高中物理竞赛辅导之数学理论

数学基本理论忻州一中解鸿志常微分方程第一节常微分方程的基本概念与分离变量法第二节一阶线性微分方程与可降阶的高阶微分方程第三节二阶常系数线性微分方程一、微分方程的基本概念二、分离变量法第一节常微分方程的基本概念与分离变量法第一节常微分方程的基本概念与分离变量法微分方程的阶：微分方程中，所含未知函数的导数的最高阶数定义为该微分方程的阶数．微分方程：含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程．特别当微分方程中所含的未知函数是一元函数时，这时的微分方程就称为常微分方程．一、微分方程的基本概念如果将函数y)(xy代入微分方程后能使方程成为恒等式，这个函数就称为该微分方程的解．微分方程的解：初始条件：用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中任意常数的条件，称为初始条件．一阶常微方程的初始条件为00)(yxy,其中0x，0y是两个已知数.二阶微分方程的初始条件为0000(),().yxyyxy微分方程的解有两种形式：一种不含任意常数；一种含有任意常数．如果解中包含任意常数，且独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为常微分方程的通解，不含有任意常数的解，称为微分方程的特解．例1验证函数xxCCy221ee(12,CC为任意常数)为二阶微分方程023yyy的通解，并求该方程满足初始条件1)0(,0)0(yy的特解．所以，函数y1Cex+2Cx2e是所给微分方程的解．又因为，这个解中有两个独立的任意常数，与方程的阶数相同，所以它是所给微分方程的通解．xxCCy221ee,212e2e,xxyCC212e4e,xxyCC将yyy,,代入方程023yyy左端，得解)ee(2)e2e(3e4e221221221xxxxxxCCCCCC0e)264(e)23(2222111xxCCCCCC,由初始条件0)0(y，我们得021CC，由初始条件1)0(y，得.1221CC所以12C，11C．于是，满足所给初始条件的特解为xxy2ee．设函数)(),(21xyxy是定义在区间(,)ab内的函数，若存在两个不全为零的数21,kk，使得对于(,)ab内的任一x恒有成立，则称函数21,yy在(,)ab内线性相关，否则称为线性无关．02211ykyk定义1（线性相关，线性无关）21,yy线性相关的充分必要条件是21yy在(,)ab区间内恒为常数．若21yy不恒为常数，则21,yy线性无关．当1y与2y线性无关，函数2211yCyCy中含有两个独立的任意常数1C和2C．定义2形如)()(ddygxfxy的方程，称为可分离变量的方程.可分离变量方程的特点：等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个只是x的函数，另一个只是y的函数．二、分离变量法可分离变量方程的解法：（1）分离变量：将该方程化为等式一边只含变量y，而另一边只含变量x的形式，即xxfygyd)()(d其中0)(yg（2）两边积分：xxfygyd)()(d（3）计算上述不定积分，得通解.（4）依据初始条件，得通解.例2求0'xyy的通解．解方程变形为xyxydd,分离变量得xxyydd0y,两边积分得xxyydd,求积分得1221||lnCxy,所以21122121eee||xCCxy,即22111122eee(e)xxCCyCC,方程通解为221exCy（C为任意常数）.例3设降落伞从跳伞塔下落，所受空气阻力与速度成正比，降落伞离开塔顶)0(t时的速度为零．求降落伞下落速度与时间t的函数关系.解设降落伞下落速度为)(tv时伞所受空气阻力为kv（负号表示阻力与运动方向相反，k为常数）．另外，伞在下降过程中还受重力mgP作用，故由牛顿第二定律得kvmgtvmdd且有初始条件：0|0tv于是，所给问题归结为求解初值问题0d,d|0,tvmmgkvtvkvRmgP对上述方程分离变量得mtkvmgvdd,两边积分得mtkvmgvdd，可得1||ln1Cmtkvmgk，整理得1e1ekCtmkkCCkmgv.由初始条件得00emgCk，即kmgC，故所求特解为)e1(tmkkmgv.由此可见，随着t的增大，速度v逐渐变大且趋于常数kmg，但不会超过kmg，这说明跳伞后，开始阶段是加速运动，以后逐渐趋于匀速运动．第二节一阶线性微分方程与可降阶的高阶微分方程一、一阶线性微分方程二、可降阶的高阶微分方程第二节一阶线性微分方程与可降阶的高阶微分方程一、一阶线性微分方程（1）先求齐次线性方程的解分离变量得d()dyPxxy,两边积分得1ln||()dyPxxC,即xxPCyde)(.（2）常数变易法求非齐次线性方程的通解令()d()ePxxyCx为非齐次线性方程的解,代入得)(e)(d)(xQxCxxP，即xxPxQxCd)(e)()(.两边积分得CxxQxCxxde)()(d)p(.一阶线性微分方程的解法p()d_p()d()ede.xxxxyQxxC上式称为一阶线性非齐次程的通解公式.将)(xC代入xxxCyde)p()(得通解为上述求解方法称为常数变易法,用常数变易法求一阶非齐次线性方程的通解的步骤为：（1）先求出非齐次线性方程所对应的齐次方程的通解.（2）根据所求出的齐次方程的通解设出非齐次线性方程的解(将所求出的齐次方程的通解中的任意常数C改为待定函数)(xC即可).（3）将所设解代入非齐次线性方程,解出)(xC,并写出非齐次线性方程的通解.例1求方程xxxyyln的通解.