行列式定义及性质

方阵行列式及其性质行列式是一种常用的数学工具，也是代数学中必不可少的基本概念，在数学和其他应用科学以及工程技术中有着广泛得用应用.本部分主要介绍行列式的概念、性质和计算方法.第一章教学目的：通过本章的教学使学生了解行列式的概念，掌握行列式的性质，会计算各种类型的行列式.教学要求：理解行列式的概念，深刻理解方阵与方阵的行列式的关系，会用行列式的六条性质熟练计算各种类型的行列式，掌握行列式的展开定理和拉普拉斯定理.教学重点：方阵行列式的性质及展开定理，计算典型的行列式的各种方法.教学难点：n阶行列式的计算，拉普拉斯定理的应用.用消元法求解，得：112212211122122(),aaaaxbaab当时，求得方程组有唯一解：112212210aaaa122122111221221,baabxaaaa112121211221221.abbaxaaaa方阵行列式的定义二元线性方程组11112212112222,,axaxbaxaxb1n阶行列式的引出112212212112121().aaaaxabba系数矩阵为11211221222221112112121212,,baDbaabbaabDabbaab1112112212212122det,aaDAaaaaaa方程组的解可以写成：1122;.DxDDxD机动目录上页下页返回结束11122122aaAaa记为A的二阶行列式例1解二元线性方程组121231,245.xxxx解由于1310,24D11319,54D2113,25D1119,10DxD223.10DxD二阶行列式的应用三元线性方程组111122133121122223323113223333,,.axaxaxbaxaxaxbaxaxaxb用消元法可求得，当1112132122233132330aaaDaaaaaa时，三元线性方程组有唯一解：112233,,.DxDDxDDxD其中：1121312222333233,baaDbaabaa1111322122331333,abaDabaaba三阶行列式的定义111213212223313233aaaDaaaaaa1112132122231323.aabDaabaab112233aaa132231aaa122133aaa112332.aaa122331aaa132132aaa对角线规则（沙流氏规则)例2解三元线性方程组12312312351,51,20.xxxxxxxxx1151516,112D111515118,012D21151116,102D31111516,110D解由于311DDx122DDx133DDx所以，方程组的解为，，.三阶行列式的应用n元线性方程组,,.nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb11112211211222221122构造：111212122212,nnnnnnaaaaaaDaaa111121221,nnjnnnnabaabaDaba1,2,,,jn二、三阶行列式的推广提出三个问题,jjDxD1,2,,.jn（1）D=？（怎么算）？（2）当D≠0时，方程组是否有唯一解？（3）若D≠0时，方程组有唯一解，解的形式是否是机动目录上页下页返回结束2全排列及其逆序数2.1、全排列用1，2，3三个数字可以排6个不重复三位数即：123，231，312，132，213，321.一般地，把n个不同的元素排成一列(n级排列)，共有几种不同的排法？这是一个全排列问题.从n个元素中任取一个放在第一个位置上，有n种取法；再从剩下的n-1个元素中任取一个元素，放在的第二个位置上有n-1种取法;依此类推，直到最后剩下一个元素放在最后位置上，只有一种取法；于是：(1)321!nPnnn机动目录上页下页返回结束2.2逆序数对于n个不同的元素，可规定各元素之间有一个标准次序（例如，n个不同的自然数p1,p2,…,pn，规定由小到大为标准次序）.于是，在这n个元素的任意排列中，当某两个元素的前后次序与标准次序不同时，就说产生了一个逆序，一个排列中所有逆序的和叫做这个排列的逆序数.记逆序数是奇数的排列叫做奇排列逆序数是偶数的排列叫做偶排列12(,,,)nppp2.3逆序数的计算方法不妨设元素为1至n个自然数，并规定有小到大为标准次序，设p1,p2,…,pn为这n个自然数的一个n级排列，考虑元素pi(i=1,2,…，n)，如果比pi大的，且排在pi前面的元素有ti个，则说这个元素的逆序是ti个，全体元素逆序之和即是p1,p2,…,pn的逆序数，即12121(.)nnniittpptpt(1,2,,2,1,)?nnn(2)1(1)(2)/2nnn例求其逆序数：例若则12(),npppk121()?nnpppp2(1)/2nCknnk例如，设排列32514,其逆序数为：t=1+3+0+1+0=5.当我们把上面排列改为31524，相当于把32514这个排列的第2、4两个数码对换（将一个排列中任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换）.通过计算可知31524的逆序数为t=1+2+0+1+0=4.可见排列32514为奇排列，而31524为偶排列，由此得一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性Pro2任意一个n级排列与123…n都可经过一系列对换互变，且所作变换个数与这个排列有相同的奇偶性。Pro1对换改变排列的奇偶性。Proof:1st－－对换的两个数在排列中是相邻的2nd－－一般情况推论：在全部n级排列中，奇、偶排列的个数相等，各有n!/2.