复函2-2

第二章解析函数解析函数的定义。)z(fz，z)z(f.z)z(f,z)z(f的奇点为则称不解析在如果函数处解析在则称的某个邻域内处处可导在如果函数0000复变函数在区域内解析与在该区域内可导等价..xviyvyuixuyvyuixvixu)z(f10.,,),(),(),(:)(,),(),()(00000xvyuyvxuRiemannCauchyyxyxvyxuiyxzDzfDyxivyxuzf方程－并且在该点满足可微在点与可导的充要条件是内一点在则内有定义在区域设复变函数定理解析函数的充要条件解析函数的判定方法:.)()()1(内解析在接断定内处处存在，则可直的导数在区域数导法则证实复变函如果能用求导公式或求DzfDzf.)(,RiemannCauchy)),(,),((,)(2)(内解析在断定由解析函数的充要条件则方程，且满足内可微在因而的各一阶偏导数连续内在中如果复变函数DzfDyxvyxuDvuivuzf*解析函数一定能单独用z的解析式表示．1.指数函数;)()(在复平面内处处解析zf1);()()(zfzf2)sin(cos)exp(yiyeziyxzx，设显然,)exp(xez),1,0(2))(exp(Argkkyz简记为)sin(cosyiyeexz§3初等函数定义:满足下列条件的函数f(z),称为指数函数.记exp(x));Re(,)(,)Im((3)zxezf0zx其中时当性质：;)exp(expexp)1(21212121zzzzeeezzzz即2(2);zznizeee为周期函数，*例1zzzxiy,ee21(1);(2)Re();设求解)sin(cosyiyeeexiyxz因为.cos)Re(,yeeeexzxz所以ze2(1)2)(iyxe,222xyiyxe;222yxzeeze1(2)yixe1,2222yxyiyxxexxyzyeexy22122Re()cos.例2求出下列复数的辐角主值:iiee234(1);(2)解)sin(cos的辐角为因为yiyeeexiyxz)(2Arg为整数kkyez.],(-arg内的一个辐角为区间其辐角主值ze)1(,21Arg2kei;1arg2ie)2(,24Arg43kei;24arg43ie2.对数函数zizzarglnln),,2,1(2lnLnkikzz.lnln0实变数对数函数就是的主值时，特别地，当xzLnzxz)2arg(lnArglnkzizzizLnzw)(为整数k.Ln)()0(zwzzfwzzew的对数函数，记为称为的函数满足方程，则令irezivuw,;iivuree这样)(2,ln为整数kkvru或;,lnArgzvzu例3解.)1(Ln2Ln以及与它们相应的主值，求iikiiArgiLn)22(2ln22ln2因为.2iln2Ln2i的主值就是所以)1(Arg1ln)1(Lni因为)()12(为整数kik.1)Ln(i的主值就是所以注意:在实函数中，负数无对数，而复变数对数函数是实对数函数的拓广.解:(1)Ln(23);(2)Ln(33);(3)Ln(3).ii练习:求下列各式的值)32(Ln(1)i)32(Arg32lniii.223arctan13ln21ki),2,1,0(k.6232lnki),2,1,0(k)33(Ln)2(i)33(Arg33lniii)3(Ln)3()3(Arg3lni.)12(3lnik),2,1,0(k例4解.031iez解方程,31iez因为)31(Lniz所以kii2331lnki232ln),2,1,0(k对数函数的性质,)()1(2121LnzLnzzzLn,0)()2(22121zLnzLnzzzLn且处处可导连续分支和其它各分支处处的复平面内，主值包括原点在除去负实轴,,)()3(,1)(lnzzzLnz1)(对于某一固定分支，有nLnzLnznLnznzLnn1但等式不再成立3.乘幂与幂函数.),(,ln2ln单值为整数因为整数时当babibkabbabkeeab，即为数，定义乘幂为任意一个复为不等于零的复数，设)Lnaexp(babab.eabLnab注意:.)1(baba乘幂为实数时，即为普通的为正实数，当.,)2(2ln是多值的而，一般而言，因的多值性，由于bibkabbLnabaeeaLna.1,1,0.,,),(2lnqkqaeaqpqpbbiπkqpaqpb即个值有时为互质整数当例5.12的值和求ii解Ln1221e22ike)22sin()22cos(kik.,2,1,0kiiieiLnikiie22ke22.,2,1,0k例6.)(1的辐角求ii解)Ln(1)1(iiieiikiie242ln21)]1(Arg1ln[iiiie2ln2124ikeln2.21)(1的辐角为故ii.,2,1,0k幂函数的解析性,)1(在复平面内解析幂函数nz.)(1nnnzz.)2(1个分支是多值函数，具有幂函数nzn它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内解析,nzLnzne1.111nzn幂函数)，b(zzwb为复数为复变数常用幂函数)(nzwzwnn为整数和14.三角函数,sincosyiyeiy因为,sincosyiyeiy将两式相加与相减,得,2cosiyiyeey.2sinieeyiyiy定义:,2cos:izizeez余弦函数,sini2eeziziz:正弦函数,cossintan:zzz正切函数,sincoscot:zzz余切函数,cos1sec:zz正割函数.sin1csc:zz余割函数是偶函数，即是奇函数容易证明zzcos,sin,.cos)cos(,sin)sin(zzzz.cos)2cos(,sin)2sin(zzzz为周期的，即是以正弦函数和余弦函数都2正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数..sin)(cos,cos)(sinzzzzzeeieezizizizizcos2)2()(sin事实上，一些常用的重要公式：.1cossin,sincoscossin)sin(,sinsincoscos)cos(22212121212121zzzzzzzzzzzzzz.eeyiyyy2cos,时事实上，当但与实函数完全不同的是：sinz,cosz无界例7.)1(cos的值求i解2)1cos()1()1(iiiieei211iiee)]1sin1(cos)1sin1(cos[211ieie1sin)(211cos)(2111ieeee欢迎提问！作业：P.68:12(3,4)15,18预习:Ch3§1-§3ThankYou！