三角恒等变换复习课件(1)

第三章小结与复习1．理解三角函数中的4个“三”：（1）从知识层面看：三角函数公式系统的三条主线——同角关系式、诱导公式、变换公式（和、差、倍角）.（2）从问题层面看：三角变换三大问题——求值、化简、证明.（3）从方法层面看：“三个统一”——解决三角函数问题时要从“统一角度、统一函数名、统一运算结构”方面思考，这也是审题、解题的算法基础.（4）从算法层面看：使用公式的三重境界——顺用、逆用、变用.2．理解三角恒等变换与代数变换的区别.3．归纳并掌握三角恒等变换在研究相关函数性质时的方法流程.代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．4．由于向量与三角函数之间天然的联系，注意收集并积累向量与三角函数交汇的问题.1、同角三角函数的基本关系式：cossintan22cossin1(2)商数关系：(1)平方关系：基础知识：2.诱导公式总结概括为：“奇变偶不变，符号看象限”3、两角和与差的三角函数公式：)cos(sinsincoscos)sin(sincoscossin)tan(.tantan1tantan4、二倍角公式：cossin2sin222sincoscos21cos222sin212tan1tan2tan2xbxacossin22ba)cossin(2222xbabxbaa22ba)cossinsin(cosxx22ba.)sin(x.tancossin2222共同确定，，由其中abbaabab)sin(cossin22xbaxbxa5、辅助角公式xbxacossin22ba)cossin(2222xbabxbaa22ba)coscossin(sinxx22ba.)cos(x.tancossin2222共同确定，，由其中bababbaa)cos(cossin22xbaxbxa5、辅助角公式1例,3,2,22cossinABACAAABC，中在.tan的面积的值和求ABCA解：,22cossinAA,22)45cos(2A,1800A又,6045A,21)45cos(A即,105A105tan)6045sin(60tan45tan160tan45tan313132Atan)6045tan(Asin105sin60sin45cos60cos45sin462AABACSABCsin214623221.4)62(32例.51)sin(,53)sin(BABAABC，中已知在锐角；）求证：（BAtan2tan1.32边上的高，求）设（ABAB(1)证明：,51)sin(,53)sin(BABA51sincoscossin53sincoscossinBABABABA51sincos52cossinBABA,2tantanBA.tan2tanBA(2)解：，为锐角三角形ABC,2BA,53)sin(BA又,54)cos(BA,43)tan(BA43tantan1tantanBABA即,tan2tan代入上式得将BA,01tan4tan22BB262tanB解得.62tanAABCD设AB边上的高为CD(如图)，则AB=AD+DBBCDACDtantan,623CD，又3AB,62CD即为AB边上的高.例3已知A、B、C是△ABC三内角，向量.1,)sin,(cos,)3,1(nmAAnm；求角）（A1.tan,3sincos2sin1222CBBB求若）（解：,1)1(nm,1)sin,(cos)3,1(AA,1cossin3AA即,1)cos21sin23(2AA.21)6sin(A,0A,6566A,66A.3A即,3sincos2sin1222BBB由）（0cos2cossinsin22BBBB得,0cosB,02tantan2BB.12tan或B,1tan时当B0sincos22BB(不合题意),2tanB)](tan[tanBAC)tan(BABABAtantan1tantan32132.11358,3sincos2sin1222BBB由）（,2tanB)](tan[tanBAC)tan(BABABAtantan1tantan32132.11358,3sincos)sin(cos222BBBB得,3sincossincosBBBB即,3tan1tan1BB,0cosB法2：,20,1413)cos(,71cos且例4已知；的值求）（2tan1.2求）（解：,20,71cos1）（2cos1sin2711，734cossintan，342tan1tan22tan2)34(1342.4738,20,1413)cos(,71cos且例4已知；的值求）（2tan1.2求）（解：)](cos[cos2）（)sin(sin)cos(cos,20且,20)(cos1)sin(22)1413(1，1433)sin(sin)cos(coscos1433734141371,21.3例5设.)cos(,20,2,32)2sin(,91)2cos(的值求且,2)2()2(分析:.12cos2)cos(2解：,20,2,224,24)2(cos