数学物理方程练习题第七版(学生用)

1《数学物理方程与特殊函数》习题练习一1．写出长为L的弦振动的边界条件和初始条件：（1）端点Lxx==,0是固定的；（2）初始状态为)(xf；（3）初始速度为)(xg；（4）在任何一点上，在时刻t时位移是有界的.2．写出弦振动的边界条件：（1）在端点0=x处，弦是移动的，由)(tg给出；（2）在端点Lx=处，弦不固定地自由移动.3．验证函数)(xyfu=是方程0=−yxyuxu的解，其中f是任意连续可微函数.练习二1.证明xetxut2sin),(8−=是如下定解问题的解:222xutu∂∂=∂∂，0),(),0(==tutuπ，xxu2sin)0,(=.2.设F、G是二次可微函数，（1）证明)52()52(),(txGtxFtxy−++=是方程xxttyy254=的通解；（2）求其满足条件,0),(),0(==tytyπxxy2sin)0,(=,0)0,(=xyt的解.3．（1）求二阶偏微分方程22zxyxy∂=∂∂的通解，（2）求该方程满足定解条2z(x,0)=x,z(1,y)=cosy的特解.2练习三1.求下列固有值问题的固有值和固有函数：()()0,(0)()0.XxXxXXll′′+=′==2．求如下定解问题的解：=+====.0)0,(,25sin623sin3)0,(,0),(),0(,0,0,2xulxlxxutlututlxuautxxxttππ练习四1．求下列定解问题的解：−====).()0,(,0),(,0),0(,0,0,2xlxxutlututlxuauxxt2.求下列固有值问题的固有值和固有函数：()()0,(0)()0.XxXxXXll′′+=′==3.求如下定解问题的解：,02,0,(0,)(2,)0,(,0)4cos.54txxxxttutuxuuuxπ====3练习五1．求下列定解问题的解：0,01,01,(0,)0,(1,)0,(,0)1cos3,(,1)3cos2.xxyyxxuuxyuyuyuxxuxxxππ+====+=+2．设有一内半径为1r，外半径为2r的圆环形导热板,上下两侧绝热.如果内圆温度保持零度，而外圆温度保持)0(00uu度，试求稳恒状态下该导热版的温度分布规律(,)urθ.问题归结为在稳恒状态下，求解拉普拉斯方程0xxyyuuu∆=+=边值问题，即在极坐标系下求解定解问题：()21222120110,,02,(,)0,(,),02,(,)(,2).uurrrrrrrrururuururθπθθθθπθθπ∂∂∂+=∂∂∂===+自然边界条件3．求下列定解问题的解：222110,01,0,2(,0)0,(,)0,01,2(1,)(),0.22uurrrrrrururruπθθπππθθθθ∂∂∂+=∂∂∂===−练习六1．求解如下定解问题：cos,(01,0),(0,)(1,)0,(,0)0.txxxxuuxxtututuxπ=+===42．求解如下定解问题：2sin,(0,)(,)0,0,(,0)0,(,0)0,0.ttxxtxuautlutulttuxuxxlπ=+==≥==≤≤3．求下列定解问题的解：222212,1,1.xxyyxyuuxxyu+=+=−+=练习七1．求定解问题的解：2,0,0,(0,)0,(,)1,3(,0)sin,(,0)().ttxxtuauxltutultxxuxuxxlxllπ====+=−2.求定解问题的解：8cossin,0,0,2(0,)sin,(,)0,(,0)0.ttxxxxuutextuttutuxππ=++===练习八1．求定解问题的解：32242,03,0(0,)1,(3,)18,0,(,0)(2),03.xtxxxxuuextututetuxxex−−−=++==−−=−+52.求定解问题的解：326(1),(02),(0,)0,(2,)1,(,0)cos3.2txxxuuxxututuxxxxxπ=−−===+−−3．求定解问题的解：2sin,01,01,(0,)1,(1,)2,1(,0)1,(,1)1sin.xxyyuuxxyuyuyuxxuxxxπππ+====+=+−练习九1．求特征值问题的特征值与特征函数：′=−′=−=+′′).()(),()(,0ππππlXXXXXX2.试证明特征值问题===+′+′′.0)()1(,0)()()(2eyyxyxyxxyxl的固有函数系)}({xyn在区间],1[e上带权函数x1正交.练习十1．设一无限长的弦作自由振动，弦的初始位移为)(xϕ,初始速度为)(xkϕ′−(k为常数),求此振动在时刻t在x处的位移),(txu,即求如下定解问题的解：62,,0,(,0)(),(,0)().ttxxtuauxtuxxuxkxφφ=−∞+∞′==−2．求解定解问题：==+∞∞−=.)0,(,sin)0,(,0,,22xxuxxutxuautxxtt3．求解定解问题：==+∞∞−++=.sin)0,(,)0,(,0,,2xxuxxutxxatuautxxtt练习十一1.用行波法求解下列定解问题：==−===−).(),(0,0,0,002thuxuxatxtuauxatxxxttϕ2.求解以下三维波动方程的Cauchy问题：2(),,,,0,(,,,0),(,,,0).ttxxyyzztuauuuxyztuxyzyzuxyzxz=++−∞+∞==3.求解以下二维波动方程的Cauchy问题：22(),,,0,(,,0)(),(,,0)0.ttxxyytuauuxytuxyxxyuxy=+−∞+∞=+=练习十二1．