导数的定义

2020/2/241第二章导数与微分第一节导数的概念一、引例二、导数的定义四、导数的几何意义三、导函数五、可导与连续的关系六、单侧导数2020/2/2421.变速直线运动的瞬时速度如果物体作直线运动，在直线上选取坐标系，该物体所处的位置坐标s是时间t的函数，记为s=s(t)，则从时刻t0到t0+t的时间间隔内它的平均速度为一、引例,)()(00ttsttstsso)(0ts)(0tts0t0tt2020/2/243在匀速运动中，这个比值是常量，但在变速运动中，它不仅与t0有关，而且与t也有关，很小时，ts显然与在t0时刻的速度相近似.如果当t趋于0时，平均速度的极限存在，ts则将这个极限值记作v(t0)，叫做物体在t0时刻的瞬时速度，简称速度，即.)()(lim)(0000ttsttstvt当t2020/2/2442.曲线切线的斜率定义设点P0是曲线L上的一个定点，点P是曲线L上的动点，TP0Px0x0+xyOxN当点P沿曲线L趋向于点P0时，如果割线PP0的极限位置P0T存在，则称直线P0T为曲线L在点P0处的切线.设曲线方程为y=f(x).在点P0(x0,y0)处的附近取一点P(x0+x,y0+y).那么割线P0P的斜率为.)()(tan00xxfxxfxyLxyy=f(x)2020/2/245如果当点P沿曲线趋向于点P0时，割线P0P的极限位置存在，即点P0处的切线存在，此刻x0，，割线斜率tan趋向切线P0T的斜率tan，即.)()(limtan000xxfxxfxTP0Px0x0+xyOxNLxyy=f(x)2020/2/246定义设函数y=f(x)在点x0的一个邻域内有定义.在x0处给x以增量x(x0+x仍在上述邻域内)，函数y相应地有增量y=f(x0+x)-f(x0)，二、导数的定义2020/2/247.)()(lim)(0000xxfxxfxfx存在，如果xyx0lim则称此极限值为函数y=f(x)在点x0处的导数..dd,|,000xxxxxyyxf或或）（记作即此时也称函数f(x)在点x0处可导.如果上述极限不存在，则称f(x)在x0处不可导.2020/2/248例1求函数f(x)=x2在x0=1处的导数，即f(1).解第一步求y：y=f(1+x)-f(1)=(1+x)2-12=2x+(x)2.).0(2)(22xxxxxxy第三步求极限：.2)2(limlim00xxyxx所以，f(1)=2.第二步求：xy2020/2/249例3求函数y=x2在任意点x0(,)处的导数.解y=f(x0+x)-f(x0)=(x0+x)2-x02=2x0x+(x)2..2)(2020xxxxxxxy三、导函数第二步求：xy求法与例1一样.第一步求y：2020/2/2410第三步取极限：.2)2(limlim0000xxxxyxx即.2|)(020xxxx有了上式，求具体某一点，如x0=1处导数，就很容易了，只要将x0=1代入即得.2|)(120xx2020/2/2411例3表明，给定了x0就对应有函数f(x)=x2的导数值,这样就形成了一个新的函数，f(x)=x2的导函数，它的表达式就是(x2)=2x.一般地，函数f(x)的导函数记作f(x)，它的计算公式是：.)()(lim)(0xxfxxfxfx叫做函数2020/2/2412类似例3，我们可以得xn(n为整数)的导函数，当n为任意实数时，上式仍成立，即(xn)=nxn-1.(x)=x-1.2121)(21xxx例如.11221xxxx，x212020/2/2413例4求f(x)=sinx的导函数(x(，)).xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00解xxxxxsin)sin(lim0xxxxx2sin2cos2lim0xxxxxxcos22sin2coslim0即(sinx)=cosx.(cosx)=sinx.类似可得2020/2/2414例5求f(x)=lnx(x(0,))的导函数.xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00解xxxxxln)ln(lim0xxxx1lnlim0xxxx0lim.1x即.1)(lnxx.ln1)(logaxxa类似可得2020/2/2415解例6求f(x)=ex(x(-,))的导函数.xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00xxxxxeelim0即(ex)=ex.类似可得(ax)=axlna.xxxx1eelim0.exxxxx0lime2020/2/2416函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率,即tan=f(x0).yOxy=f(x)x0P四、导数的几何意义2020/2/2417法线方程为).0)(()()(10000xfxxxfyy其中y0=f(x0).y-y0=f(x0)(xx0).由此可知曲线y=f(x)上点P0处的切线方程为2020/2/2418例2求曲线y=x2在点(1,1)处的切线和法线方程.解从例1知(x2)|x=1=2,即点(1,1)处的切线斜率为2，所以,切线方程为y–1=2(x-1).即y=2x-1.法线方程为).1(211xy即.2321xy2020/2/2419定理如果函数y=f(x)在点x0处可导,则f(x)在点x0处连续，其逆不真.证,lim0存在因为xyx其中y=f(x0+x)-f(x0)，所以xxyyxx00limlim.0limlim00xxyxx五、可导与连续的关系即函数f(x)在点x0处连续.但其逆不真，即函数f(x)在点x0处连续，而函数f(x)在点x0处不一定可导.2020/2/2420例7讨论函数y=|x|在点x0=0处的连续性与可导性.解y=f(0+x)-f(0).0||limlim00xyxx=|0+x|-|0|=|x|，2020/2/2421即f(x)=|x|在x0=0处连续，却不然而xyx0lim存在，,1limlim00xxxyxx.1limlim00xxxyxx在x0=0处左、右导数不相等，所以在x=0处函数y=|x|不可导.因为2020/2/2422在点的某个右邻域内六、单侧导数若极限则称此极限值为在处的右导数,记作)(0xf即)(0xf(左)(左))0(x)0(x))((0xf0x例如,xxf)(在x=0处有xyoxy定义2.设函数有定义,存在,2020/2/2423定理2.函数在点且)(0xf存在)(0xf简写为若函数)(bf与都存在,则称显然:在闭区间[a,b]上可导在开区间内可导,在闭区间上可导.可导的充分必要条件是且2020/2/2424内容小结1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.已学求导公式:6.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.)(C)(cosxaxf)(02.axfxf)()(00)(lnx;0;sinxx1增量比的极限;切线的斜率;