最优控制 (5)1

1离散系统的最优控制问题：实际系统本身就是离散的，这类系统的进程，是在逐个离散的时刻按步实现的。实际系统本身是连续的，但在用计算机进行最优控制的计算和实际控制时，要把时间量化，以适应计算机运算的需要，仍是离散化的最优控制问题。介绍控制向量不受约束情况下离散系统的最小值原理。2-2离散系统的最小值原理2离散系统的状态方程可以用非线性差分方程表示：]),(),([)1(kkukxfkx12,1,0Nk(2-86)式中)(kx为n维状态向量序列，)(ku为m维控制向量序列，而f则是连续可微的n维向量函数，其相互关系如图2-4所示，图中)0(x和)(Nx分别表示状态的初值和终值。fff...u(0)u(1)u(N-1)x(0)x(1)x(2)x(N-1)x(N)图2-43问题2-2设离散系统的状态方程为]),(),([)1(kkukxfkx12,1,0Nk(2-88)其状态初值已知是0)0(xx(2-89)寻找最优控制序列)(ˆku，k=0,1,…,N-1使性能指标10]),(),([]),([NkkkukxLNNxJ(2-90)取极小值。状态终端不受约束4连续系统最优控制：在时间区间],[0ftt上寻找最优控制)(ˆtu和相应的最优轨线)(ˆtx，使性能指标取极小值。离散系统最优控制：在离散时刻0，1,…，N-1上寻找N个最优控制向量)0(ˆu，)1(ˆu，…，)1(ˆNu和相应的N个最优状态向量)1(ˆx，)2(ˆx，…,)(ˆkx以使(2-90)式表示的性能指标取极小值。称)(ˆku，k=0,1,…,N-1为最优控制)(ˆkx，k=1,2，…,N为最优轨线10]),(),([]),([NkkkukxLNNxJ5为了寻找离散系统的最优解，和连续系统的情形相仿，引进协态向量序列)(k，k=1,2,…,N，则问题便化为求广义性能指标：)}]1(]),(),([){1(]),(),([[]),([10kxkkukxfkkkukxLNNxJNkT(2-91)的极小值。定义离散的哈密顿函数序列：]),(),([)1(]),(),([)(kkukxfkkkukxLkHT12,1,0Nk(2-92)6则(2-91)式可写成)]1()1()([]),([10kxkkHNNxJNkT(2-93)把(2-93)式右边第二项进行简单变换，可得)0()0()]()()([)()(]),([10xkxkkHNxNNNxJTNkTT(2-94)(2-94)式的一阶变分是)0()0()()()()()()()()(10dxkdukuHkdxkkxHNdxNNxJTNkTTT(2-95)7实现最优控制的必要条件：0J注意到dx(N),dx(k),du(k)是任意的，dx(0)=0可得：)()()(kxkHk12,1,0Nk)()(NxN0)()(kukH12,1,0Nk)1()()()(kkxfkxLkT0)1()()(kkufkuLT]),(),([)1(]),(),([)(kkukxfkkkukxLkHT8定理2-3设离散系统的状态方程为]),(),([)1(kkukxfkx12,1,0Nk(2-96)其状态初值已知是0)0(xx(2-97)则为使性能指标10]),(),([]),([NkkkukxLNNxJ(2-98)取极小值，以实现最优控制的必要条件是：91)状态向量序列x(k)和协态向量系列)(k满足下列差分方程：)1()()1(kkHkx或]),(),([)1(kkukxfkx(2-99))()()(kxkHk或)1()()()(kkxfkxLkT(2-100)其边界条件是0)0(xx(2-101))()(NxN(2-102)2)离散哈密顿函数对最优控制序列)(ˆku取极值，即0)()(kukH或0)1()()(kkufkuLT(2-103)k=0,1,…,N-110问题2-3设离散系统的状态方程为]),(),([)1(kkukxfkx12,1,0Nk(2-104)其状态初值已知是0)0(xx(2-105)状态终值应满足边界条件0]),([NNx(2-106)式中是r维向量函数。寻找最优控制序列)(ˆku，k=0,1,…,N-1，使性能指标10]),(),([]),([NkkkukxLNNxJ(2-107)取极小值。状态终端受约束11和状态终值不受约束的情形相比，这里多了一个边界约束条件(2-106)，于是寻找最优解的问题，便归结为求广义性能指标)}]1(]),(),([){1(]),(),([[]),([]),([10kxkkukxfkkkukxLNNxvNNxJNkTT(2-108)的极小值。把关系式(2-108)和(2-91)比较一下，可见它们之间的唯一差别，是(2-108)式中添加了一个反映终态条件的项]),([NNxvT。如在定理2-3中凡出现]),([NNx的地方，均代之以]),([NNx+]),([NNxvT，则定理2-3可移植到状态终值受约束的情形中来。