一道平面几何题的深入探究

一道平面几何题的深入探究浙江师范大学数理与信息工程学院数学与应用数学143班董佳升姜佳姮吴晴飘祝佳琪摘要一道平面几何题往往可以从不同的知识层面去考查我们运用所学知识分析并解决问题的能力，如“证明三角形的三条中线共点”，便是这样一道具有多解性的好题．本文用几何法，向量法，坐标法，综合法这4种不同的方法，以归纳总结的方式，对此题的多解性展开讨论．关键词平面几何；多解；向量法；几何法；坐标法；综合法1.引言本文参考了《解析几何教材》和《平面解析几何方法证明方法》全书，归纳总结，以供我们以后对一道几何题从不同方面进行思考。一题多解可以锻炼我们思维的全面性，严谨性，逻辑性，从而使加深我们对几何问题的认识，初步了解几何思想，为我们之后的几何学习奠定基础。2.一道平面几何题目的证明[证明]三角形的三条中线共点解决一道平面几何题的方法归纳：证明一个平面几何问题一般有以下几种方法：坐标法，反证法，面积法，代数法，参量法，三角法，割补法，几何变换法，射影法，消点法，分析法等，但是以我们目前的学习情况我们常用的大致有这些方法：反证法，面积法，代数法，参量法，分析法。以下以证明三角形的中线交于一点为例，从多种解题思路和目的出发，探究了不同的证明方法.2.1解题思路1：D,E分别为BC,AC的中点，连接AD,BE，使之交于点O，延长CO交AB于点F,求证：F为AB中点.解法1.（几何法）利用中位线定理在△ABC中，D,E,F分别为BC,CA,AB的中点，连接AD,BE交于点O，连接CO并延长交AB于点H,延长OD于点G,并使OD=DG.∵BD=CD,OD=DG∴四边形BOCG是平行四边形.∴BO∥CG,∴OE∥CG.∵AE=EC∴AO=OG.又∵OC∥BG∴OH∥BG,又∵AO=OG∴AH=BHF为AB中点∴H与F重合∴AD、BE、CF交于一点即三角形的三条中线共点.解法2.(几何法)利用相似三角形△ABC的两条中线AD,CF交于点O,连接BO并延长交AC于点E.过点O作MN∥BC,交AB于点M，交AC于点N；过点O作PQ∥AB,交BC于点P，交AC于点Q.∵MN∥BC,∴△AMO∽△ABD,△AND∽△ACD,∴BDMO=ADAO=CDNO∵AD是△ABC的一条中线∴BD=CD,MO=NO.同理：OP=OQ.∴△MOP∽△NOQ,∠MPO=∠NQO,∴MP∥NQ且MP=NQ，∴△BMR∽△BAE,△BPR∽△BOC,∴BEBRAEMR=,BEBRCEPR=,易证BMOP是平行四边形∴MR=PR∴AE=CE,即E为AC中点，∴三角形的三条中线共点.解法3.（几何法）利用面积法在△ABC中，D,E,F分别为BC,CA,AB的中点，连接AD,CF交于点O，连接BO并延长交AC于点E.∵D是BC中点，∴SABD△=SACD△,SOBD△=SOCD△，∴SABD△-SOBD△=SACD△-SOCD△，即SAOB△=SAOC△.∵F是AB中点，∴SCAF△=SCBF△,SOAF△=SOBF△,∴SCAF△-SOAF△=SCBF△-SOBF△,即SAOC△=SBOC△.∴SBOC△=SAOB△.∵OBOESSAOBAOE=△△,OBOESSCOBCOE=△△,SAOB△=SBOC△,∴SAOE△=SCOE△∴AE=CE,E为AC中点，∴三角形的三条中线共点.解法4.（几何法）综合法在△ABC中，D、E为AC、AB中点，连结BD、CE，交于点O，连接AO并延长，交BC于点M，过O、A作BC的垂线，垂足分别为P,Q,连接ED、DM.∵D、E分别为AC、AB中点，∴DE∥BC,且DE=21BC,∴△EDO∽△CBO∴12===OECOODBOEDBC,ABCSS△△21BCD=,且BO:BD=2：3∴ABCBCDBOCSSS△△△3132==∵△BOC与△ABC同底∴APOQ31=∴OM:AM=1：3,AO:OM=2:1=BO:OD∴△ODM∽△OBA∴DM∥AB∵D为AC中点∴M也为BC中点∴AM为BC中线,∴△ABC的三条中线交于一点O.解法5.坐标法以B为坐标原点，BC方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系.D,E，H分别为BC,AC，AB的中点.令A(m，n)，C（c,0）,则H(2m,2n),E(2cm+,2n),D(2c,0)直线BE的方程：xcmny+=直线CH的方程：）（c-x2c-mny=BE、CH交于一点O∴xcmn+=）（c-x2c-mn解得3cmx+=∴点O的坐标为（3cm+，3n）连接AQ并延长交BC于点F直线AF的方程：nm-xc-2m2ny+=）（,把y=0代入AF2cx=,0y=F(02c，)∴点H与点F重合.∴三角形的三条中线共点.解法6：向量法在△ABC中，令1e=BA，2e=BC设1eλ=BF，）（212μμeeBEBO+==∴212)1-2(eeBOABAOμμ+=+=又∵)-2(21eeADAO+==ηη∴2-2-=μμ即32μ=∴BCBFBCBAeeBO31323131313121+=+=+=即21=λ∴F是AB中点∴三角形的三条中线共点.2.2解题思路2：已知D,E，F分别为BC,AC,AB的中点连接AD,BE,CF，使之交于点O求证：点O在线段CF上解法1：向量法在△ABC中，令1e=BA，2e=BC21e21-eFC+=设）（212μeeBEBO+==μ212λλ-λeeADAO+==又∵212)1-2(eeBOABAOμμ+=+=∴λμ-1-2=，22μλ=即32==μλ∴FCeeBCOBOC323231-21=+=+=∴O在FC上∴三角形的三条中线共点.