2016高考数学大一轮复习 8.6立体几何中的向量方法(一)-证明平行与垂直课件 理 苏教版

§8.6立体几何中的向量方法(一)—证明平行与垂直第八章立体几何数学苏（理）基础知识·自主学习题型分类·深度剖析思想方法·感悟提高练出高分1.直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一向量作为它的方向向量.(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为n·a＝0，n·b＝0.非零2.用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔.(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔.(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔.(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔.v1∥v2存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2v⊥uu1∥u23.用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔⇔.(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔.(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔⇔.v1⊥v2v1·v2＝0v∥uu1⊥u2u1·u2＝0思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线的方向向量是唯一确定的.()(2)平面的单位法向量是唯一确定的.()(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行.()(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.()(5)若a∥b，则a所在直线与b所在直线平行.()(6)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行.()××√√××题号答案解析1234l∥α或lα①407，－157，42∶3∶(－4)由题意知，BP→⊥AB→，BP→⊥BC→.所以AB→·BC→＝0，BP→·AB→＝0，BP→·BC→＝0，即1×3＋5×1＋－2×z＝0，x－1＋5y＋－2×－3＝0，3x－1＋y－3z＝0，解得x＝407，y＝－157，z＝4.解析思维升华思维点拨题型一证明平行问题例1(2013·浙江改编)如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.证明：PQ∥平面BCD.2证明线面平行，可以利用判定定理先证线线平行，也可利用平面的法向量.题型一证明平行问题例1(2013·浙江改编)如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.证明：PQ∥平面BCD.2解析思维升华思维点拨题型一证明平行问题例1(2013·浙江改编)如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.证明：PQ∥平面BCD.2证明方法一如图，取BD的中点O，以O为原点，OD、OP所在射线为y、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O－xyz.由题意知，A(0，2，2)，B(0，－2，0)，D(0，2，0).设点C的坐标为(x0，y0,0).因为AQ→＝3QC→，解析思维升华思维点拨题型一证明平行问题例1(2013·浙江改编)如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.证明：PQ∥平面BCD.2所以Q34x0，24＋34y0，12.因为M为AD的中点，故M(0，2，1).又P为BM的中点，故P0，0，12，所以PQ→＝34x0，24＋34y0，0.解析思维升华思维点拨题型一证明平行问题例1(2013·浙江改编)如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.证明：PQ∥平面BCD.2又平面BCD的一个法向量为a＝(0,0,1)，故PQ→·a＝0.又PQ⊄平面BCD，所以PQ∥平面BCD.方法二在线段CD上取点F，使得DF＝3FC，连结OF，同证法一建立空间直角坐标系，写出点A、B、C的坐标，设点C坐标为(x0，y0,0).解析思维升华思维点拨题型一证明平行问题例1(2013·浙江改编)如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.证明：PQ∥平面BCD.2∵CF→＝14CD→，设点F坐标为(x，y,0)，则(x－x0，y－y0,0)＝14(－x0，2－y0,0)，∴x＝34x0，y＝24＋34y0，解析思维升华思维点拨题型一证明平行问题例1(2013·浙江改编)如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.证明：PQ∥平面BCD.2∴OF→＝(34x0，24＋34y0，0)又由证法一知PQ→＝(34x0，24＋34y0,0)，∴OF→＝PQ→，∴PQ∥OF.又PQ⊄平面BCD，OF⊂平面BCD，∴PQ∥平面BCD.解析思维升华思维点拨用向量证明线面平行的方法有(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；(2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示.题型一证明平行问题例1(2013·浙江改编)如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.证明：PQ∥平面BCD.2解析思维升华思维点拨跟踪训练1(2014·湖北)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0λ2).(1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.