搜索
第十一章§11.4数系的扩充与复数的引入最新考纲1.理解复数的基本概念．2.理解复数相等的充要条件．3.了解复数相等的代数表示及其几何意义．4.会进行复数代数形式的四则运算．5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．§11.4数系的扩充与复数的引入第五节最新考纲基础梳理自主测评典例研析特色栏目备课优选基础梳理1.虚数单位i(1)它的平方等于__－1__，即i2＝__－1__；(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加法、乘法运算律仍然成立．2.复数的定义形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，a叫复数的__实部__，b叫复数的__虚部__．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示．3.复数的代数形式复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，把复数表示成a＋bi的形式，叫做复数的代数形式．4.复数的分类5.复数相等：复数a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)__．6.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，将这两个复数叫做互为共轭复数，即z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi(a，b∈R)．7.复数的模：设复数z＝a＋bi在复平面内对应的点是Z(a，b)，点Z到原点的距离OZ叫做复数z的模或绝对值，记作|z|，显然|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2(a，b∈R)．V8.复数的几何意义(1)复平面的概念：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标平面为复平面．(2)实轴、虚轴：在复平面内，x轴称为实轴，y轴称为虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数．(3)复数的几何表示：复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一对应复平面内的点Z(a，b)一一对应平面向量OZ→.VVCVVVVV9.复数的四则运算(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则VVV(2)复数加法、乘法的运算律对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)；z1·z2＝z2·z1，(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3．VVVVV复数运算的一些结论：①(1±i)2＝±2i；②1＋i1－i＝i；③1－i1＋i＝－i；④a＋bii＝b－ai；⑤i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．拓展提升自主测评1、判断下列命题是否正确．(1)复数范围内，每个一元二次方程都有根．(√)(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(X)(3)复数可以借助模比较大小．(X)(4)原点是复平面上实轴与虚轴的交点．(√)(5)复数的模是复平面内复数对应的点到原点的距离．(√)(1)正确．在实数范围内，没有实数根的一元二次方程有复数根，故正确．(2)错误．复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部应为b，不含i.故不正确．(3)错误．只有当两个复数都为实数时，它们才能比较大小，其他情况不能比较大小，与模无关．(4)正确．原点在实轴上，也在虚轴上．故正确．(5)正确．根据复数的几何意义可知此结论正确．解析：2、(2013·福建高考)复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(C)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：z＝－1－2i对应的点为(－1，－2)，故选C.解析：3、(2012·北京高考)设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的(B)A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件当a＝0，且b＝0时，a＋bi不是纯虚数；若a＋bi是纯虚数，则a＝0.故“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件．故选C.解析：4、i是虚数单位，则11＋i＋i＝__12＋12i__．11＋i＋i＝1－i2＋i＝1＋i2＝12＋12i.解析：5、若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为__－1__．∵复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则有x2－1＝0，x－1≠0，解得x＝－1.题型分类·典例研析题型1·复数的概念例1当实数a为何值时，复数z＝a2－8a＋15＋(a2＋3a－28)i：(1)为纯虚数？(2)为实数？(3)在复平面内对应的点位于y轴(虚轴)的正半轴上？思路点拨：(1)z为纯虚数即复数实部为0，虚部不为0.(2)z为实数，只需虚部为0.(3)在复平面内对应的点位于y轴(虚轴)的正半轴上，满足实部为0，虚部大于0.规范解答：(1)若z为纯虚数，则a2－8a＋15＝0，a2＋3a－28≠0，解得a＝3或a＝5.(4分)(2)若z为实数，则a2＋3a－28＝0，解得a＝4或a＝－7.(8分)(3)在复平面内对应的点位于y轴(虚轴)的正半轴上，则a2－8a＋15＝0，a2＋3a－280，解得a＝5.(12分)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部、虚部满足的方程即可．规律总结：迁移发散1规范解答：(1)(2013·安徽高考改编)设i是虚数单位，若复数a－103－i(a∈R)是纯虚数，则a的值为________．(2)(2013·全国高考)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为________．(1)a－103－i＝a－10（3＋i）（3－i）（3＋i）＝a－(3＋i)＝(a－3)－i，由其为纯虚数得a＝3.(2)z＝|4＋3i|3－4i＝53－4i＝5（3＋4i）25＝35＋45i，故z的虚部是45.