导数的应用-函数的单调性与极值和最值和应用

复习1、某点处导数的定义——这一点处的导数即为这一点处切线的斜率Δx)f(xΔx)f(xlim)(xf000Δx02、某点处导数的几何意义——3、导函数的定义——Δxf(x)Δx)f(xlim(x)f0Δx4、由定义求导数的步骤（三步法）f(x)Δx)f(xΔy求增量(1)Δxf(x)Δx)f(xΔxΔy算比值(2)ΔxΔylimy求极限(3)0Δx5、求导的公式与法则——0)(/C)()(*1/Nnnxxnn如果函数f(x)、g(x)有导数，那么(x)g(x)fg(x)][f(x)///(x)Cff(x)][C//6、求导的方法——定义法公式法练习：1、求下列函数的导数（1）y=（x2-3x+2）（x4+x2-1）（2）y=（x/2+t）22、设f（x）=ax3-bx2+cx，且f/（0）=0，f/（1）=1，f/（2）=8，求a、b、c3、抛物线f（x）=x2-2x+4在哪一点处的切线平行于x轴？在哪一处的切线与x轴的交角为450？引例、已知函数y=2x3-6x2+7,求证：这个函数在区间(0,2)上是单调递增的.（1）任取x1x2(2)作差f（x1）-f（x2）并变形（3）判断符号（4）下结论用定义法判断函数单调性的步骤：引入：函数单调性体现出了函数值y随自变量x的变化而变化的情况,而导数也正是研究自变量的增加量与函数值的增加量之间的关系于是我们设想一下能否利用导数来研究单调性呢？若函数在区间(a,b)内单调递增，我们发现在（a，b）上切线的斜率为正，即在（a，b）内的每一点处的导数值为正若函数在区间(a,b)内单调递减，发现在（a，b）上切线的斜率为负，即在(a,b)内的每一点处的导数值为负，分析：从图形看设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y/0，那么y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y/0，那么y=f(x)为这个区间内的减函数.判断函数单调性的常用方法：（1）定义法（2）导数法结论：y/0增函数y/0减函数例1、确定函数y=2x3-6x2+7的单调区间用导数法确定函数的单调性时的步骤是：（1）求出函数的导函数（2）求解不等式f/(x)0，求得其解集，再根据解集写出单调递增区间（3）求解不等式f`/(x)0，求得其解集，再根据解集写出单调递减区间注、单调区间不以“并集”出现。导数的应用一、判断单调性、求单调区间练习1、确定y=2x3-6x2+7的单调区间练习2、求y=3x-x3的单调区间补充两例引例：你能确定y=2x3-6x2+7的大致图象吗?一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是函数的一个极大值，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们就说f(x0)是函数的一个极小值。极大值与极小值统称为极值.函数极值的定义——如果x0是f/(x)=0的一个根，并且在x0的左侧附近f/(x)0，在x0右侧附近f/(x)0，那么是f(x0)函数f(x)的一个极小值.导数的应用二、求函数的极值如果x0是f/(x)=0的一个根，并且在x0的左侧附近f/(x)0，在x0右侧附近f/(x)0，那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值例1、求函数极值.注、极值点是导数值为0的点44x-y33x看书上方法能化出草图吗?(1)求导函数f/(x)；(2)求解方程f/(x)=0,得出的根称为可能极值点；(3)检查f/(x)在方程f/(x)=0的根的左右的符号，并根据符号确定极大值与极小值.一般通过列表获得．口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。用导数法求解函数极值的步骤：练:(1)y=(x2-1)3+1(2)y=-2x2+5x(3)y=x3-27x(4)y=3x2-x3用导数法求解函数极值：补充一例导数的应用之三、求函数最值.在某些问题中，往往关心的是函数在整个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题，这就是我们通常所说的最值问题.(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)表格法一是利用函数性质二是利用不等式三是利用导数注：求函数最值的一般方法：例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内的最大值和最小值法一、将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二次函数单调性处理例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内的极值与最值故函数f(x)在区间[1，5]内的极小值为2，最大值为11，最小值为2法二、解、f’(x)=2x-4令f’(x)=0，即2