【成才之路】2015-2016学年高中数学 第2章 1离散型随机变量及其分布列课件 北师大版选修2-

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·选修2-3概率第二章本章知识概述本章内容是《数学3(必修)》所学概率知识的深入和扩展，在高中数学中占有重要的地位．离散型随机变量的分布列、期望，独立事件同时发生的概率是高考的重点和热点，近几年高考中多以选择题或填空题的形式考查，但是以解答题形式综合考查这三个知识点，仍然是一大趋势．另外，正态分布的简单概率求解，逐渐在各地高考试卷中以选择题形式考查．本章的重点是：随机变量的概念的理解及其分布列、期望、方差的求解，独立事件同时发生的概率的求解；难点是：随机变量意义的理解，独立事件的判断，期望和方差在实际中的应用．学习时应注意以下几点：1．正确认识和理解随机现象，揭示其本质特点，认识分布列对于刻画随机现象的重要性．2．注意条件概率与事件的相互独立性两个概念之间的联系，并能解决一些简单问题．3．牢记取有限值的离散型随机变量的均值与方差的计算公式，并能进行简单应用．4．通过实际问题，借助直观图形，认识正态分布密度曲线的特点及曲线所表示的意义．§1离散型随机变量及其分布列第二章课堂典例探究2课时作业3课前自主预习1课前自主预习在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性．本节重点：随机变量的分布列及其性质．本节难点：随机变量的概念.1.我们将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个_________．通常用大写的英文字母如X、Y来表示．2．若随机变量的取值能够一一列举出来，则这样的随机变量称为_________________．随机变量离散型随机变量3．我们设离散型随机变量X的取值为a1、a2、…随机变量X取ai的概率为pi(i＝1,2，…)(1)，上式也可列成下表：X＝aia1a2…P(X＝ai)p1p2…我们将上表或(1)式称为离散型随机变量X的分布列．显然pi_____0，p1＋p2＋…＝_____(也称为分布列的性质)．如果随机变量X的分布列为上表或(1)式，我们称随机变量X服从这一分布(列)，并记为X～a1a2…p1p2….11.随机变量的判断(1)判断一个变量是否为随机变量，是否为离散型随机变量，关键是抓住定义，只有深刻理解定义，才能做出正确的判断．(2)判断一个变量是否为随机变量，主要是看变量的结果，结果不能确定的是随机变量，判断一个变量是否为离散型随机变量，主要是看变量的取值能否按一定顺序列举出来．2．随机变量X是和随机事件A互相对应的．随机变量X的取值a1、a2、…是和A中的随机事件A1、A2、…一一对应的；随机变量X中的每个取值a1、a2，…的概率P(X＝a1)，P(X＝a2)，…分别等于随机事件A1、A2，…所发生的概率P(A1)、P(A2)、….随机变量X不但有取值范围，而且还要有取值的概率，这是和通常的变量所不同的地方．3．函数与随机变量的区别与联系随机变量和函数一样，也是一个映射．随机变量是人为地把随机试验的结果映射为实数，这与函数概念的本质是一样的，只不过函数是把实数映射为实数．在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．所以随机变量是随机试验的结果数量化，变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件，在学习时，我们要注意随机变量与以前所学的变量的区别与联系．4．如果已知某离散型随机变量的分布列如下X12…k…910Pbab…ak－1b…a8ba9请根据上表及离散型随机变量的性质发现a和b的关系离散型随机变量的分布列有两个性质：(1)pi≥0，i＝1,2，…，n；(2)i＝1npi＝1.由性质(2)可得k＝19ak－1b＋a9＝1，则k＝19ak－1b＝1－a9⇔bk＝19ak－1＝(1－a)k＝19ak－1，所以可得b＝1－a，即a＋b＝1.再由性质(1)知各个值对应的概率应为非负实数．综上可以发现a与b必须满足：①a≥0，b≥0；②a＋b＝1.5．求离散型随机变量的分布列需要注意的问题(1)离散型随机变量的分布列的两个本质特征：pi≥0(i＝1,2,3，…，n)与i＝1npi＝1是确定分布列中参数值的依据．(2)求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率．(3)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．(4)处理有关离散型随机变量的应用问题，关键在于根据实际问题确定恰当的随机变量.1.如果ξ是一个离散型随机变量，那么下列命题中是假命题的是()A．ξ取每一个可能值的概率是正实数B．ξ取所有可能值的概率之和为1C．ξ取某两个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和D．ξ在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和[答案]D[解析]根据随机变量分布列的性质可得．2．若用随机变量X表示某足球队在5次点球中射进的球数，则X的取值为()A．1,2,3,4,5B．1,2,3,4,5，…C．0,1,2,3,4,5D．0,1,2,3,4,5，…[答案]C[解析]5次点球中可能有0次、1次、2次、3次、4次、5次射进，故X的取值为0,1,2,3,4,5.3．设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝a(13)i，i＝1,2,3，则a的值为()A．1B.913C.1113D.2713[答案]D[解析]由分布列的性质知a(13＋19＋127)＝1，∴a＝2713.4．若某运动员投篮投中率为0.8，则一次投篮投中次数X的分布列为________．[答案][解析]随机变量X的可能取值为0、1.该运动员投篮投中率为0.8，则未投中的概率为0.2.X01P0.20.85．已知随机变量Y的分布列如下：Y＝yi12345P(Y＝yi)115215x41513则x的值为________，P23Y92＝________.[答案]1523[解析]根据分布列的性质可得x＝1－115＋215＋415＋13＝15.P23Y92＝P(Y＝1)＋P(Y＝2)＋P(Y＝3)＋P(Y＝4)＝23.