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§7.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题数学川（理）第七章不等式1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的．我们把直线画成虚线以表示区域边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应边界直线，则把边界直线画成．基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理平面区域不包括包括实线1．确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得到实数的符号都，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的即可判断Ax＋By＋C0表示直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理1．确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．2.线性规划相关概念相同符号名称意义约束条件由变量x，y组成的一次不等式线性约束条件由x，y的不等式(或方程)组成的不等式组一次基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理1．确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．目标函数欲求_______或_______的函数线性目标函数关于x，y的_______解析式可行解满足_______________的解可行域所有_________组成的集合最优解使目标函数取得________或________的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的_________或_________问题最大值最小值一次线性约束条件可行解最大值最小值最大值最小值基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理3.应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.2.求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－abx＋zb，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值．要注意：当b0时，截距zb取最大值时，z也取最大值；截距zb取最小值时，z也取最小值；当b0时，截距zb取最大值时，z取最小值；截距zb取最小值时，z取最大值．题号答案解析12345基础知识·自主学习基础自测50x＋40y≤2000x∈N*y∈N*－5m10x＋y－10[－3,3]C题型分类·深度剖析题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】若不等式组x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4所表示的平面区域被直线y＝kx＋43分为面积相等的两部分，则k的值是()A.73B.37C.43D.34思维启迪解析答案探究提高题型分类·深度剖析题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】若不等式组x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4所表示的平面区域被直线y＝kx＋43分为面积相等的两部分，则k的值是()A.73B.37C.43D.34画出平面区域，显然点0，43在已知的平面区域内，直线系过定点0，43，结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可．思维启迪解析答案探究提高题型分类·深度剖析题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】若不等式组x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4所表示的平面区域被直线y＝kx＋43分为面积相等的两部分，则k的值是()A.73B.37C.43D.34不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y＝kx＋43过定点0，43.因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx＋43能平分平面区域．因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB中点D12，52.当y＝kx＋43过点12，52时，52＝k2＋43，所以k＝73.思维启迪解析答案探究提高题型分类·深度剖析题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】若不等式组x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4所表示的平面区域被直线y＝kx＋43分为面积相等的两部分，则k的值是()A.73B.37C.43D.34A思维启迪解析答案探究提高题型分类·深度剖析题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】若不等式组x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4所表示的平面区域被直线y＝kx＋43分为面积相等的两部分，则k的值是()A.73B.37C.43D.34A不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点集的交集，画出图形后，面积关系可结合平面知识探求．思维启迪解析答案探究提高变式训练1已知关于x，y的不等式组0≤x≤2，x＋y－2≥0，kx－y＋2≥0所表示的平面区域的面积为4，则k的值为()A．1B．－3C．1或－3D．0题型分类·深度剖析解析其中平面区域kx－y＋2≥0是含有坐标原点的半平面．直线kx－y＋2＝0又过定点(0,2)，这样就可以根据平面区域的面积为4，确定一个封闭的区域，作出平面区域即可求解．平面区域如图所示，根据平面区域面积为4，得A(2,4)，代入直线方程，得k＝1.A【例2】已知x，y满足条件7x－5y－23≤0x＋7y－11≤04x＋y＋10≥0，求4x－3y的最大值和最小值．题型分类·深度剖析题型二求线性目标函数的最值思维启迪解析探究提高题型分类·深度剖析题型二目标函数z＝4x－3y是直线形式，可通过平行移动，求最值．思维启迪解析探究提高【例2】已知x，y满足条件7x－5y－23≤0x＋7y－11≤04x＋y＋10≥0，求4x－3y的最大值和最小值．求线性目标函数的最值【例2】已知x，y满足条件7x－5y－23≤0x＋7y－11≤04x＋y＋10≥0，求4x－3y的最大值和最小值．题型分类·深度剖析题型二思维启迪解析探究提高解不等式组7x－5y－23≤0x＋7y－11≤04x＋y＋10≥0表示的区域如图所示．可观察出4x－3y在A点取到最大值，在B点取到最小值．解方程组7x－5y－23＝04x＋y＋10＝0，得x＝－1y＝－6，则A(－1，－6)．解方程组x＋7y－11＝04x＋y＋10＝0，得x＝－3y＝2.求线性目标函数的最值则B(－3,2)，因此4x－3y的最大值和最小值分别为14，－18.动画展示题型分类·深度剖析题型二思维启迪解析探究提高(1)线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．(2)求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系．【例2】已知x，y满足条件7x－5y－23≤0x＋7y－11≤04x＋y＋10≥0，求4x－3y的最大值和最小值．求线性目标函数的最值变式训练2(2011·广东)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组0≤x≤2，y≤2，x≤2y给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(2，1)，则z＝OM→·OA→的最大值为()A．3B．4C．32D．42题型分类·深度剖析解析由线性约束条件0≤x≤2，y≤2，x≤2y画出可行域如图阴影部分所示，变式训练2(2011·广东)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组0≤x≤2，y≤2，x≤2y给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(2，1)，则z＝OM→·OA→的最大值为()A．3B．4C．32D．42题型分类·深度剖析目标函数z＝OM→·OA→＝2x＋y，将其化为y＝－2x＋z，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z最大，将点(2，2)的坐标代入z＝2x＋y得z的最大值为4.B【例3】某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？题型分类·深度剖析题型三线性规划的简单应用思维启迪解析探究提高题型分类·深度剖析题型三根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题．思维启迪解析探究提高【例3】某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？线性规划的简单应用【例3】某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？题型分类·深度剖析题型三思维启迪解析探究提高解设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得x＋y≤300，500x＋200y≤90000，x≥0，y≥0.目标函数为z＝3000x＋2000y.二元一次不等式组等价于x＋y≤300，5x＋2y≤900，x≥0，y≥0.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图：线性规划的简单应用作直线l：3000x＋2000y＝0，【例3】某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？题型分类·深度剖析题型三思维启迪解析探究提高即3x＋2y＝0.平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值．联立x＋y＝300，5x＋2y＝900.解得x＝100，y＝200.线性规划的简单应用∴点M的坐标为(100,200)，∴zmax＝3000x＋2000y＝700000(元)．即该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．题型分类·深度剖析题型三解线性规划应用问题的一般步骤是：(1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条件和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结合求解；(4)作答．思维启迪解析探究提高【例3】某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？线性规划的简单应用题型分类·深度剖析为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为()A．50,0B．30,20C．20,30D．0,50变式训练3(1)(2012·江西)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，