用积分变换法求解下列定解问题：=+∞∞−=.cos)0,(,0,,2xxutxuauxxt2．设有一半无限长固体)0(x，其初始温度是零度，一个常数温度00u外加和保持在其表面0=x处，求固体在任何一点x和任一时刻t的温度.设在点x处和7时刻t的温度为),(txu，则问题归结为求解以下热传导方程的定解问题：20,0,0,(0,),(,0)0,(,)txxuauxtutuuxuxt===有界.3．设,Aω均为常数,用积分变换法求解下列问题：2,0,0,(,0)(,0)0,(0,)sin,(,)().ttxxtuauxtuxuxutAtuxtMxω====→∞练习十三1．用积分变换法求解下列定解问题：2,01,0,(0,)0,(1,)0,(,0)cos3,(,0)0.ttxxxxtuauxtututuxxuxπ=====2．用积分变换法求解下列定解问题：24,0,0,(0,)0,(,)0,2(,0)().3txxuuxtututxuxxπππ====−练习十四1．证明二维调和函数的积分表达式：∫∂∂−∂∂−=C0.1ln1ln21)(dsnurrnuMuπ2．在下半平面0y内求解拉普拉斯方程的边值问00,,0,().xxyyyuuxyufx=+=−∞+∞=3.设A为常数，分别用分离变量法和格林法求解如下定解问题：8110,2(1,)cos().uuurrrrruAθθθθπθπ++==−≤4.设,AB为常数，用试探法求如下定解问题的解：110,,2cossin().uuurarrrrruABraθθθθπθπ++==+−≤=练习十五1．设RK表示以原点为中心以R为半径的球体,RΓ表示以原点为中心以R为半径的球面.若u满足下面的定解问题:230,(,,),1sin,RRuxyzKuxyzΓ∆=∈=+利用极值原理证明：在RK内,.0u2．设RK表示以原点为中心以R为半径的球体,RΓ表示以原点为中心以R为半径的球面.若Rr0,且u满足下面的定解问题:0,(,,)\,1,2,rRRruxyzKKuuΓΓ∆=∈==证明：在\RrKK内,12.u3.设Ω是3R中以曲面Γ为边界的有界区域，u的所有二阶偏导数在Ω+Γ上连续。若对任意闭球面aΓ⊂Ω，成立0aundsΓ∂∂=∫∫，试证明u是Ω上的调和函数（提示：用格林第二公式）.94.设Ω是3R中以足够光滑的曲面Γ为边界的有界区域，若边值问题(,,),(,,)(,,),(,,)unufxyzxyzkugxyzxyz∂∂Γ∆=∈Ω+=∈Γ有解，其中常数0k，试证明解的唯一性（提示：用格林第一公式）.练习十六1．证明:(1))];()([)]()([212010xJxJxxJxxJdxd−=(2)∫+−=.)()(2)(02112cxJxxxJdxxJx2.证明:(1)200()()2();JxJxJx′′−=(2)1220100()()(1)()(1)().nnnnxJxdxxJxnxJxnxJxdx−−=+−−−∫∫3．设0u为常数，求解如下定解问题：01(),01,0(1,)0,(,)(0),(,0).trrrukuurtruturtMruru=+=→=当4.设A为常数，求解如下定解问题（用固有函数展开法）：1(),01,0(1,)0,(,)(0),(,0)0,(,0)0.ttrrrtukuuArtruturtMrurur=++=→==当10《数学物理方程与特殊函数》测试题（一）一（15分）求特征值问题的特征值与特征函数)}({xyn===+′+′′.0)(,0)1(e,x1,0)()()(2eyyxyxyxxyxl二（12分）求特征值问题的特征值与特征函数。=′=′=+′′0)(,0)0(0)()(lXXxXxXl三（15分）求下述有界弦的自由振动问题=====).0(x1)0,(u,3cosu(x,0)0)(t0t)(l,u0,t)(0,u0)tl,x(0txx2xlxuauxxttπ四（15分）求下述有界弦的强迫振动问题214sin,(0,0)2(0,)3,(,)6,(0)4(,0)3(1),(,0)sin,(0).ttxxtxuauxltlutulttxxuxuxxlllππ=+===+=五（15分）求均匀薄圆盘的热传导问题22021(),(0,0),|0,(0),|1-,(0).trrrrRtuauurRtrutrurRR===+≤==≤六（10分）用积分变换法求无限长杆的热传导问题2,(-,0),(,0)cos,(0).txxuauxtuxxt=∞+∞=七（10分）利用波动方程2xxttuau=的通解公式)()(),(atxgatxftxu++−=求无界弦的自由振动问题11222-00,(-,0),|,|sin,(0).ttxxxatxatuauxtuxuxxxl=+==∞+∞==+八（8分）求解上半空间z0内的荻利克莱问题00,(0),|(,),(-,).xxyyzzzuuuzufxyxy=++==∞+∞并证明特征函数系)}({xyn在],1[e上带权函数x1正交。《数学物理方程与特殊函数》测试题（一）参考答案一．解令,ddd,ln,xexxtxtextt−====,ddddddddtyexttyxyt−==,dddddd)dd(dd)dd(dddd222222tyetyexttyetxyxxyttt−−−+−===原问题化为===+′′.0)1(,0)0(,0)()(yytytyl,...2,1,sin)(