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走向高考·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索新课标版·二轮专题复习专题九选考内容走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学专题九选考内容专题九第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学专题九第一讲几何证明选讲专题九第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学考向聚焦核心整合高频考点3课后强化作业4专题九第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学考向聚焦专题九第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学考向分析(1)考查相似三角形的判定与性质及平行截割定理；(2)考查圆幂定理及其应用．命题规律主要以大题形式考查与圆有关的定理和相似三角形．专题九第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学核心整合专题九第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学知识方法整合1．相似三角形的判定及有关性质(1)平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等．(2)平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的线段对应成比例．专题九第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学(3)经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必经过三角形第三边的中点．(4)经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线必经过梯形另一腰的中点．(5)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．专题九第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学(6)相似三角形的性质定理：相似三角形的对应角相等．相似三角形的对应边成比例．相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于相似比；相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于相似比的平方．专题九第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学(7)相似三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．专题九第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学(8)直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项．专题九第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学2．直线与圆的位置关系(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半．(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．(3)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．专题九第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学(4)圆内接四边形的性质定理与判定定理：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的外角等于它的内对角的度数．如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点在同一个圆上；如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点在同一个圆上．专题九第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学(5)切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(6)相交弦定理：圆内两条相交弦，被交点分成两条线段长度的积相等．(7)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段的比例中项．专题九第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学(8)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，两切线长相等；圆心和这点的连线平分两切线的夹角．(9)同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．(10)半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．专题九第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学(11)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．(12)从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的两个交点的两条线段长的积相等．专题九第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学疑难误区警示1．相似三角形对应角所对的边是对应边，写比例关系时，一定要注意对应．2．应用直角三角形射影定理、切割线定理时，对应的线段要找准．3．与圆有关的问题，注意通过圆心角、圆周角、弦切角、圆内接四边形的外角实现角之间的传递转化．专题九第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学高频考点专题九第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学(文)(2012·吉林省实验中学模拟)如图，BA是⊙O的直径，AD是切线，BF、BD是割线，求证：BE·BF＝BC·BD.相似三角形的判定及性质专题九第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学[解析]证法1：连接CE，过B作⊙O的切线BG，则BG∥AD，∴∠GBC＝∠FDB，又∠GBC＝∠CEB，∴∠CEB＝∠FDB.又∠CBE是△BCE和△BDF的公共角，∴△BCE∽△BDF，∴BCBF＝BEBD，即BE·BF＝BC·BD.专题九第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学证法2：连接AC、AE，∵AB是直径，AD是切线，∴AB⊥AD，AC⊥BD，∠CEB＝∠CAB.专题九第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学∵在△ABC中，∠CAB＝90°－∠CBA，在△BAD中，∠D＝90°－∠CBA，∴∠CAB＝∠D，∴∠CEB＝∠D，∴C，E，F，D四点共圆，∴BE·BF＝BC·BD.证法3：连接AC、AE，∵AB是直径，AD是切线，专题九第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学∴AB⊥AD，AC⊥BD，AE⊥BF，由射影定理有AB2＝BC·BD，AB2＝BE·BF，∴BE·BF＝BC·BD.