方法一(1)证明如图(1)，连结AD1，由ABCD－A1B1C1D1是正方体，知BC1∥AD1.当λ＝1时，P是DD1的中点，又F是AD的中点，所以FP∥AD1.所以BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.图(1)(2)解如图(2)，连结BD.因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EF∥BD，且EF＝12BD.又DP＝BQ，DP∥BQ，所以四边形PQBD是平行四边形，故PQ∥BD，且PQ＝BD，从而EF∥PQ，且EF＝12PQ.图(2)在Rt△EBQ和Rt△FDP中，因为BQ＝DP＝λ，BE＝DF＝1，于是EQ＝FP＝，所以四边形EFPQ是等腰梯形.同理可证四边形PQMN是等腰梯形.分别取EF，PQ，MN的中点为H，O，G，连结OH，OG，则GO⊥PQ，HO⊥PQ，而GO∩HO＝O，故∠GOH是平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角的平面角.若存在λ，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角，则∠GOH＝90°.1＋λ2连结EM，FN，则由EF∥MN，且EF＝MN，知四边形EFNM是平行四边形.连结GH，因为H，G分别是EF，MN的中点，所以GH＝ME＝2.在△GOH中，GH2＝4，OH2＝1＋λ2－(22)2＝λ2＋12，OG2＝1＋(2－λ)2－(22)2＝(2－λ)2＋12，由OG2＋OH2＝GH2，得(2－λ)2＋12＋λ2＋12＝4，解得λ＝1±22，故存在λ＝1±22，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角.方法二以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴建立如图(3)所示的空间直角坐标系D－xyz.图(3)由已知得B(2,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,1,0)，F(1,0,0)，P(0,0，λ)，M(2,1,2)，N(1,0,2)，BC1→＝(－2,0,2)，FP→＝(－1,0，λ)，FE→＝(1,1,0)，MN→＝(－1，－1,0)，NP→＝(－1,0，λ－2).(1)证明当λ＝1时，FP→＝(－1,0,1)，因为BC1→＝(－2,0,2)，所以BC1→＝2FP→，即BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.(2)解设平面EFPQ的一个法向量为n＝(x，y，z)，则由FE→·n＝0，FP→·n＝0，可得x＋y＝0，－x＋λz＝0.于是可取n＝(λ，－λ，1).同理可得平面PQMN的一个法向量为m＝(λ－2,2－λ，1).若存在λ，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角，则m·n＝(λ－2,2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±22.故存在λ＝1±22，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角.题型二证明垂直问题例2如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1⊥平面A1BD.解析思维升华思维点拨证明线面垂直可以利用线面垂直的定义，即证线与平面内的任意一条直线垂直；也可以证线与面的法向量平行.题型二证明垂直问题例2如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1⊥平面A1BD.解析思维升华思维点拨题型二证明垂直问题例2如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1⊥平面A1BD.证明方法一设平面A1BD内的任意一条直线m的方向向量为m.由共面向量定理，则存在实数λ，μ，使m＝λBA1→＋μBD→.令BB1→＝a，BC→＝b，BA→＝c，显然它们不共面，并且|a|＝|b|＝|c|＝2，a·b＝a·c＝0，b·c＝2，以它们为空间的一个基底，解析思维升华思维点拨题型二证明垂直问题例2如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1⊥平面A1BD.则BA1→＝a＋c，BD→＝12a＋b，AB1→＝a－c，m＝λBA1→＋μBD→＝λ＋12μa＋μb＋λc，AB1→·m＝(a－c)·λ＋12μa＋μb＋λc＝4λ＋12μ－2μ－4λ＝0.故AB1→⊥m，结论得证.解析思维升华思维点拨题型二证明垂直问题例2如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1⊥平面A1BD.方法二如图所示，取BC的中点O，连结AO.因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC.因为在正三棱柱ABC—A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.解析思维升华思维点拨题型二证明垂直问题例2如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1⊥平面A1BD.取B1C1的中点O1，以O为原点，分别以OB→，OO1→，OA→所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，3)，A(0,0，3)，B1(1,2,0).设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，解析思维升华思维点拨题型二证明垂直问题例2如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1⊥平面A1BD.BA1→＝(－1,2，3)，BD→＝(－2,1,0).因为n⊥BA1→，n⊥BD→，故n·BA1→＝0，n·BD→＝0⇒－x＋2y＋3z＝0，－2x＋y＝0，令x＝1，则y＝2，z＝－3，解析思维升华思维点拨题型二证明垂直问题例2如图所示，正三棱柱AB