1)2sin(2,954)2(sin1)2cos(2,35)]2()2cos[(2cos)2sin()2sin()2cos()2cos(329543591.275712cos2)cos(2.729239例6已知：xxxxxxxxxfcossin1sincos1cossin1sincos1)(.,,,22ZkkxZkkx且且;)()1(xf化简?sin2tan1)(2tan,)2(2xxxfxx使得是否存在.,说明理由的值；若不存在若存在求出x解：xxxxcossin1sincos11）（22sin22sin222sin22cos222xcosxxxcosxx,2sin2xxcosxxxxcossin1sincos1同样可得：,2cos2xxsin2cos22sin2)(xxsinxxcosxf2cos2sin22xxxsinxcos22,sin2x),,,22(ZkkxZkkx且，若xxxfxsin2tan1)(2tan)2(2，则xxxxsin2tan1)sin2(2tan2，即12tan12tan22xx，1sinx,,232Zkkx此时即为存在的值.三角恒等变换实际上是对角、函数名称，以及函数形（结构）的变换，这类问题，无论是求值化简证明以及复杂的综合问题，一般的考虑方法是：⑴找差异：角、名、形的差异；⑵建立关系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；⑶变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后，正用或逆用公式.（4）常用技巧：①弦化切②化“1”③正切的和、积④角变换⑤“升幂”与“降次”⑥辅助角课堂小结：121sin125sin)1(sin7cos15sin8(4)cos7sin15sin880cos60cos40cos20cos)2(课后巩固：)2232cos21212121)5(（化简的值域为函数xxxfsin22cos)()3(=tantan,51)sin(,53)sin(6则）已知（化简：(1tanα2－tanα2)·1－cos2αsin2α.【思路点拨】切化弦→通分后利用倍角公式【尝试解答】原式＝(cosα2sinα2－sinα2cosα2)·2sin2α2sinαcosα＝cos2α2－sin2α2sinα2·cosα2·sinαcosα＝2cosαsinα·sinαcosα＝2.•1．本题求解的关键在于：切化弦、通分(约分)，然后灵活运用倍角公式及其变形．•2．三角函数式的化简原则：一是统一角，二是统一函数名．能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分．化简（1＋sinα＋cosα）（sinα2－cosα2）2＋2cosα(π＜α＜2π)．【解】∵π＜α＜2π，∴π2＜α2＜π，cosα2＜0.∴原式＝（2cos2α2＋2sinα2cosα2）（sinα2－cosα2）2（1＋cosα）＝2cosα2（sinα2＋cosα2）（sinα2－cosα2）2|cosα2|＝－(sinα2＋cosα2)(sinα2－cosα2)＝cos2α2－sin2α2＝cosα.(1)(2012·重庆高考)sin47°－sin17°cos30°cos17°＝()A．－32B．－12C.12D.32(2)(2013·惠州模拟)已知cos(π4－α)＝1213，α∈(0，π4)，则cos2αsin（π4＋α）＝________．【思路点拨】(1)利用sin47°＝sin(17°＋30°)，展开求解；(2)根据π4－α，π4＋α，2α之间的关系求解．【尝试解答】(1)sin47°－sin17°cos30°cos17°＝sin（17°＋30°）－sin17°cos30°cos17°＝sin17°cos30°＋cos17°sin30°－sin17°cos30°cos17°＝cos17°sin30°cos17°＝sin30°＝12.(2)∵cos2α＝sin(π2＋2α)＝2sin(α＋π4)cos(α＋π4)，∴cos2αsin（π4＋α）＝2cos(α＋π4)＝2sin(π4－α)，又0＜α＜π4且cos(π4－α)＝1213，∴sin(π4－α)＝1－cos2（π4－α）＝1－（1213）2＝513，∴原式＝2sin(π4－α)＝2×513＝1013.【答案】(1)C(2)10131．本题(2)求解时，也可将cos(π4－α)，sin(π4＋α)展开化简最终转化为求cosα－sinα的值．2．三角函数的“给式(值)求值”的关键是找出已知式与未知式的关系，将所给一个或几个三角函数式经过变形，转化成所求函数式能使用的形式，或者将所求函数式经过变形后再用条件达到求值的目的．已知sinx2－2cosx2＝0.(1)求tanx的值；(2)求cos2x2cos（π4＋x）·sinx的值．【解】(1)由sinx2－2cosx2＝0，得tanx2＝2，∴tanx＝2tanx21－tan2x2＝2×21－22＝－43.(2)∵c