人教版高中数学选修1-1 3.3.1函数的单调性与导数.

函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数的这些性质,我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解.正是因科学家们对数量的变化规律进行了长期的研究,导致了微积分的创立.本节课,我们就来探究函数的单调性与导数的关系.首先我们回忆一下函数的单调性的概念和导数的几何意义.函数y=f(x)在给定区间G上，当x1、x2∈D且x1＜x2时yxoabyxoab1）都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在D上是增函数；2）都有f(x1)＞f(x2)，则f(x)在D上是减函数；若f(x)在D上是增函数或减函数，则f(x)在D上具有严格的单调性。D称为单调区间D=(a,b)二、复习引入:导数的几何意义:yx0abc导数0()()()limxfxxfxfxx的几何意义是:()0fx()0fx函数()yfx的图象在点(,())xfx处的切线的斜率.(如图)观察:下图(1)表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数的图象,图(2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数的图象.运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?105.69.4)(2ttth5.69.4)(ttvaabbttvhOO①运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地,.0)()(thtv②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数.相应地,.0)()(thtv(1)(2)xyOxyOxyOxyOy=xy=x2y=x3xy1观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.在某个区间(a,b)内,如果,那么函数在这个区间内单调递增;如果,那么函数在这个区间内单调递减.0)(xf)(xfy0)(xf)(xfy如果恒有，则是常数。)(xf0)('xf例1已知导函数的下列信息:当1x4时,当x4,或x1时,当x=4,或x=1时,)(xf;0)(xf;0)(xf.0)(xf试画出函数的图象的大致形状.)(xf解:当1x4时,可知在此区间内单调递增;()0,fx()fx当x4,或x1时,可知在此区间内单调递减;()0,fx)(xf当x=4,或x=1时,.0)(xf综上,函数图象的大致形状如右图所示.)(xfxyO14题型一：应用导数信息确定函数大致图象已知导函数的下列信息：23'()0;32'()0;32'()0.xfxxxfxxxfx当时，当或时，当或时，试画出函数图象的大致形状。()fx分析：()fx在此区间递减()fx在此区间递增()fxx图象在此两处附近几乎没有升降变化,切线平行轴ABxyo23()yfxABxyo23()yfx题型一：应用导数信息确定函数大致图象已知导函数的下列信息：23'()0;32'()0;32'()0.xfxxxfxxxfx当时，当或时，当或时，试画出函数图象的大致形状。()fx分析：()fx在此区间递减()fx在此区间递增()fxx图象在此两处附近几乎没有升降变化,切线平行轴ABxyo23()yfx题型一：应用导数信息确定函数大致图象解：的大致形状如右图：()fx这里，称A,B两点为“临界点”xyo12()yfxxyo12()yfxxyo12()yfxxyo12()yfxxyo'()yfx2(A)(B)(C)(D)C(04浙江理工类)练习：设是函数的导函数，的图象如右图所示,则的图象最有可能的是()()fx'()fx'()yfx()yfx题型二判断函数的单调性,并求出单调区间:;32)()2(;3)()1(23xxxfxxxf);,0(,sin)()3(xxxxf.12432)()4(23xxxxf解:(1)因为,所以xxxf3)(3.0)1(333)(22xxxf因此,函数在上单调递增.xxxf3)(3Rx(2)因为,所以32)(2xxxf).1(222)(xxxf当,即时,函数单调递增;0)(xf1x32)(2xxxf当,即时,函数单调递减.0)(xf1x32)(2xxxf;32)()2(;3)()1(23xxxfxxxf);,0(,sin)()3(xxxxf.12432)()4(23xxxxf解:(3)因为,所以),0(,sin)(xxxxf.01cos)(xxf因此,函数在上单调递减.xxxfsin)(),0(x(4)因为,所以12432)(23xxxxf当,即时,函数单调递增;0)(xf21712171xx或)(xf当,即时,函数单调递减.0)(xf2466)(2xxxf21712171x)(xf题型二判断函数的单调性,并求出单调区间:练习课本判断下列函数的单调性,并求出单调区间:;)()2(;42)()1(2xexfxxxfx.)()4(;3)()3(233xxxxfxxxf总结:当遇到三次或三次以上的,或图象很难画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。①求定义域②求'()fx③令'()0()'()0()fxfxfxfx解不等式的递增区间解不等式的递减区间④作出结论1°什么情况下，用“导数法”求函数单调性、单调区间较简便？