专题九第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学[点评]三角形相似的证明方法很多，解题时应根据条件，结合图形选择恰当的方法．一般的思考程序是：先找两对内角对应相等；若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；若无角对应相等，就要证明三边对应成比例．专题九第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学(理)(2012·山西省高考联合模拟)如图，梯形ABCD内接于圆O，AD∥BC，过点C作圆O的切线，交BD的延长线于点P，交AD的延长线于点E.(1)求证：AB2＝DE·BC；(2)若BD＝9，AB＝6，BC＝9，求切线PC的长．专题九第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学[解析](1)∵AD∥BC，∴AB＝DC，∴∠EDC＝∠BCD，又PC与⊙O相切，∴∠ECD＝∠DBC.∴△CDE∽△BCD，∴CDBC＝DECD，∴CD2＝DE·BC，即AB2＝DE·BC.专题九第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学(2)由(1)知DE＝AB2BC＝629＝4，∵△PDE∽△PBC，∴PDPB＝DEBC＝49，∵PB－PD＝9，∴PD＝365，PB＝815，∴PC2＝PD·PB＝365×815＝54252，∴PC＝545.专题九第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学(2013·江苏，21A)如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC.求证：AC＝2AD.专题九第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学[解析]连接OD，因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以∠ADO＝∠ACB＝90°.又因为∠A＝∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB.所以BCOD＝ACAD.又BC＝2OC＝2OD，故AC＝2AD.专题九第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学(文)如图，圆O的直径AB＝d，P是AB延长线上一点，BP＝a，割线PCD交圆O于点C、D，过点P作AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F.与圆有关的比例线段及圆的有关性质专题九第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学(1)求证：∠PEC＝∠PDF；(2)求PE·PF的值．专题九第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学[解析](1)连接BC，易知∠ACB＝∠APE＝90°.即P、B、C、E四点共圆．∴∠PEC＝∠CBA.又A、B、C、D四点共圆，∴∠CBA＝∠PDF，∴∠PEC＝∠PDF.(2)∵∠PEC＝∠PDF，∴F、E、C、D四点共圆．∴PE·PF＝PC·PD＝PB·PA＝a(a＋d)．专题九第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学[点评](1)比例线段常由平行线产生，因而研究比例线段问题应注意平行线的作用，在没有平行线时，可以添加平行线而促成比例线段的产生．(2)利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添引辅助平行线，从而达到转移比例的目的．(3)在有关圆的问题中，若遇到比例线段，常常要考查相似三角形和圆幂定理(即切线长定理、切割线定理、相交弦定理)，寻找是否为相交弦或切割线，或有关圆周角、弦切角、圆心角的相等关系，就是主要考虑方向．专题九第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学(理)(2012·河南洛阳统考)如图，在△ABC和△ACD中，∠ACB＝∠ADC＝90°，∠BAC＝∠CAD，⊙O是以AB为直径的圆，DC的延长线与AB的延长线交于点E.(1)求证：DC是⊙O的切线；(2)若EB＝6，EC＝62，求BC的长．专题九第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学[解析](1)∵AB是⊙O的直径，∠ACB＝90°，∴点C在⊙O上．连接OC，可得∠OCA＝∠OAC＝∠DAC，∴OC∥AD.又∵AD⊥DC，∴DC⊥OC.∵OC为⊙O半径，∴DC是⊙O的切线．专题九第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学(2)∵DC是⊙O的切线，∴EC2＝EB·EA.又∵EB＝6，EC＝62，∴EA＝12，AB＝6.又∠ECB＝∠EAC，∠CEB＝∠AEC，∴△ECB∽△EAC，∴BCAC＝ECEA＝22，即AC＝2BC.又∵AC2＋BC2＝AB2＝36，∴BC＝23.专题九第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学(2013·榆林一中模拟)已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm,4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD的值为________．[答案]165专题九第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学[解析]∵Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C为直角，∴AB＝5，∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC为直角，∴BC2＝BD·AB，∴BD＝BC2AB＝165.专题九第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学圆的两条弦AB、CD交于点F，从F点引BC的平行线和直线DA的延长线交于点P，再从点P引这个圆的切线，切点是Q.求证：PF＝PQ.专题九第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学[分析]要证PF＝PQ，因为PQ为圆的切线，∴PQ2＝PA·PD，故只须证PF2＝PA·PD，观察图形及条件可以发现，PF与PA在△APF中，PF与PD在△EPD中，若能证得这两个三角形相似，则问题获解，由于两个三角形有公共角∠APF，只须再找一角相等即可．由圆的几何性质不难证得∠AFP＝∠ADF，故△APF∽△FPD.专题九第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学[证明]因为A，B，C，D四点共圆，所以∠ADF＝∠ABC.因为PF∥BC，所以∠AFP＝∠ABC，所以∠AFP＝∠ADF.又因为∠APF＝∠FPD，所以△APF∽△FPD，所以PFPA＝PDPF，所以PF2＝PA·PD.因为PQ与圆相切，所以PQ2＝PA·PD.所以PF2＝PQ2，所以PF＝PQ.专题九第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学(2013·新课标Ⅰ，22)如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.专题九第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC＝3，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．专题九第一讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学[解析](1)连接DE，交BC于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠A