必修5第一章正余弦定理练习及答案

1．1．1正弦定理一、基础过关1．在△ABC中，A＝60°，a＝3，b＝2，则B等于(C)A．45°或135°B．60°C．45°D．135°2．在△ABC中，若3a＝2bsinA，则B为(C)A.π3B.π6C.π3或23πD.π6或56π3．在△ABC中，若A＝30°，B＝60°，b＝3，则a等于(B)A．3B．1C．2D.124．下列判断中正确的是(D)A．当a＝4，b＝5，A＝30°时，三角形有一解B．当a＝5，b＝4，A＝60°时，三角形有两解C．当a＝3，b＝2，B＝120°时，三角形有一解D．当a＝322，b＝6，A＝60°时，三角形有一解5．在△ABC中，a＝2，A＝30°，C＝45°，则△ABC的面积S△ABC等于(A)A.3＋1B.3－1C.3＋2D.3－26．在△ABC中，c＝3，b＝1，B＝30°，则△ABC的面积为(B)．A.32或3B.32或34C.3或34D.3解析根据正弦定理：sinC＝csinBb＝3sin30°＝32.∵cb，∴CB＝30°，∴C＝60°或120°.当C＝60°时，A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋60°)＝90°，∴△ABC的面积S＝12bc＝32；当C＝120°时，A＝180°－(30°＋120°)＝30°，∴△ABC的面积S＝12bcsinA＝12×1×3sin30°＝34.7．在△ABC中，下列等式中总能成立的是(D)A．asinA＝bsinBB．bsinC＝csinAC．absinC＝bcsinBD．asinC＝csinA8．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，则△ABC为(A)A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形9．在△ABC中，若acosA＝bcosB＝ccosC，则△ABC是(B)A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形10．在△ABC中，若a＝5，b＝3，C＝120°，则sinA∶sinB的值是(A)．A.53B.35C.37D.57解析在△ABC中，C＝120°，故A，B都是锐角．据正弦定理sinAsinB＝ab＝53.11．在△ABC中，若sinAsinB，则角A与角B的大小关系为(A)．A．ABB．ABC．A≥BD．A，B的大小关系不能确定解析由sinAsinB⇔2RsinA2RsinB(R为△ABC外接圆的半径)⇔ab⇔AB.12．在△ABC中，若sinAa＝cosBb＝cosCc，则△ABC中最长的边是(A)．A．aB．bC．cD．b或c解析由正弦定理知sinB＝cosB，sinC＝cosC，∴B＝C＝45°，∴A＝90°，故选A.13．若△ABC的面积为3，BC＝2，C＝60°，则边AB的长度为____2____．14．在△ABC中，已知a∶b∶c＝3∶4∶5，则2sinA－sinBsinC＝___25_____.15．在△ABC中，若b＝5，B＝π4，sinA＝13，则a＝__523____.16．在△ABC中，若AC＝6，BC＝2，B＝60°，则C＝___75°_____.解析由正弦定理得2sinA＝6sin60°，∴sinA＝22.∵BC＝2AC＝6，∴A为锐角．∴A＝45°.∴C＝75°.17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A＝π3，b＝1，三角形ABC的外接圆半径为1，则△ABC的面积S＝____32___.解析由正弦定理asinA＝bsinB＝2R，∴a＝3，sinB＝12，∴ab，∴AB，∴B＝π6，C＝π2.∴S△ABC＝32.18．下列条件判断三角形解的情况，正确的是__④______．①a＝8，b＝16，A＝30°，有两解；②b＝18，c＝20，B＝60°，有一解；③a＝15，b＝2，A＝90°，无解；④a＝30，b＝25，A＝150°，有一解．解析①中a＝bsinA，有一解；②中csinBbc，有两解；③中A＝90°且ab，有一解．19．在△ABC中，若A∶B∶C＝1∶2∶3，a＝1，则a－2b＋csinA－2sinB＋sinC＝____2____.解析由已知A＝30°，B＝60°，C＝90°，asinA＝2.∴asinA＝2b2sinB＝csinC＝a－2b＋csinA－2sinB＋sinC＝2.20.在△ABC中，A＝60°，a＝63，b＝12，S△ABC＝183，则a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝__12____，c＝__6____.21.在△ABC中，已知23asinB＝3b，且cosB＝cosC，试判断△ABC的形状．解∵23asinB＝3b，∴23·(2RsinA)·sinB＝3(2RsinB)，∴sinA＝32，∴A＝60°或120°.∵cosB＝cosC，∴B＝C.当A＝60°时，△ABC是等边三角形；当A＝120°时，△ABC是顶角为120°的等腰三角形．22.在△ABC中，若cosAcosB＝ba＝43，试判断三角形的形状．由正弦定理知cosAcosB＝sinBsinA＝43，∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A＋2B＝π，∴A＝B或A＋B＝π2.又∵ba1，∴BA，∴△ABC为直角三角形．23．在△ABC中，已知a、b、c分别为内角A、B、C的对边，若b＝2a，B＝A＋60°，求A的值．∵b＝2a∴sinB＝2sinA，又∵B＝A＋60°，∴sin(A＋60°)＝2sinA，∴sinA＝33cosA，∴tanA＝33，∴A＝30°.24．已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a、b和B.解∵asinA＝csinC，∴a＝10×sin45°sin30°＝102.B＝180°－(45°＋30°)＝105°.又∵bsinB＝csinC，∴b＝csinBsinC＝10×sin105°sin30°＝20sin75°＝20×6＋24＝5(6＋2)．25．在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a＝2，C＝π4，cosB2＝255，求△ABC的面积S.解cosB＝2cos2B2－1＝35，故B为锐角，sinB＝45.所以sinA＝sin(π－B－C)＝sin3π4－B＝7210.由正弦定理得c＝asinCsinA＝107，所以S△ABC＝12acsinB＝12×2×107×45＝87.1．1．2余弦定理一、基础过关1．在△ABC中，若b2＝a2＋c2＋ac，则B等于(C)A．60°B．45°或135°C．120°D．30°2．在△ABC中，已知a＝9，b＝23，C＝150°，则c等于(D)．