解原方程变形为xyxyln1(1)此方程为一阶线性非齐次方程.首先对(1)式所对应的齐次方程求解01yxy(2)方程(2)分离变量得xxyydd两边积分得Cxylnlnln,即Cxylnln所以,齐次方程（2）的通解为Cxy(3)将通解中的任意常数C换成待定函数)(xC,即令xxCy)(为方程（1）的通解,将其代入方程(1)得'()lnxCxx.于是xxxCln1)(,所以CxxxxxxxC2)(ln21lndlndln)(,将所求的)(xC的代入式(3),得原方程的通解为2(ln)2xyxCx.1.)()(xfyn型的微分方程方程解法：通过n次积分就可得到方程的通解.例3求方程xycos)3(的通解.解因为xycos)3(,所以1sindcosCxxxy,211cosd)(sinCxCxxCxy,2121231(cos)dsin.2yxCxCxxCxCxC二、可降阶的高阶微分方程2.),(yxfy型的微分方程.方程的特点：方程右端不显含未知函数y.方程的解法：令)(xpy,则)(xpy代入方程得))(,()(xpxfxp.这是一个关于自变量x和未知函数)(xp的一阶微分方程,若可以求出其通解),(1Cx,则),(1Cxy再积分一次就能得原方程的通解.例4求方程2)(12yyyx的通解.解因为方程2)(12yyyx不显含未知函数y,所以令)(xpy,则)()(xpxy，将其代入所给方程,得212pppx,分离变量得xxpppdd212,两边积分12lnln)1ln(Cxp，得xCp121.即11xCp,也即11xCy.所以132211212(1)d(1)3yCxxCxCC为所求方程的通解.第三节二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线性微分方程解的性质二、二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法三、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解方法第三节二阶常系数线性微分方程定义1形如0qyypy①的方程（其中qp,为常数）,称为二阶常系数齐次线性微分方程.定理1（齐次线性方程解的叠加原理）若21,yy是齐次线性方程①的两个解,则2211yCyCy也是①的解,且当1y与2y线性无关时,2211yCyCy就是方程①的通解.一、二阶常系数线性微分方程解的性质)()()(221122112211yCyCqyCyCpyCyC)()(22221111qyypyCqyypyC00021CC所以2211yCyCy是方程0qyypy的解.由于1y与2y线性无关,所以,任意常数1C和2C是两个独立的任意常数,即解2211yCyCy中所含独立的任意常数的个数与方程①的阶数相同,则它是方程①的通解,证毕.证将2211yCyCy直接代入方程①的左端,得称0qyypy③为方程②所对应的齐次方程.定理2（非齐次线性方程解的结构）若py为非齐次线性方程②的某个特解,cy为齐次线性方程③的通解,则pcyyy为非齐次线性方程②之通解.定义2形如)(xfqyypy②的方程（其中q,p为常数）,称为二阶常系数非齐次线性微分方程.又因为cy中含有两个独立的任意常数,所以pcyyy中也含有两个独立的任意常数,故pcyyy为方程的通解.这就是说,pcyyy确为方程②的解.)()()(cpcpcpyyqyypyy)()cccpppqyypyqyypy（)(0)(xfxf证将pcyyy代入方程②的左端有由齐次线性方程解的叠加原理知，欲求齐次线性方程①的通解,只须求出它的两个线性无关的特解即可.令y=rxe为方程的解,并代入方程①得0eee2rxrxrxqprr因为erx0,所以有02qprr④该方程称为微分方程①的特征方程,称方程④的根为特征根.二、二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法(1)当特征方程④有两个不同的实根1r和2r时,则方程①有两个线性无关的解11=erxyx,22=erxyx此时,方程有通解1212eerxrxyCC.(2)当特征方程④有两个相同的实根时,即rrr21,方程①只有一个解1=erxyx,这时直接验证可知2=erxyx是方程①的另一个解,且1y与2y线性无关,所以,此时有通解rxrxrxxCCxCCyeee)(2121.（3）当特征方程④有一对共轭复根时,即ir（其中,均为实常数且0）,此时方程①有两个线性无关的解(i)1=exy和(i)2=exyx,故方程①的通解为)i()i(eexxxxBAy)ee(ei-ixxxBAθθθsinicosei,还可得到实数形式的通解)sincos(e21xCxCyxα.其中)(,21BACBAC（读者自证）.通常情况下,要求写出实数形式的解.利用欧拉公式根据如上讨论,求二阶常系数齐次线性微分方程的通解的步骤为：第一步,写出微分方程的特征方程02qprr；第二步,求出特征根；第三步,根据特征根的情况按下表写出所给微分方程的通解.特征方程的解通解形式两个不等实根21rr1212eerxrxyCC两个相等实根rrr2112erxyCCx一对共轭复根irxCxCyxsincose21例1求方程065yyy的通解.解方程065yyy的特征方程为0652rr,其特征根为3,221rr,所以213221(CCCCyxx，ee为任意常数）为所给微分方程的通解.例2求方程02yyy的通解.解方程的02yyy的特征方程为0122rr,其特征根121rrr（二重特征根）,故所求通解为xxCCye)(21.例3求方程032