题型2·复数的几何意义例2(1)(2013·广东高考)若复数iz＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是(C)A.(2，4)B.(2，－4)C.(4，－2)D.(4，2)(2)(2013·湖北高考)在复平面内，复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于(D)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限思路点拨：(1)根据已知条件利用待定系数法求得z，然后确定z对应的坐标．(2)先化简z，根据共轭复数的定义，确定其共轭复数．规范解答：(1)设复数z＝a＋bi，a，b∈R，则iz＝i(a＋bi)＝－b＋ai＝2＋4i，解得b＝－2，a＝4.故在复平面内，z对应的点的坐标是(4，－2)．故选C.(2)z＝2i1＋i＝2i（1－i）（1＋i）（1－i）＝i(1－i)＝1＋i，z＝1－i，z对应的点在第四象限．故选D.两题解题的关键是把所给复数化成a＋bi(a，b∈R)的形式，再利用复数的几何意义求解．点评：规律总结：复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题．迁移发散2(1)已知复数z的实部为－1，虚部为2，则2－iz(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为(C)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(C)A.4＋8iB.8＋2iC.2＋4iD.4＋i规范解答：(1)依题意得2－iz＝2－i－1＋2i＝（2－i）（－1－2i）（－1＋2i）（－1－2i）＝－4－3i5，因此该复数在复平面内对应的点的坐标是－45，－35，位于第三象限．故选C.(2)复数6＋5i对应的点为A(6，5)，复数－2＋3i对应的点为B(－2，3)．利用中点坐标公式得线段AB的中点为C(2，4)，故点C对应的复数为2＋4i.故先C.题型3·复数的代数运算思路点拨：规范解答：例3计算：(1)（1＋2i）23－4i；(2)（2＋2i）3（4＋5i）（5－4i）（1－i）.先将原式中的分子、分母分别化简，然后利用复数除法的知识求解．(1)原式＝（4i－3）（3＋4i）25＝－16－925＝－1.(6分)(2)原式＝22（1＋i）3（5－4i）i（5－4i）（1－i）＝22（1＋i）4i（1－i）（1＋i）＝22i×（2i）22＝－42i.(12分)规律总结：复数的四则运算类似于多项式的四则运算，将含有虚数单位i的看做一类，不含i的看做另一类，分别运算即可，注意把结果中的i2换成－1且把实部与实部、虚部与虚部相结合．复数的除法通常通过分母实数化转化为其他代数运算，类似于分母有理化的过程.点评：本题考查利用复数的运算法则、性质进行运算．复数除法运算中在实施“分母有理化”时，共轭复数是基础．迁移发散3(1)(2013·浙江高考)已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)等于(B)A.－3＋iB.－1＋3iC.－3＋3iD.－1＋i(2)(2013·重庆高考)已知复数z＝(i是虚数单位)，则|z|＝√5．规范解答：(1)(－1＋i)(2－i)＝－2＋i＋2i＋1＝－1＋3i，故选B.(2)∵z＝5i（1－2i）（1＋2i）（1－2i）＝2＋i，∴|z|＝22＋12＝5.创新题型接触——复数的新定义问题(2013·广州模拟)在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”．类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“＞”．定义如下：对于任意两个复数z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，a2，b1，b2∈R)，z1＞z2当且仅当“a1＞a2”或“a1＝a2且b1＞b2”．按上述定义的关系“＞”，给出如下四个命题：①若z1＞z2，则|z1|＞|z2|；②若z1＞z2，z2＞z3，则z1＞z3；③若z1＞z2，则对于任意z∈C，z1＋z＞z2＋z；④对于复数z＞0，若z1＞z2，则zz1＞zz2.其中真命题的个数为(B)A.1B.2C.3D.4思路点拨：根据“序”的定义把复数大小比较的问题转化为复数的实部、虚部之间的大小比较，也可通过举反例进行判断．规范解答：对于复数z1＝2＋i，z2＝1－3i显然满足z1＞z2，但不满足|z1|＞|z2|，故①不正确；设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，由z1＞z2，z2＞z3可得“a1＞a3”或“a1＝a3且b1＞b3”，故②正确；设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z＝a＋bi，由z1＞z2可得“a1＞a2”或“a1＝a2且b1＞b2”．显然有“a1＋a＞a2＋a”或“a1＋a＝a2＋a且b1＋b＞b2＋b”，从而z1＋z＞z2＋z，故③正确；对于复数z1＝2＋i，z2＝1－3i显然满足z1＞z2，令z＝1＋i，则zz1＝(1＋i)(2＋i)＝1＋3i，zz2＝(1＋i)(1－3i)＝4－2i，显然不满足zz1＞zz2，故④错误．综上②③正确，故选B.规律总结：未来预测：复数的新定义问题主要是借助给出新概念或新运算，考查学生的阅读理解、应用新知识解决问题的能力.从实质来说，此类问题考查的还是基础知识和基本技能，解题的关键是抓住新概念或新运算的特征，对所给的新信息进行分析，并且将所给信息与所学知识相结合.本题利用了类比方法的思想，主要考查阅读理解和应用新知识解决问题的能力.备课优选题型2·复数的几何意义例4复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上对应的点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．将复平面内的复数转化为向量求解．思路点拨：规范解答：设复数z1，z2，z3对应的点分别为A，B，C，正方形第四个顶点D的对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，则AD→＝OD→－OA→＝(x－1，y－2)，(5分)BC→＝OC→－OB→＝(1，－3)，AB→＝OB→－OA→＝(－3，－1)，(8分)∵AB→·BC→＝0，∴AB→⊥BC→，即AD→＝BC→，∴(x－1，y－2)＝(1，－3)，解得x＝2，y＝－1，则D点所对应的复数为2－i.(10分)题型4·待定系数法求复数的参数值例5已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.A.(0，1)B.(0，1]C.[1