课堂典例探究下列变量中是离散型随机变量的是________．①某无线寻呼台1min内接到的寻呼次数X；②连续不断射击，首次命中目标需要的射击次数X；③将一个骰子掷3次，3次出现的点数之和X；④某工厂加工的某种钢管，外径与规定的外径尺寸之差X.离散型随机变量的概念[解析]判断一个变量是否是离散型随机变量，主要看变量的某些值的出现是不是确定，并且变量的取值能否按一定顺序列举出来．④中X取值为某一范围实数，无法列出为连续型随机变量．[答案]①②③[反思总结]判断一个变量是否为随机变量，是否为离散型随机变量，关键是对定义的理解，只有理解了概念，才能正确作出判断．①某座大桥一天经过的中华牌轿车的辆数为ξ；②某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为ξ；③一天内的温度为ξ；④射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用ξ表示该射手在一次射击中的得分．上述问题中的ξ是离散型随机变量的是()A．①②③④B．①②④C．①③④D．②③④[答案]B[解析]③中一天内的温度不能把其取值一一列出，是连续型随机变量，而非离散型随机变量．[反思总结]判断一个随机变量是否是离散型随机变量的依据是：随机变量的所有取值是否可以一一列举出来，如果可以就是离散型随机变量；否则就不是离散型随机变量.求离散型随机变量的可能取值小王钱夹中剩有20元、10元、5元、2元和1元人民币各一张，他决定随机抽取两张，用做晚餐，用X表示这两张金额之和，写出X的可能取值，并说明所取值表示的随机试验结果．[分析]由题目可获取以下主要信息：①给出钱夹中人民币的面值种类及数量；②随机任取2张人民币．解答本题可先根据人民币的种类及数量，再将问题转化为从{1,2,5,10,20}中随机任取2个数字求和．[解析]设X＝x＋y，且x≠y，x，y∈{1,2,5,10,20}，则X的可能取值为3、6、7、11、12、15、21、22、25、30.其中，X＝3，表示抽到的是1元和3元；X＝6，表示抽到的是1元和5元；X＝7，表示抽到的是2元和5元；X＝11，表示抽到的是1元和10元；X＝12，表示抽到的是2元和10元；X＝15，表示抽到的是5元和10元；X＝21，表示抽到的是1元和20元；X＝22，表示抽到的是2元和20元；X＝25，表示抽到的是5元和20元；X＝30，表示抽到的是10元和20元．[反思总结]具体理解X取值的实际意义，是正确解决问题的关键，这里的X值不可能出现1、2、4、5、8、9等值，这是因为小王只有5种不同面值的人民币各一张，且“随机抽取两张”而不是一张或多张．另外，逐一考虑时，可将和从小到大排列出，防止出现遗漏或重复．写出下列各随机变量的可能取值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果．(1)从一个装有编号为1到10的10个除颜色外其他均相同的球的袋中，任取1球，被取出的球的编号为X；(2)一个袋中装有除颜色外其他均相同的10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；(3)投掷两枚质地均匀的骰子，所得点数之和为X.[分析]解题的关键是弄清试验的所有可能结果．[解析](1)X的可能取值为1、2、3、…、10，X＝k(k＝1,2，…，10)表示取出编号为k的球．(2)X的可能取值为0、1、2、3、4，X＝k表示取出k个红球，4－k个白球，其中k＝0、1、2、3、4.(3)X的可能取值为2、3、4、…、12，若以(i，j)表示投掷甲、乙两枚骰子后，骰子甲得i点且骰子乙得j点，则X＝2表示(1,1)；X＝3表示(1,2)，(2,1)；X＝4表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；…；X＝12表示(6,6)．[反思总结]本题主要考查随机变量的概念，把试验所有可能出现的结果用具体的实数来刻画，关键要明确随机变量的取值范围及其所代表的意义．根据变量的取值，写出变量取每一个值时所表示的试验结果.分布列的性质设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表，求q的值.ξ－101P121－2qq2[解析]离散型随机变量的分布列满足①0≤pi≤1，i＝1,2,3，…，n.②p1＋p2＋p3＋…＋pn＝1.所以12＋1－2q＋q2＝1，0≤1－2q≤1，0≤q2≤1，解得q＝1－22.[反思总结]由随机变量分布列的两条性质求q.设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝a(13)k.(k＝1,2，…，n)，求实数a的值．[分析]由题目可获取以下主要信息：①给出随机变量ξ的分布列关系式；②求关系式中的变量a的值．解答本题可先写出k＝1,2，…，n时的关系式，再利用离散型随机变量分布列的性质p1＋p2＋p3＋…＋pn＝1求值．[解析]依题意，有P(ξ＝1)＝13a，P(ξ＝2)＝(13)2a，…，P(ξ＝n)＝(13)na，由P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋…＋P(ξ＝n)＝1知，a(13＋132＋…＋13n)＝1.则a·131－13n1－13＝1.∴a＝2×3n3n－1.随机变量的分布列袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17.现在甲，乙两人从袋中轮流摸取1个球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即为止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止时所需要的取球次数．(1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量ξ的分布列；(3)求甲取到白球的概率．[解析](1)设袋中原有n个白球，由题意知：17＝C2nC27＝nn－127×62＝nn－17×6，所以n(n－1)＝6，解得n＝3(舍去n＝－2)，即袋中原有3个白球．(2)由题意，ξ的可能取值为1,2,3,4,5.P(ξ＝1)＝37，P(ξ＝2)＝4×37×6＝27，P(ξ＝3)＝4×3×37×6×5＝635，P(ξ＝4)＝4×3×2×37×6×5×4＝335，P(ξ＝5)＝4×3×2×1×37×6×5×4×3＝135.所