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第五章平面向量与复数1.平面向量(1)平面向量的实际背景及基本概念①了解向量的实际背景.②理解平面向量的概念和两个向量相等的含义.③理解向量的几何表示.(2)向量的线性运算①掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.②掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.③了解向量线性运算的性质及其几何意义.(3)平面向量的基本定理及坐标表示①了解平面向量的基本定理及其意义.②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.④理解用坐标表示的平面向量共线的条件.(4)平面向量的数量积①理解平面向量数量积的含义及其物理意义.②了解平面向量的数量积与向量投影的关系.③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.(5)向量的应用①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.2.数系的扩充和复数的引入(1)理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件.(2)了解复数的代数表示法及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示.(3)能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、相减的几何意义.§5.1平面向量的概念及线性运算1.向量的有关概念(1)向量：既有____________又有____________的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的____________(或称模).AB→的模记作____________.(2)零向量：____________的向量叫做零向量，其方向是________的.(3)单位向量：长度等于__________________的向量叫做单位向量.a||a是一个与a同向的____________.－a|a|是一个与a________的单位向量.(4)平行向量：方向________或________的________向量叫做平行向量.平行向量又叫____________，任一组平行向量都可以移到同一直线上.规定：0与任一向量____________.(5)相等向量：长度____________且方向____________的向量叫做相等向量.(6)相反向量：长度____________且方向____________的向量叫做相反向量.(7)向量的表示方法：用________表示；用____________表示；用________表示.2.向量的加法和减法(1)向量的加法①三角形法则：以第一个向量a的终点A为起点作第二个向量b，则以第一个向量a的起点O为________以第二个向量b的终点B为________的向量OB→就是a与b的________(如图1).推广：A1A2→＋A2A3→＋…＋An－1An＝___________.图1图2②平行四边形法则：以同一点A为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱ABCD，则以A为起点的__________就是a与b的和(如图2).在图2中，BC→＝AD→＝b，因此平行四边形法则是三角形法则的另一种形式.③加法的运算性质：a＋b＝____________(交换律)；(a＋b)＋c＝____________(结合律)；a＋0＝____________＝a.(2)向量的减法已知向量a，b，在平面内任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则BA→＝____________，即a－b表示从向量b的终点指向向量a(被减向量)的终点的向量(如图).3.向量的数乘及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作____________，它的长度与方向规定如下：①||λa＝____________；②当λ0时，λa与a的方向____________；当λ0时，λa与a的方向____________；当λ＝0时，λa＝____________.(2)运算律：设λ，μ∈R，则：①λ(μa)＝____________；②(λ＋μ)a＝____________；③λ(a＋b)＝____________.4.两个向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得____________.自查自纠：1.(1)大小方向长度||AB→(2)长度为0任意(3)1个单位长度单位向量方向相反(4)相同相反非零共线向量平行(5)相等相同(6)相等相反(7)字母有向线段坐标2.(1)①起点终点和A1An→②对角线AC→③b＋aa＋(b＋c)0＋a(2)a－b3.(1)λa①|λ||a|②相同相反0(2)①μ(λa)②λa＋μa③λa＋λb4.b＝λa如果a，b是两个单位向量，则a与b一定()A.相等B.平行C.方向相同D.长度相等解：|a|＝|b|＝1，故选D.如图，正六边形ABCDEF中，BA→＋CD→＋EF→＝()A.0B.BE→C.AD→D.CF→解：BA→＋CD→＋EF→＝BA→＋AF→－BC→＝BF→－BC→＝CF→，故选D.设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使a|a|＝b|b|成立的充分条件是()A.a＝－bB.a∥bC.a＝2bD.a∥b且|a|＝|b|解：由题意a|a|＝b|b|表示与向量a和向量b同向的单位向量相等，故a与b同向共线.故选C.(2013·四川)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB→＋AD→＝λAO→，则λ＝__________.解：由向量加法的平行四边形法则得AB→＋AD→＝AC→＝2AO→，∴λ＝2.故填2.如图，已知∠B＝30°，∠AOB＝90°，点C在AB上，OC⊥AB，用OA→和OB→来表示向量OC→，则OC→等于__________________.