排列的两个性质Proof：数学归纳法。得到行列式值的特点：机动目录上页下页返回结束1112112212212122,aaaaaaaa二阶行列式111213212223313233aaaDaaaaaa三阶112233aaa132231aaa122133aaa112332.aaa132132aaa122331aaa3.n阶行列式的定义矩阵元素乘积的代数和，每一项来自不同行不同列每一项前面还有符号－－－确定方式123123jjjaaa123jjj当偶排列时，正号当奇排列时，负号123jjj定义设n阶方阵A=（aij)，定义n阶行列式|A|的值为det.DA也可记为:1212(1).nPPnPDaaatA12(,,,)ntppp其中逆序数1212(1)ntppnpaaa作出n阶方阵A=（aij)中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号(-1)t，得到形如1212nppnpaaa的项（称为行列式的一个均布项）p1,p2,…,pn为自然数1，2，…，n的一个排列，t为这个排列的逆序数.这样的排列共有n!个，所有这些项的代数和即为n阶行列式的值.行列式的另一种定义形式为:1212(1).ntqqqnDaaa机动目录上页下页返回结束例计算下列行列式值00010020?030040002424定义中项,值为同理，也可以定义为:1122(1).nnqpqpqpDaaa行和列指标地位平等4行列式的展开式由前面的定义可知，每一项都是来自不同行不同列的n个元素乘积，故对某一确定行中的n个元素（如），每一项都含有且只含有其中一个元素。故可将n!项分成n组，第j组的项均含有，再提公因式,得到其中代表含有的项在提出公因式后的代数和，且中不含有元素，即与第i行第j列元素无关。12,,,iiinaaaijaija1122detiiiiininDAaAaAaAijAijAijaijaijA如111213212223313233aaaDaaaaaa三阶112233aaa132231aaa122133aaa112332.aaa132132aaa122331aaa112233233212233121331321322231()()()aaaaaaaaaaaaaaa222321232122111213313232333133aaaaaaaaaaaaaaa三阶行列式可以通过二阶行列式来计算同理，n阶行列式可以通过(n－1)阶行列式来计算ijM111212122212||nnnnnnaaaaaaDAaaa定义在n阶行列式D中去掉元素所在的第i行和第j列，剩下的(n－1)2个元素按原来顺序排列成一个(n-1)阶行列式.1,11,11111,11,11,11,1,11,11,11,1,1,1jjnijijiinijiijijinnnnnjnjaaaaaaaaMaaaaaaaa为的余子式，为的代数余子式ijaija(1)ijijijAM1122detiiiiininiDAaAaAaA按第行展开1122detjjjjnjnjjDAaAaAaA按第列展开ija展开式该定义适合于常规计算，第一种常适用于证明111D=|A|=123=?13610310242D=?01110291对角线规则or代数余子式选择含零多的行或列61000?000xyxyDxyxyyx解：按第一列展开，得Dxyxyxxyx1(1)nnnxy1(1)nyxyyxyxy5几种特殊的行列式（1）对角行列式12120;0nn1(1)22120(1).0nnnn机动目录上页下页返回结束||1E定义或展开式（2）下（上）三角行列式1121221122120;nnnnnnaaaaaaaaa111212221122.nnnnnnaaaaaaaaa机动目录上页下页返回结束1111111111110mmmmmnnnmnnnaaaaDccbbccbb其中，11111,mmmmaaDaa11121.nnnnbbDbb1111111211mnmmmnnnaabbDDaabb证明证记D=det(dij)，其中dij=aiji=1,2,…,m；j=1,2,…,m.dm+i,m+j=biji=1,2,…,n；j=1,2,…,n.在行列式11111,11,1,11,,1,,1,0000mmmmmmmmmmmnmnmnmmnmmnmnddddDdddddddd中任取一个均布项1111,,,mmmnrmrmrmnrdddd由于当i≤m，jm时，dij=0，因此r1,r2,…,rm只有在1,…,m中选取时，该均布项才可能不为0，而当r1,r2,…,rm在1,…,m中选取时，rm+1,…,rm+n只能在m+1,…,m+n中选取.于是D中可能不为0的均布项可以记为121121.mnppmpqnqaaabb这里，pi=ri,qi=rm+i-m,设l为排列p1p2…pm(m+q1)…(m+qn)的逆序数.以t，s分别表示排列p1p2…pm及q1q2…qn的逆序数，应有l=t+s(pi≤m)，于是121212121212(1)mnmnlppmpqqnqpppqqqDaaabbb121212121212(1)(1)mnmntsppmpqqnqpppqqqaaabbb=D1D2.小结1、深刻理解行列式的定义.2、熟记行列式3个特殊的公式.方阵行列式的性质111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa设112111222212nTnnnnnaaaaaaDaaa则转置行列式为1TDD性质：2kk性质：用数乘行列式某一行中所有元素，等于用乘此行列式。1111111111nniiniinnnnnnnaaaakaka