2°试总结用“导数法”求单调区间的步骤？总结：1.导数求单调区间首先要确定函数的定义域2单调区间不能用“∪”联系，而只能用“，”隔开注意cossin335(,)(,2)(,)(2,3)22.2..2.yxxxABCD函数在下面哪个区间内是增函数()B(,2)该函数在上为增函数。xxxx(,2)sin0,sin0,如图,当时，yxxxxx''cos(cos)'(sin)'解：xxxxxxcossinossincy'0即：xyo23yxsin练习例3（课本）如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.(A)(B)(C)(D)htOhtOhtOhtO一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.如图,函数在或内的图象“陡峭”,在或内的图象平缓.)(xfy),0(b)0,(a),(b),(a练习函数的图象如图所示,试画出导函数图象的大致形状)(xfy)(xf题型三分类讨论单调性1.讨论二次函数的单调区间.)0()(2acbxaxxf解:)0()(2acbxaxxf.2)(baxxf0)1(a由,得,即函数的递增区间是;相应地,函数的递减区间是0)(xfabx2)(xf),2(ab)2,(ab0)2(a由,得,即函数的递增区间是;相应地,函数的递减区间是0)(xfabx2)(xf),2(ab)2,(ab2.报纸平行练习3.导学案P157展题一（14全国大纲）上单调递减；）在（）上单调递增，，在（易知则令此时时当）上单调递减；，在（上单调递增，）在（易知则时，令，即若上单调递增；在则函数时，，即若时当解析：定义域的单调性。讨论函数),(,,)(.11,11,0)(,0,0)3(),(,,)(.11,11,0)(100)(,0)(10,0)1().1(444),12(3363)(,)().0(33)(1212211212212223xxxxxfaaxaaxxfaxxxxxfaaxaaxxfaRxfxfaaaaxaxxaxxfRxxfaxxaxxf4.导学案P159（14广东）.),(),(,,)(.11,110)(,1,0)(0)(,10).1(444,2)(.),(131)(121221223单调递减上单调递增，在）在（易知，令时即时当上单调递增；在，则时时，即当解析：求函数的单调区间已知函数xxxxxfaxaxxfaRxfxfaaaaxxxfRaaxxxxf5.（15年江苏）已知函数的单调区间。讨论)().,()(23xfRbabaxxxf）上单调递减；，（区间可知函数）上单调递增；同理，，），（，在（即函数时，解得则当时当）上单调递减；，（区间可知函数）上单调递增；同理，，），（，在（即函数时，解得则当时当上单调递增；），在（所以函数时，因为当，解得令解析：320)(320)(.0,320)(,,0)3(032)(032)(.32,00)(,,0)2()(),0(03)(0)1(.32,00)(,23)(12122212axfaxfxaxxfxxaaxfaxfaxxxfxxaxfxxxfaaxxxfaxxxf证明:因为f(x)=2x3-6x2+7f/(x)=6x2-12x=6x(x-2),当x∈(0,2)时,f/(x)=6x(x-2)0,函数f(x)=2x3-6x2+7在(0,2)内是减函数例1求证函数f(x)=2x3-6x2+7在(0,2)内是减函数题型四证明函数的单调性及不等式）上是减函数，在区间（即函数故所以，）上是减函数，又，在区间（则设证明：）上是减函数，在区间（求证：函数0sin)(.0)(,0)0()(0)0(0)(,0sincossincos)(sin)cos()(,sincos)(,sincos)(.0sin)(.22xxxfxfgxggxgxxxxxxxxxxgxxxxgxxxxxfxxxf证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法：(1)求f’(x)；(2)确认f’(x)在(a,b)内的符号(3)作出结论).2,0(,tansin)2();2,0(,2sin1.3xxxxxxxx）（证明下列不等式：例.,2)2(sin)(20sin)(22,sincos)(,sin)(,2sin12即证）上单调递减，所以，在（知，，根据例同例则令）原不等式等价于解析：（fxxxfxxxfxxxxxfxxxfxx即证上单调递增，在区间则令,0)0()()2,0()(,0)(,0sincos,0cos1),2,0(cos)sin)(coscos1(coscoscoscos1coscos2cos1cos2coscossin)(sin)2()cossin()(sin2tan)()2(2222232223222fxfxfxfxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxfxxxxf即可。证证其值是零（或为正）数，只需带入右端点验上是减函在说明即可；同理若证其值是零（或为正），左端点验证上是增函数，只需带入在说明）若（，可以二次求导；的符号，如果无法判断内，判断在转化为适当等价转化（如果题目可化简，可）移项，构造函数步骤：（求证：常见形式：已知利用导数证明不等式的成立问题的思路：利用导数证明不等式恒0)(,),()(,0)(0)(),()(,0)(3)(),()2(;0)(),),()()(1).()(),,(bfbaxfxfafbaxfxfxfbaxfxvxuxfxvxubax325例1：求参数的范