x-4=0，得x=2x1（1，2）2（2，5）5y，0y-+3112课本练习思考、已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+4在区间[1,5]内的最小值为2，求m的值导数导数的定义求导公式与法则导数的应用导数的几何意义多项式函数的导数函数单调性函数的极值函数的最值基本练习1、曲线y=x4-2x3+3x在点P(-1，0)处的切线的斜率为()(A)–5(B)–6(C)–7(D)–82、函数y=x100+2x50+4x25的导数为()(A)y’=100(x99+x49+x24)(B)y’=100x99(C)y’=100x99+50x49+25x24(D)y’=100x99+2x493、已知过曲线y=x3/3上点P的切线方程为12x-3y=16，则点P的坐标为.4、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为()(A)(-1,1)(B)(1,2)(C)(-∞,-1)(D)(-∞,-1)，(1,+∞)5、若函数y=a(x3-x)的递减区间为()，则a的取值范围为()(A)a0(B)–1a1(C)a1(D)0a133,336、当x∈(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1是()(A)单调递增函数(B)单调递减函数(C)部份单调增，部分单调减(D)单调性不能确定7、如果质点M的运动规律为S=2t2-1，则在一小段时间[2，2+Δt]中相应的平均速度等于()(A)8+2Δt(B)4+2Δt(C)7+2Δt(D)–8+2Δt8、如果质点A按规律S=2t3运动，则在t=3秒时的瞬时速度为()(A)6(B)18(C)54(D)819、已知y=f(x)=2x3-3x2+a的极大值为6，那么a等于()(A)6(B)0(C)5(D)110、函数y=x3-3x的极大值为()(A)0(B)2(C)+3(D)1例1、若两曲线y=3x2+ax与y=x2-ax+1在点x=1处的切线互相平行，求a的值.分析原题意等价于函数y=3x2+ax与y=x2-ax+1在x=1的导数相等，即：6+a=2-a例2、已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P(1，1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求实数a、b、c的值.分析由条件知：y=ax2+bx+c在点Q(2，-1)处的导数为1，于是4a+b=1又点P(1，1)、Q(2，-1)在曲线y=ax2+bx+c上，从而a+b+c=1且4a+2b+c=-1例3已知P为抛物线y=x2上任意一点，则当点P到直线x+y+2=0的距离最小时，求点P到抛物线准线的距离分析点P到直线的距离最小时，抛物线在点P处的切线斜率为-1，即函数在点P处的导数为-1，令P(a,b),于是有：2a=-1.例4设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定实数a的取值范围，并求出这三个单调区间.思考、已知函数y=x2-2(m-1)x+2在区间[2，6]内单调递增，求m的取值范围。(1)若曲线y=x3在点Ｐ处的切线的斜率等于３，则点Ｐ的坐标为()(A)(2,8)(B)(-2,-8)(C)(-1,-1)或(1,1)(D)(-1/2,-1/8)(2)若曲线y=x5/5上一点Ｍ处的切线与直线y=3-x垂直，则此切线方程为()(A)5x+5y-4=0(B)5x-5y-4=0(C)5x-5y+4=0(D)以上皆非(3)曲线y=x3/3-x2+5在点Ａ处的切线的倾角为3π/4，则Ａ的坐标为.1.(2005全国卷III文第21题，满分12分)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?xp21242005px50000200Rx2．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量（吨）与每吨产品的价格（元/吨）之间的关系式为：,且生产x吨的成本为（元）.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入─成本）3.已知函数f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a,（I）求f(x)的单调递减区间；（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．R.aaxxaxxf其中,86)1(32)(233)(xxf在)0,()(在xf4.设函数（1）若处取得极值，上为增函数，求a的取值范围.（2）若求常数a的值；0ttcbxxgaxxxf23)()(与t)()(xgxfyt5设，点P（，0）是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.（Ⅰ)用表示a，b，c；在（－1，3）上单调递减，求的取值范围.（Ⅱ）若函数