A.39B．83C．102D．73解析c2＝a2＋b2－2abcosC＝92＋(23)2－2×9×23cos150°＝147＝(73)2，∴c＝733．若三条线段的长分别为5,6,7，则用这三条线段(B)A．能组成直角三角形B．能组成锐角三角形C．能组成钝角三角形D．不能组成三角形4．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶3，则cosC的值为(A)A.13B．－23C.14D．－145．在△ABC中，已知b＝3，c＝33，A＝30°，则角C等于(B)A．30°B．120°C．60°D．150°6．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcosC，则此三角形一定是(C)A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形7．在△ABC中，若a＝7，b＝43，c＝13，则△ABC的最小角为(B)．A.π3B.π6C.π4D.π12解析∵cba，∴最小角为角C.∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝49＋48－132×7×43＝32.∴C＝π6，故选B.8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2－a2－b22ab0，则△ABC(C)．A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．是锐角或直角三角形解析∵c2－a2－b22ab0，∴c2－a2－b20.∴a2＋b2c2.∴△ABC为钝角三角形．故选C.9．已知a、b、c为△ABC的三边长，若满足(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则∠C的大小为(C)A．60°B．90°C．120°D．150°10．在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为(B)A．30°B．60°C．90°D．120°11．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cosB等于(B)A.14B.34C.24D.2312．若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(a＋b)2－c2＝4，且∠C＝60°，则ab的值为(A)A.43B．8－43C．1D.2313．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则三角形一定是(B)．A．直角三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形余弦定理b2＝a2＋c2－ac∴a2＋c2－2ac＝0，∴(a－c)2＝0，∴a＝c.∵B＝60°，∴A＝C＝60°.△ABC为等边三角形．14．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝32，则边BC的长为(A)．A.3B．3C.7D．7∵S△ABC＝12AB·ACsinA＝32，∴AC＝1.由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA＝4＋1－2×2×1×cos60°＝3.即BC＝3.15．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为3，则asinA等于(A)．A.2393B.2293C.2633D．33解析由S△ABC＝12bcsinA＝3可知c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝1＋16－8cos60°＝13，∴a＝13.∴asinA＝13sin60°＝2393.16．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2＋c2－b2＝3ac，则角B的值为___π6_____．17．已知△ABC的内角B＝60°，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为___3_____．18．在△ABC中，已知a＝2，b＝4，C＝60°，则A＝_30°_______.19．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝___0_____.解析∵b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－2accos120°＝a2＋c2＋ac.∴原式为0.20.在△ABC中，若(a－c)(a＋c)＝b(b＋c)，则A＝____120°____.∵(a－c)(a＋c)＝b(b＋c)，∴a2－c2＝b2＋bc，即b2＋c2－a2＝－bc.∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝－12.∵0°A180°，∴A＝120°.21.在△ABC中，已知a＝5，b＝7，B＝120°，则△ABC的面积为___1534_____．由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即c2＋5c－24＝0，解得c＝3.∴S△ABC＝12acsinB＝12×5×3sin120°＝1534.22．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝14，a＝4，b＋c＝6，且bc，求b，c的值．解由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，∴16＝(b＋c)2－2bc－12bc∴bc＝8，又∵b＋c＝6，bc，解方程组b＋c＝6，bc＝8，得b＝2，c＝4或b＝4，c＝2(舍)．∴b＝2，c＝4.23．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.(1)求角C的度数；(2)求AB的长；(3)求△ABC的面积．(1)cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－12，又∵C∈(0°，180°)，∴C＝120°(2)∵a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，∴a＋b＝23，ab＝2.∴AB2＝a2＋b2－2abcos120°＝(a＋b)2－ab＝10，∴AB＝10.(3)S△ABC＝12absinC＝32.24．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，asi