【高中数学选修2-1】3.1.2空间向量的数乘运算

3.1.2空间向量的数乘运算2上一节课,我们把平面向量的有关概念及加减运算扩展到了空间.平面向量空间向量加法减法运算加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则运算律加法交换律abba加法结合律:()()abcabcabba加法交换律加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则加法结合律()()abcabc注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量的加、减法实质是一样的.回顾：3平面向量的数乘运算定义：aa如下：，它的长度和方向规定记作的积是一个向量，与向量实数aa的方向相反；的方向与时，当的方向相同；的方向与时，当aaaa00.000aa时，或当特别地，(1)(2)类似地,我们是否可以定义空间向量的数乘运算呢?回顾：4aa如下：，它的长度和方向规定一个向量，记作的积仍然是与空间向量与平面向量一样，实数aa的方向相反；的方向与时，当的方向相同；的方向与时，当aaaa00.000aa时，或当特别地，(1)(2)以上运算称为空间向量的数乘运算.一、空间向量的数乘运算定义：5一、空间向量的数乘运算定义：空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：()()()ababaaaaa即：（）6例1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量.(如图)111(1)(2)1(3)()31(4)2ABBCABADAAABADAAABADCC(1);ABBCAC解：＝1111(2)ABADAAACAAACCCACABCDA1B1C1D1GM111(3)()33ABADAAACAG1(4).ABADCCAM1+＝217复习回顾平面向量共线定理8平面任意两个向量ab（b≠0），a//b的充要条件是存在实数ba，使复习回顾平面向量共线定理平面向量共线定理：规定:o与任一向量a是共线向量9二、空间向量共线及其充要条件1.共线向量:空间两个向量方向相同或相反，则这两个向量叫做共线向量或平行向量.a平行于b记作//ab规定:o与任一向量a是共线向量.10二、空间向量共线及其充要条件1.共线向量:空间两个向量方向相同或相反，则这两个向量叫做共线向量或平行向量.a平行于b记作//ab规定:o与任一向量a是共线向量.2.空间向量共线定理：空间任意两个向量a（b≠0），a//b的充要条件是存在实数，使bab、11练习1:已知OE是以OAOBOC、、为棱的平行六面体OADBCFEG─的对角线,点M是ABC△的重心.求证:点M在直线OE上.OAMGEFCBD点评:证三点共线，向量是一个有力的工具例2.N12思考:如图,l为经过已知点A且平行非零向量a的直线,如何表示直线l上的任一点P?lAPa注:非零向量a叫做直线l的方向向量.B⑴∵//APa,∴存在唯一实数tR,使APta.∴点P在直线l上唯一实数,tR使APta①⑵对于任意一点O,有APOPOA则点P在直线l上唯一实数,tR使OPOAta②⑶点B在直线l上,且ABa则点P在直线l上唯一实数,tR使OPOAtAB③注:①、②、③式都称为空间直线的向量表示式,即空间直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定.O13三.共面向量:1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.OAa注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。2.共面向量定理:如果两个向量ab、不共线,则向量p与向量ab、共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(,)xy使pxayb.AabBp即“平面向量的基本定理”就是空间向量的共面定理14例3(课本例)已知ABCD，从平面AC外一点O引向量A,,,OEkOAOFkOBOGkOCOHkOD求证：四点E、F、G、H共面；BCDOEFGH点评：根据共面向量定理，只要满足下列条件四点共面。EFyEHxEG15OAPabBp3.“四点共面”的充要条件：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对x,y使或对空间任一点O,有三.共面向量:C此式称为空间平面ABC的向量表示式ACyABxAPACyABxOAOP163.“四点共面”的充要条件：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对x,y使或对空间任一点O,有三.共面向量:ACyABxAPACyABxOAOP易得同起点的四个向量，终点共面的充要条件：1,,,,zyxOCzOByOAxOPCBAP共面终点同起点的四个向量17例4、已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，确定在下列条件下，M是否与A，B，C三点共面：111(1);333(2)2.OMOAOBOCOMOAOBOC18课外补充练习:1.下列说明正确的是：(A)在平面内共线的向量在空间不一定共线(B)在空间共线的向量在平面内不一定共线(C)在平面内共线的向量在空间一定不共线(D)在空间共线的向量在平面内一定共线2.下列说法正确的是：(A)平面内的任意两个向量都共线(B)空间的任意三个向量都不共面(C)空间的任意两个向量都共面(D)空间的任意三个向量都共面DC193.对于空间任意一点O，下列命题正确的是：(A)若，则P、A、B共线(B)若，则P是AB的中点(C)若，则P、A、B不共线(D)若，则P、A、B共线OPOAtAB3OPOAABOPOAtABOPOAABA4.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，,则x的值为()1()1()0()3()3ABCDOMxOAOBOC11＋＋33课外补充练习:D20小结1.空间向量的数乘运算定义。2.共线向量的定义及空间向量共线定理。3.共面向量的定义及空间向量共面定理。