专题29 方程思想

专题29方程思想阅读与思考所谓方程思想就是从问题中发现或者构造等量关系，恰当引入未知量，寻找已知量与未知量的等量关系，列方程或方程组，通过解方程或方程组而使问题获解的解题方法.应用方程思想解决问题的常见途径有：1．引入字母，把代数式的化简求值问题转化为方程或方程组问题来解；2．突出主元，把等式看作是其中某个字母的方程，将问题转化为方程或方程组问题来探讨；3．构造一元二次方程，利用求根公式、根的判别式、根与系数的关系等知识，求解代数式的相关问题；4．列方程、方程组解应用题；5．通过列方程或方程组解几何计算题，把几何问题代数化．17世纪，法国数学家笛卡尔曾有过一个伟大的设想：把所有问题化归数学问题化归代数问题化归方程问题．虽然笛卡尔的理想在他的一生中未能实现，但随着计算机的广泛应用，人们已经越来越体验到方程思想的重要性．构造一元二次方程是方程思想解题最重要的途径，在代数式的化简求值、求字母取值范围、探求最值等方面有广泛的应用．常用的构造方法有：①用根的定义构造；②用韦达定理的逆定理构造；③对于含有多个字母的变元等式问题，把等式整理为关于某个字母的一元二次方程.例题与求解【例1】已知：a，b，c，d是四个不同的有理数，且（a＋c）(a＋d)＝1，(b＋c)(b＋d)＝1，那么(a十c)(b＋c)的值是_______________．（江苏省竞赛试题）解题思路：本例内容新颖，构思巧妙，解题思路宽广，或用特殊值代入试算、或从变形已知等式入手.仔细观察已知两个等式特点，a，b可看作是方程(x＋c)(x＋d)＝1的两根，利用方程思想揭示题设条件与结论的内在规律．【例2】化简5353的结果是()A．10B．2C．5D．2（武汉市选拔赛试题）解题思路：设5353＝x，将二次根式的化简问题转化为解方程.【例3】已知实数x，y满足32424xx，324yy，则444yx的值为()A.7B．2131C．2137D．5（全国初中数学联赛试题）解题思路：本题可以构造一元二次方程，利用根与系数关系——韦达定理解决.【例4】已知2yxxy，3zxxz，4zyyz，求zyx257的值．（“《数学周报》杯”天津竞赛试题）解题思路：要求的代数式中含三个字母，正好与已知的三个等式中含的三个字母相同，所以可以将已知的三个等式组成二元二次方程组，求出这些未知数的值．本例已知的三个等式中含的三个字母相同，结构相同，排列位置循环转，根据这些特点可构造二次方程求解，这也是解决这类问题的常见方法.【例5】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP＝AQ.点E，D分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，HQ⊥AB，垂足为点Q，交AC于点H，当点E到达顶点B时，P，Q同时停止运动，当BP长为何值时，△HDE为等腰三角形？（台州市中考试题改编）解题思路：本题可结合图形，从几何知识中找等量关系列方程．利用方程思想解几何题，通常是对某几何量进行合理设元，根据几何性质正确列出方程、方程组，然后化归为解方程、方程组的有关问题．著名数学家波利亚曾说：“为了使问题的概念完整，更富于启发性，更为人所熟悉，我们可以引入辅助元素”通过引入辅助元素，有利于各知识领域之间的横向过渡，有利于转化问题．解决间题．引入辅助元素的常见形式有：①引入参数；②引入辅助方程；③引入辅助函数；④引入辅助配对代数式；⑤恰当作辅助线；⑥引入辅助命题．【例6】周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明有几个．（全国初中数学联赛试题）解题思路：设直角三角形的斜边为c，直角边分别为a，b，面积为s．由题设条件及几何知识可得到关于以a，b，c，s的方程组，这样，符合条件的直角三角形是否存在的探讨就转化方程组是否有解的讨论．能力训练1．设512a，则5432322aaaaaaa＝_____________.（全国初中数学联赛试题）2．一个读书小组有六位同学，分别姓赵、钱、孙、李、周、吴，这个读书小组有六本书，书名分别是A，B，C，D，E，F．每人至少读过其中的一本书，已知赵、钱、孙、李、周分别读过其中的2，2，4，3，5本书，而书A，B，C，D，E分别被小组中的1，4，2，2，2位同学读过，那么，吴姓同学读过____本书，书F被小组中__________位同学读过．3．设0222kxx，0222kyy，且2yx，那么k＝__________.（河南省竞赛试题）4．x，y，z是实数，并且满足0zyx，2xyz，则xyz的最小值是________．（北京市竞赛试题）5．如图，AA'，BB'分别是∠EAB，∠DBC的平分线，若AA'＝BB'＝AB，则∠BAC＝________．（全国初中数学联赛试题）6．已知21270xyxy，则2223yxyx的值为()A．0B．4C．6D.127．某单位一次在快餐店订了22盒盒饭，共花费140元，盒饭共有甲、乙、丙三种，它们的单价分别为8元、5元、3元，那么可能的不同订餐方案有()（山东省竞赛试题）A.1个B．2个C．3个D．4个8．已知a，b都是负实数，且1110abab，那么ba的值为()（江苏省竞赛试题）A．152B．152C.152D．1529．甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么()A．甲比乙大5岁B．甲比乙大10岁C．乙比甲大10岁D．乙比甲大5岁（全国初中数学竞赛试题）10．已知133224bbaa，且12ba，则6331abb的值是()（山东省竞赛试题）A．35B．36C．－35D．－3611．已知222yxyx，求22yxyx的取值范围．（黄冈市竞赛试题）12.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，O是AB上一点.以O为圆心，以OB为半径作圆，交AC于E、F，交AB于D.若E是DF的中点，且AE：EF＝3：1，FC＝4，求∠CBF的正弦值及BC的长．（北京市海淀区中考试题）第12题图FEODACB13.如图，在四边形ABCD中，AD＝DC＝1，∠DAB＝∠DCB＝90°，BC，AD的延长线交于P，求AB·S△ABP的最小值.（四川省竞赛试题）第13题图CDPAB14.设a1，a2，b1，b2都为实数，a1≠a2，满足（a1＋b1）（a1＋b2）＝（a2＋b1）(a2＋b2)＝1．求证：（a1＋b1）（a2＋b1）＝（a1＋b2）(a2＋b2)＝－1.（“祖冲之杯”邀请赛试题）15.已知a，b，c都是正整数，且抛物线cbxaxy2与x轴有两个不同交点A，B．若A，B到原点的距离都小于1，求cba的最小值．（全国初中数学联赛试题）16.在平面直角坐标系xOy中，我们把横坐标为整数，纵坐标为完全平方数的点称为“好点”.求二次函数4907902xy的图象上所有“好点”的坐标．（《数学周报》杯全国竞赛试题）17．已知a，b，c为正数，满足以32cba①，14bcacababcbccaab②．证明：以a，b，c为三边长可构成一个直角三角形．（全国初中数学联赛试题）18.一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎，如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶多少km?（全国初中数学竞赛试题）19.如图，AB为半圆⊙O的直径，动点C在半圆上，CD⊥AB于D，⊙O1与AC内切且与AB，CD相切，⊙O2与CB内切且与AB，CD相切，E，F是AB上的两个切点，求证：∠ECF＝45°.FEDOABCO1O2