解法2.向量法在△ABC中，D,E,F分别为BC,CA,AB的中点，连接AD,BE交于点O.1e=BA,2e=BC12e-e21=+=BDABAD，)ee(2121+=BE，令BEBOλ=,21e2λe)1-2λ(+=+=BOABAO,∵AO、AD共线，∴1-2λ1-2λ21=，32λ=，∴2121e32-e31e1-2λe2λ=+=+=）（BOCBCO，CDBFCBCF32e-e2121==+=,∴CF与CO共线，O在CF上，∴AD、BE、CF交于一点，即三角形的三条中线共点.解法3.坐标法以B为坐标原点，BC方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系.D,E,F分别为BC,AC,AB的中点.令A(m，n)，C（c,0）,F(2m,2n),E(2cm+,2n),D(2c,0)直线BE的方程：xcmny+=直线CF的方程：）（c-x2c-mny=BE、CF交于一点O∴xcmn+=）（c-x2c-mn解得3cmx+=∴点O的坐标为（3cm+，3n）直线AD的方程：）（2c-xc-2m2ny=,把3cmx+=代入AD363-622m-22n)2-3m(-22nyncccmcccm=+=+=）（∴点O在直线AD上.∴三角形的三条中线共点.解法4：几何法在△ABC中D,E，F分别为BC,AC,AB的中点连接AD,BE,交于点O，∵DE为△ABC的中位线∴AB∥DE且ABDE21=∴△ABD∽△DEO且12===DEABEOBODOAO∴BEOE31=连接EF,与CF交于点P同理可得BEPE31=∴点O与点P重合即点O在CF上∴三角形的三条中线共点.2.3解题思路3：已知D,E，F分别为BC,AC,AB的中点,AD,BE,CF两两分别相交于点O,P,Q，求证：点O,P,Q三点重合解法1：几何法在△ABC中，D,E,F分别为BC,AC,AB的中点，BE与CF交于点O,AD与CF交于点P.令a=OAFS△,bSOBF=△,c=PBDS△,d=PCDS△,e=QCES△,f=QAES△,g=AOQS△,hSOBP=△,i=PQCS△,j=OPQS△,∵D,E,F分别为BC,AC,AB的中点∴a=b,c=d,e=fc+d+h=e+f+g+i+j……①a+b+g=c+d+h+i+j……②e+f+g=a+b+g+h+j……③①+②a+b=e+f+i+i+j+j②+③e+f=c+d+h+h+j+j①+③c+d=a+b+g+g+j+ja=e+i+j……④e=c+h+j……⑤c=a+g+j……⑥④+⑤+⑥0=g+h+i+j+j+j∴g=h=i=j=0∴O、P、Q三点重合.∴三角形的三条中线共点.解法2：坐标法以B为坐标原点，BC方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系.D,E，F分别为BC,AC，AB的中点.连接AD,BE,CF。令A(m，n)，C（c,0）,则F(2m,2n),E(2cm+,2n),D(2c,0)直线BE的方程：xcmny+=直线CF的方程：）（c-x2c-mny=直线AD的方程：）（2c-x2c-mny=BE、CF交于一点P∴xcmn+=）（c-x2c-mn解得3cmx+=同理BE,AD交于OAD,CF交于Q得出O（3cm+，3n）,Q（3cm+，3n）故P,Q,O三点重合∴三角形的三条中线共点.解法3.向量法在△ABC中，令1e=BA，2e=BC如图（1）设AB边上的中线为CD，取O使得CO:OD=2：1如图（2）)(31)-21(32e21212eeeeCOBCBO+=+=+=（1）设BC边上的中线为AE，取P使得AP:PE=2：1)(31)21-(2121eeBCBABABP+=+=如图（3）设AC边上的中线为BF，取Q使得BQ:QF=2：1（2）)(31)]-(21BC[323221eeBCBABFBQ+=+==∴O、P、Q三点重合.∴三角形的三条中线共点.（3）3.结论几何法是我们同学最早接触也是最为熟悉的，而向量法与坐标法也都是解析几何重要的思想方法和主要的研究工具。坐标法的特点是比较具体直接，而向量法体现了抽象与具体的完美结合。用坐标法解决问题时，关键在于建立适当的坐标系，建立坐标系的原则是使图形中尽可能多的顶点在坐标轴上，一般而言，我们都采用直角系。用向量法解决问题时，前提是会将几何命题与向量间的关系互译，关键在于选择适当的基向量，借助向量的运算，并用基向量表示其它向量。在具体问题中，选用向量法还是坐标法应具体问题具体分析，多角度思考问题有利于培养学生思维的灵活性、深刻性，提高学生的数学能力。对解析几何的研究不应该是题海战术，而应该精选题目，多角度、多层次的探究。对一道题目的深入探究往往要比对许多题目的浅尝辄止能学到得更多。一题多解的探究能使自己学会从不同角度分析问题、研究问题，领悟数学思想的精妙之处，最大限度地提高自身的思维水平，激发对数学探索的激情。本文通过探究三角形三条中线的交于一点的证法，初步知道平面几何问题的探究方法，有利于以后对于几何问题的深入思考。【参考文献】[1]吕林根，许子道，解析几何[M]，高等教育出版社，2006[2]沈文选，平面几何证明方法全书[M]，哈尔滨工业大学出版社，2005[3]郑平，对向量法与坐标法的一些认识[J],中国科技信息，2009，ه