2.1变量分离方程与变量变换

第二章一阶微分方程的初等解法§2.1变量分离方程与变量变换xyyxeyeyedxdy122yxdxdy定义1形如)1.2()()(yxfdxdy的方程,称为变量分离方程..,)()(的连续函数分别是，这里yxyxf),(yxFdxdy2.1.1变量分离方程的求解,)()(dxxfydy)2.2()()(cdxxfydy.)1.2(),()2.2(的解就为所确定的函数由cxy)1.2()()(yxfdxdy写成将时当)1.2(,0)(y分离变量01两边积分得02的某一原函数)(1y的某一原函数)(xf例122yxdxdydxxydy221Cdxxydy221Cxy331arctan分离变量两边积分原方程的解为解.)2.2(,)1.2(,0)(,000上的通解中，必须予以补含在方程可能它不包的解也是则使若存在yyyy注:例1求微分方程)101(yydxdy的所有解.解dxyydy)101(积分得110lncxyy分离变量,100,0)101(yyyy和求出方程的所有解为由故方程的所有解为.0110ycceyx和为任常数，,110xcey.0c化简整理，得解分离变量后得dxxdyy123两边积分得121ln2cxy整理后得通解为21)(ln4cxy,)(ln42cx无意义在由于函数其中0,1231xxyecc之一中有意义或故此解只在00xx例223ydxdyx求微分方程的通解.中．，这个解不包含在通解此外还有解0y例3求微分方程yxpdxdy)(.)(,的连续函数是其中的通解xxp解将变量分离后得dxxpydy)(两边积分得1)(lncdxxpy由对数的定义有1)(cdxxpey即dxxpceey)(1.)(dxxpce,0,0,0也包括在上式中知若在上式中充许也是方程的解此外ycy.,)(为任常数cceydxxp故方程的通解为例4.1)0(cos2的特解求初值问题yxydxdy解，xydxdy的通解先求方程cos2得将变量分离时当,,0yxdxydycos2两边积分得,sin1cxy因而通解为,sin1cxy.为任意常数其中c得到的且不能在通解中取适当也是方程的解此外cy,0再求初值问题的通解,1,1)0(cy得代入通解以所以所求的特解为.sin111sin1xxy我们已经知道变量分离方程总可用初等解法求解．另外，对有的微分方程，虽然表面上看不是变量分离方程，但若能通过一次或几次变量变换化为变量分离的微分方程，则原方程也可用初等解法求解．下面介绍几种典型的可通过适当的变量变换，化为变量分离的微分方程类型．2.1.2可化为变量分离方程的类型（Ⅰ）齐次方程.222111cybxacybxafdxdy（Ⅱ）形如为任意常数的方程，其中222111,,,,,cbacba)5.2()(xygdxdy.)(的连续函数是这里uug方程称为齐次方程,求解方法,)(xuugdxdu)(udxduxdxdy其中（Ⅰ）形如，方程化为引入新变量作变量代换xyu)(10解以上的变量分离方程02.30变量还原例5求解方程)0(2xyxydxdyx解方程变形为)0(2xxyxydxdy这是齐次方程,代入，则原方程变为及令udxduxdxdyxyu分离变量，得xdxudu2uu2udxduxudxdux2即两边积分得cxu)ln(,))(ln(2cxu代入原来变量,得原方程的解为.0)ln(,00)ln(,])[ln(2cxcxcxxy即当时0)ln(cx为任意常数cxdxudu2轴整个负半轴上它定义在x例6求下面初值问题的解0)1(,)(22yxdydxyxy解方程变形为2)(1xyxydxdy这是齐次方程,代入方程得令xyu21udxdux将变量分离后得xdxudu21两边积分得cxuulnln1ln2整理后得cxuu21变量还原得cxxyxy2)(1.10)1(cy，可定出最后由初始条件故初值问题的解为)1(212xy分三种情况讨论的情形01210cc)(2211xygxybaxybaybxaybxadxdy2211为齐次方程,由(I)可化为变量分离方程.,222111cybxacybxadxdy.,,,,,222111为常数这里cbacba的方程可经过变量变换化为变量分离方程.（Ⅱ）形如的情形0221210bbaa则方程可改写成设,2121kbbaa222111cybxacybxadxdy则方程化为令,22ybxaudxdu)(22ybxaf222122)(cybxacybxak)(22ufbadxdyba22这就是变量分离方程不同时为零的情形与且212121003ccbbaa,00222111cybxacybxa).0,0(),(解以上方程组得交点平面两条相交的直线，代表xy作变量代换(坐标变换),yYxX则方程化为YbXaYbXadXdY2211为(10)的情形,可化为变量分离方程求解.则解的步骤:,0012221110cybxacybxa解方程组,yx得解，方程化为作变换yYxX02YbXaYbXadXdY2211)(XYg分离方程，将以上方程化为变量再经变换XYu03求解04变量还原05例7求微分方程31yxyxdxdy的通解.解解方程组0301yxyx,2,1yx得代入方程得令2,1yYxXYXYXdXdY得令,XYuuudXduX112XYXY11将变量分离后得XdXuduu21)1(两边积分得cXuuln)1ln(21arctan2变量还原并整理后得原方程的通解为.)2()1(ln12arctan22cyxxy注:上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型.)()(2211222111XYgYbXaYbXafdXdYcybxacybxafdxdy此外,诸如)(cbyaxfdxdy0)()(dyxyxgdxxyyf)(2xyfdxdyx)(2xyxfdxdycbyaxuxyu2xyuxyu以及0))(,())(,(ydxxdyyxNydyxdxyxM.,,,,变量分离方程均可适当变量变换化为些类型的方程等一次数可以不相同的齐次函数为其中yxNM例8求下述微分方程的通解0)()(22dyyxxdxxyy解,xyu令ydxxdydu则代入方程并整理得0))(1()1(udxxduudxuu即0)1(22duuxdxu分离变量后得xdxduuu212两边积分得cxuu2lnln1变量还原得通解为.ln1cyxxy2.1.3应用举例例8、雪球的融化设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例，且在融化过程中它始终为球体，该雪球在开始时的半径为6cm，经过2小时后，其半径缩小为3cm，求雪球的体积随时间变化的关系．解则表面积为雪球的体积为设在时刻),(),(tstvt)()(tksdttdv根据球体的体积和表面积的关系得)(3)4()(323231tvts，再利用题中条件得引入新常数k32313)4(3232313)4(vkdtdv36)2(,288)0(vv,32v分离变量并积分得方程的通解为.)(271)(3tctv由初始条件得3369,636c代入得雪球的体积随时间的变化关系为.)312(6)(3ttv].4,0[:t实际问题要求注作业：P421（4）（5）（6）P432（1）（3）（6）（7）3