月亮的质量，取比例系数为k，写成等式2kFmFr月地月显然，k应取决于地球的性质，F地月指地球对月亮的引力.根据万有引力的普适性，月亮对地球的引力应当有如下形式2kFmr月地地其中k取决于月亮的性质，再根据牛顿第三定律，F地月与F月地大小相等，即mkkm地月因此有：kGm地，kGm月两式统一写成2mmFGr月地利用牛顿提出的引力的普适性，任何两个分别具有质量1m、2m，相距r的质点之间的引力，总是沿着两质点连线方向，其大小为122mmFGr式中G是所有质点都具有相同数值的普适常数（万有引力常数），这就是牛顿万有引力定律。三、引力势能若规定的质点A、B相距无穷远时系统的引力势能为零，那么当A、B相距r时系统的引力势能为：12PGmmEr—四、宇宙速度第一宇宙速度：2max27.9/MmmVGVgRkmsrr第二宇宙速度：222120211.2/2MmGMmVGVgRkmsRR第三宇宙速度：地球绕太阳公转速度为eV：2200029.7/seeseeMmVGMGmVkmsRRR为使地球轨迹上的物体脱离太阳引力，必须有的最小速度为：20242.1/sSGMVkmsR若顺着地球公转方向发射所需的最小速度为2012.4/sVVVkms为使地面发射的物体脱离太阳必须满足22232111222mVmVmV223216.7/VVVkms五、恒星的演化黑洞大爆炸10万年后→温度下降到3310K→表现由中性原子构成的宇宙尘埃→万有引力使尘埃聚集形成气体形状的星云团→星云团进一步聚集引力势能变成内能，温度升高→达到一定温度开始发光→恒星诞生。恒星进一步收缩→当温度达到710K时氢核聚变→聚变能量以电磁波的形式向外辐射→当电磁辐射及热粒运动向外的压力与引力平衡时星体稳定下来→主星序阶段（停留时间最长，太阳正处于这一阶段中期）→当核心大部分氢聚集变为氦核后→辐射减弱→星核再次收缩，温度更高，氦聚变为碳核→类似这一过程周而复始进行出现氧、硅直至铁→当各种热核反应都不发生时恒星进一步收缩→当密度增大到一定值时，电子简并→恒星的最终归宿是什么与恒星的质量有关。当1.4MMs，则简并电子气的压力可以平衡引力，收缩停止，恒星演变为白矮星当1.4MMs时，则简并电子气的压力无法平衡引力，至中子被压入原子核内，与质子结合成中子，使核心中子化，随即恒星发生猛烈爆炸→超新星爆炸），爆炸后的中心化核心称为中子星，中子星依靠简并中子气的压力来平衡引力，其质量上限为23Ms。若质量更大，则没有任何力量能够平衡其引力，它将进一步塌缩到引力半径以下，此时任何粒子（包括光子）均不能脱离其引力束缚，人们称之为黑洞。引力半径22GMVcR22GMrc称为史瓦西半径则在这个天体上任何物体都不能逃避其引力束缚地球的引力半径0.9cm以内太阳的引力半径：3km以内假设密度为的物质均匀分布在半径为r的球体内，其引力半径为sr，则3224π3ssGrrc此式表示所说环境中的光不可能发射到超出sr的范围对宇宙：2932810/10sgcmrcm这就是说我们不可能把光发射到2810cm以外的空间，这个R被称为宇宙半径六、研究行星运动的基本方程角动量守恒：012rV恒量或2LmrVmr①机械能守恒：212MmmVGEr②其中L、E由初始条件决定由牛顿第二定律：2MmGmar③其中：0E为抛物线0E为椭圆0E为双曲线例1：利用行星运动的基本方程研究开普勒第一定律yCSAPbBxOcaF1F2如图：在A、B两点利用上式①、②LmrV，212MmmVGEr联立上两方程可得：212LMmmGEmrr，2202GMmLrrEmEA、B两点的矢径长度为方程的两个根，即有Arac，Brac由韦达定理得：2ABGMmrraE22222ABLrracbmE由以上两式可得出重要结论2GMmEa此式表明行星运动的机械能与椭圆轨道的半长轴有关，与半短轴无关椭圆方程：22222122xyGMmLEmE将机械能2GMmEa代入②式可得2122MmGMmmVGra1122VGMraAGMacVaacBGMacVaaccGMVa且2cABVVV在轨道上任一点P处由牛顿第二定律可得：22cosGMmVmr22cosrVGM易得..ABC三点的曲率半径分别为2Aba，2Bba，2Cab例2：太空站的质量为M，与它对接在一起的人造卫星的质量为m，它们沿圆轨道绕地球运动，轨道半径为R的n倍，地球质量为Me，在某一瞬间，人造卫星与太空站脱离，卫星发动机立即点火，经短暂喷射后卫星获得较大的速度，沿其原来运动方向进入椭圆轨道。如果当人造卫星绕地球一周时，刚好能在原处与已绕行N周的太空站对接，那么，卫星点火后获得的速度应为多大？VaVb解：a表示近地点到地心时距离，aV表示卫星在近地点时的速度，以b表示远地点到地心的距离，它表示卫星在远地点时的速度。由开普勒第二定律得：1122abaVbV由机械能守恒定律有：221122eeabGMmGMmmVmVab可解得：2eaGMbVaab由开普勒第三定律得：32232abTaTN将题述anR代入可解得2321bNnR所以：232eaNGMVnR例3：在宇宙空间某惯性系中有两个质点A、B，它们的质量分别为m、M。