解：OC→＝OA→＋AC→＝OA→＋14AB→＝OA→＋14(OB→－OA→)＝34OA→＋14OB→.故填34OA→＋14OB→.类型一向量的基本概念下列五个命题：①温度有零上和零下之分，所以温度是向量；②向量a≠b，则a与b的方向必不相同；③|a|＞|b|，则a＞b；④向量AB→与CD→是共线向量，则A，B，C，D四点共线；⑤方向为北偏西50°的向量与方向为东偏南40°的向量一定是平行向量.其中正确的是()A.①⑤B.④C.⑤D.②④解：温度虽有大小却无方向，故不是向量，①错；a≠b，a与b的方向可以相同，②错；向量的长度可以比较大小，但向量不能比较大小，③错；正方形ABCD中AB→与CD→共线，但A，B，C，D四点不共线，④错；作图易得⑤正确.故选C.点拨：(1)与向量相关的概念比较多，为了不致混淆，应牢记各概念的内涵与外延，紧紧抓住各概念的本质；(2)概念是学习新理论的基础，概念又衍生出公式、定理、性质、新概念甚至新理论体系，因此应重视对概念的学习；(3)课本上给出的概念(定义)都是非常准确、简洁的，熟记这些概念(定义)并逐步熟练应用是学习新知识的好习惯.给出下列命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若||a＝||b，则a＝b；③若AB→＝DC→，则ABCD为平行四边形；④在▱ABCD中，一定有AB→＝DC→；⑤若m＝n，n＝p，则m＝p.其中不正确．．．的个数是()A.2B.3C.4D.5解：两个向量的起点相同，终点相同，则这两个向量相等，但两个相等向量不一定有相同的起点和终点，故①不正确；||a＝||b，由于a与b方向不确定，所以a，b不一定相等，故②不正确；AB→＝DC→，可能有A，B，C，D在一条直线上的情况，所以③不正确，正确的是④⑤.故选B.类型二向量的线性运算(1)如图所示，下列结论正确的是()①PQ→＝32a＋32b；②PT→＝－32a－32b；③PS→＝32a－12b；④PR→＝32a＋b.A.①②B.③④C.①③D.②④解：由a＋b＝23PQ→，知PQ→＝32a＋32b，①正确；由PT→＝32a－32b，从而②错误；PS→＝PT→＋b，故PS→＝32a－12b，③正确；PR→＝PT→＋2b＝32a＋12b，④错误.故正确的为①③，故选C.(2)(2014·福建)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则OA→＋OB→＋OC→＋OD→等于()A.OM→B.2OM→C.3OM→D.4OM→解：易知OA→＝OM→＋12CA→，OB→＝OM→＋12DB→，OC→＝OM→＋12AC→，OD→＝OM→＋12BD→，而CA→＝－AC→，DB→＝－BD→，∴OA→＋OB→＋OC→＋OD→＝4OM→.故选D.点拨：向量的加法、减法及数乘统称为向量的线性运算，有了向量的线性运算，平面中的点、线段(直线)就可以利用向量表示，为用向量法解决几何问题(或用几何法解决向量问题)奠定了基础.对于用已知向量表示未知向量的问题，找准待求向量所在三角形然后利用条件进行等量代换是关键，这一过程需要从“数”与“形”两方面来把握.(1)(2013·北京模拟)如图，在△ABC中，BD＝2DC.若AB→＝a，AC→＝b，则AD→＝()A.23a＋13bB.23a－13bC.13a＋23bD.13a－23b解：∵BD→＝2DC→，∴BD→＝23BC→，又∵AD→＝AB→＋BD→＝a＋23BC→＝a＋23(b－a)＝13a＋23b.故选C.(2)(2014·全国Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB→＋FC→＝()A.AD→B.12AD→C.BC→D.12BC→解：EB→＋FC→＝12(AB→＋CB→)＋12(AC→＋BC→)＝12(AB→＋AC→)＝AD→.故选A.类型三向量共线的充要条件及其应用已知A，B，C是平面内三个不相同的点，O是平面内任意一点，求证：向量OA→，OB→，OC→的终点A，B，C共线的充要条件是存在实数λ，μ，使得OC→＝λOA→＋μOB→，且λ＋μ＝1.证明：(1)先证必要性.若OA→，OB→，OC→的终点A，B，C共线，则AB→∥BC→，∴存在实数m使得BC→＝mAB→，即OC→－OB→＝m(OB→－OA→)，∴OC→＝－mOA→＋(1＋m)OB→.令λ＝－m，μ＝1＋m，则λ＋μ＝－m＋1＋m＝1，即存在实数λ，μ，使得OC→＝λOA→＋μOB→，且λ＋μ＝1.(2)再证充分性.若OC→＝λOA→＋μOB→，且λ＋μ＝1，则OC→＝λOA→＋(1－λ)OB→，∴OC→－OB→＝λ(OA→－OB→)，即BC→＝λBA→，∴BC→∥BA→，又BC与BA有公共点B，∴A，B，C三点共线.综合(1)(2)可知，原命题成立.点拨：证明三点A，B，C共线，借助向量，只需证明由这三点A，B，C所组成的向量中有两个向量共线，即证明存在一个实数λ，使AB→＝λBC→.但证明两条直线AB∥CD，除了证明存在一个实数λ，使AB→＝λCD→外，还要说明两直线不重合.注意：本例的结论可作定理使用.(1)如图，在△ABC中，AN→＝13AC→，P是BN上的一点，若AP→＝mAB→＋211AC→，则实数m的值为()A.911B.511C.311D.211解：注意到N，P，B三点共线，因此我们有AP→＝mAB→＋211AC→＝mAB→＋611AN→，从而m＋611＝1⇒m＝511.故选B.(2)已知向量a，b，且AB→＝a＋2b，BC→＝－5a＋6b，CD→＝7a－2b，则一定共线的三点是()A.A，B，DB.A，B，CC.B，C，DD.A，C，D解：BD→＝BC→＋CD→＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2AB→，∴A，B，D三点共线.故选A.(3)已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为()A.－1或3B.3C.－1或4D.3或4解：∵向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，∴ma－3b＝λ[]a＋（2－m）b⇒m＝λ，－3＝λ（2－m）.解得m＝－1或m＝3.故选A.1.准确理解向量的概念，请特别注意以下几点：(1)a∥b，有a与b方向相同或相反两种情形；(2)向量的模与数的绝