12定理2-4设离散系统的状态方程是]),(),([)1(kkukxfkx1,1,0Nk(2-109)则为把状态x(k)自初态0)0(xx(2-110)转移到满足边界条件0]),([NNx(2-111)的终态，并使性能指标10]),(),([]),([NkkkukxLNNxJ(2-112)取极小值，以实现最优控制的必要条件是：131)状态向量序列x(k)和协态向量序列)(k满足下列差分方程：)1()()1(kkHkx或]),(),([)1(kkukxfkx(2-113))()()(kxkHk或)1()()()(kkxfkxLkT(2-114)并满足边界条件0)0(xx(2-115)0]),([NNx(2-116)vNxNxNT)()()((2-117)2)离散哈密顿函数对最优控制序列)(ˆku取极值：0)()(kukH或0)1()()(kkufkuLT(2-118)14求解离散最优控制问题的步骤写出哈密顿函数(2-92)由哈密顿函数求出规范方程组(2-113)和(2-114)，以及控制方程(2-118)。列出边界条件(2-115)-(2-117)。将方程(2-118)对u(k)求解，并把u(k)的表示式代入规范方程组，以消去u(k)。然后应用边界条件求解x(k)和(k)。把求得的x(k)和(k)代入u(k)的表示式中，即得最优控制u(k)。15例离散系统的状态方程为)()()1(kBukAxkx其中：1.00101.01BA00)2()2()2(01)0()0()0(2121xxxxxx性能指标：102)(05.0kkuJ寻找最优控制序列u(k)，使性能指标达极小值。16解N=2哈密顿函数：)]()()[1()(05.0)(2kBukAxkkukHT求出协态方程)()1()1()()()(1kAkkAkxkHkT由控制方程0)1()(1.0)()(kBkukukHT得)(10)1(10)(kABkBkuTTT代入状态方程可得)(10)()1(kABBkAxkxTT17由协态方程)1()(kAkT和状态方程)(10)()1(kABBkAxkxTT可得当k=0时，)1()0(TA)1(10)0()0(10)0()1(TTTBBAxABBAxx当k=1时，)2()1(TA)1(10)1(10)0()1(10)1()2(2TTTTTABBABBxAABBAxx18由x(2)可以求得)1(，随之确定)0(。由于1.001.00011.0011.001.00101010.0001.001.001.00101.01101011.001102.0112TTTTABBABBAA故)1()1(20.001.001.00)0()0(102.01)2(2121xxx)1(10)1(10)0()1(10)1()2(2TTTTTABBABBxAABBAxx19代入x(0)、x(2)，整理得01)1()1(20.001.001.0021解得1002000)1()1(213002000100200011.001)1()0()0(21TA故101)100(1.0001101.01)1(100)1(10)1(100)0(10)0(xABuABuTTTT20例2-2离散型线性调节器设离散系统的状态方程为)()()()()1(kukBkxkAkx1,1,0Nk(2-119)其初态0)0(xx已知。性能指标是二次型的，并用下式表示：)]()()()()()([21)()()(2110kukRkukxkQkxNxNFNxJTNkTT(2-120)式中R(k)是正定矩阵，F(N)和Q(k)是半正定矩阵。寻找最优控制序列u(k)，使性能指标达极小值。设P是nxn实对称方阵，V(x)=xTPx为由P所决定的二次型函数，若V(x)0，P称为正定，若V(x)=0，P称为半正定。时变系统21解写出哈密顿函数)]()()()()[1()()()(21)()()(21)(kukBkxkAkkukRkukxkQkxkHTTT(2-121))()()(21)()()()(NxNFNxNvNxNxNTT求出协态方程)1()()()()()()(kkAkxkQkxkHkT(2-122)因状态终值无约束，故协态终值是)()()(NxNFN(2-123)22由控制方程0)()(kukH知0)1()()()(kkBkukRT于是)1()()()(1kkBkRkuT(2-124)把(2-124)式代入方程(2-119))()()()()1(kukBkxkAkx得)1()()()()()()1(1kkBkRkBkxkAkxT(2-125))]()()()()[1()()()(21)()()(21)(kukBkxkAkkukRkukxkQkxkHTTT23设规范方程组(2-122))1()()()()(kkAkxkQkT和(2-125))1()()()()()()1(1kkBkRkBkxkAkxT的解具有下列形式：)()()(kxkPk(2-126)把(2-126)式代入规范方程组，可得)1()1()()()()()()1(1kxkPkBkRkBkxkAkxT(2-127))1()1()()()()()(kxkPkAkxkQkxkPT(2-128))()()(NXNFN24从方程(2-127)，可得)()()]1()()()