开始时，A、B相距为0L，A的速度为零。B沿AB直线背离A的方向的初速度为0V，另外施加一个沿0V方向的变力F使B做匀速运动，求：（1）A、B间距离的最大值为多少？（2）从开始到A、B间距离最大的过程中，变力F所做的功是多少？解：以B为参考系，则此参考系也是惯性系，在此参考系中，开始时A具有速度0V离开B，达到A离B最远时（设此时A、B相距L），A相对于B的速度为零，由能量关系应有20012GMmMmmVGLL020022GMLLGMLV需要说明的是，由上式可见本题只有在002/VGML时才有解，若002/VGML，则A、B间距离将一直增加而不会有最大值。（2）回到题中惯性系，由功能关系得：222200000111222MmGMmWMVmVGMVmVLL例4：两颗人造卫星绕地球沿同一椭圆轨道同向运动，它们通过轨道上同一点的时间差半个周期，已知轨道近地点离地心的距离是地球半径的2倍，卫星通过近地点时的速度123/4VGMR，式中M为地球质量，G为万有引力常量。卫星上装有同样的角度测量仪，可以测出卫星与任意两点的两条连线间的夹角。试设计一种测量方案，利用这两个测量仪测定太空中某星体与地心在某时刻的距离（最后要求用测得的量和地球半径R表示结果）解：如图，卫星绕地球运动的轨道为一椭圆，地心位于此椭圆的一个焦点上，设待测卫星于C处，依题意当一卫星位于A时，另一卫星位于B，只要此刻两卫星分别测出图中1、2，就可以测出此时卫星c与地心的距离OC。令ArOA，BrOB，AV、BV分别表示卫星在A、B点的速度，m表示卫星的质量，由两个守恒方程可得：AABBmrVmrV221122ABABMmMmmVGmVGrr—其中2ArR且34AGMVR可解得6BrR，8ABR在ABC中由正弦定理可得112sinsinBCAB在BOC中，用余弦定理可得21122121216sin24sincos29sinsinOCR例5：新发现一行星，其半径为6400km，且由普通水形成的海洋覆盖着它的所有表面，海洋的深度为10km，宇航员对行星进行探测时发现，当把试验用的样品浸入行星海洋的不同深度时，各处的自由落体加速度以相当高的精确度保持不变，试求此行星表面处的自由落体加速度。解：以R表示此星球（包括水层）的半径，M表示其质量，h表示其表面海洋的深度，0R表示除海洋表层外星球的半径，则有0RhR。以表示水的密度，则海水总质量为：332230444πππ33333mRRRhRhh由于Rh，略去上式中h的高次项24πmRh故海洋底面和星球表面的重力加速度可表示为020GMmgR，2GMgR依题有0gg得220MMmRR考虑到0RRh，整理可得：2RmMh所以星球表面的重力加速度为222π2.7/2GMGMgGRmsRRh例6：一物体自地面以第一宇宙速度竖直上抛，达最高点以返回地面上的抛出点，求此物体运动的时间。已知地球半径6400ERkm，设此过程中地球静止不动。abR解：设此物上升的最高点离地面距离为h，由机械能守恒及第一宇宙速度表达式得：2112EEEMmMmmVGGRRh21EEGMVR解得EhR物体运动的路径可以看成是在地球引力作用下的一个退化了的椭圆的一部分，地球中心焦点、半长轴等于ER。这个运动路径是退化了的椭圆轨道，可以这样理解：若物体在最高点处有一个小的横向速度（垂直于此物与地心的连线），物体将作一个非常扁的椭圆轨道运动。当此横向速度趋于零，即得到本题的路径，容易看出在极限条件下，这个扁椭圆半长轴等于ER。因此，其极限周期与在地球引力场中作半径为ER的圆周运动周期相等，即012π2πEERRTVg如图，利用开普勒第二定律，可以直接写出极限情况下（aR，0b）矢径扫过阴影部分面积所要时间：301π2π24.1210πEababRtTsabg例7：从北极发射一导弹，落在赤道上（经历纬度90），求能量最省的发射速度。已知11326.6710Gmkgs，6246.4106.010EERmMkg忽略空气阻力ABNOF2F1M解：导弹的运动轨迹为椭圆的一部分，地心O为焦点，由对称性可知其运动轨迹如图:为使机械能2EMmEGa最小，a应取最少值由椭圆性质知：122AFAFa其中1AFR，当2AF取最小值时，a才是最小，满足2AFMN222EEaRR，1224EaR利用a点的机械能的表达式：2122EEAEMmMmmVGGRa2221EAEGMVR故最省的发射速度为3min2217.210/EGMVmsR方向呢？例8：一卫星在半径为r的圆形轨道上运动，运动圆周为T，如果给卫星一个附加的径向速度ru或一个附加切向速度u，卫星都将沿一个椭圆轨道运动（设加速后卫星机械能仍满足0E）（1）确定在这两件情况中卫星的运动周期；（2）径向速度ru及切向速度u满足什么关系才能使卫星周期相等？解：设开始速度为0V，有002πrGMVrT附加ru、u后速度分别为2210rVVu，20VVu（1）利用椭圆轨道上速度表达式：21VGMra22210121rVVuGMra12112222200102200221rrrrVuVurarVurrrGMGMVVu周期1T满足：32223012204πrVTr