【成才之路】2015-2016学年高中数学 第2章 5离散型随机变量的均值与方差课件 北师大版选修2

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·选修2-3概率第二章§5离散型随机变量的均值与方差第二章课堂典例探究2课时作业3课前自主预习1课前自主预习1.理解离散型随机变量的均值的含义．2．理解离散型随机变量的方差的含义．3．利用离散型随机变量的均值和方差解决实际问题．本节重点：离散型随机变量的均值与方差．本节难点：准确确定随机变量的分布列，求均值与方差.1.若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称E(X)＝_______________________为随机变量X的均值，它反映了离散型随机变量值的__________．x1p1＋x2p2＋…＋xnpn平均水平2．如果X是一个离散型随机变量，那么把__________叫作随机变量X的方差，记为D(X)，D(X)的算术平方根DX叫作随机变量X的________．一个随机变量的方差与标准差都反映了该随机变量的取值___________________________．其中标准差与随机变量本身有____________．E(X－EX)2标准差偏离于均值的平均程度相同的单位3．若Y＝aX＋b(a、b为常数)则E(Y)＝E(aX＋b)＝_________.4．若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝_____.5．D(aX＋b)＝_______．6．若X～B(n，p)则D(X)＝__________.aE(X)＋bnpa2D(X)np(1－p)1.随机变量均值的注意点(1)均值(期望)是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平．(2)随机变量的均值与样本的平均值既有联系又有区别．随机变量的均值是一个常数，而样本的平均值是一个随机变量，它是变化的，它依赖于所抽取的样本，但随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体均值．(3)随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位．2．随机变量函数的均值如果Y＝aX＋b(其中a、b是常数，X是随机变量)，那么Y也是随机变量．既然Y是X的线性函数，我们不由地会引发思考：Y的均值与X的均值有没有联系呢？如果有，有什么联系？现在，我们来探讨这个问题．∵P(Y＝aX＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n.∴Y与X的概率分布列为：Xx1x2…xnYax1＋bax2＋b…axn＋bPp1p2…pn于是E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pn)＝aE(X)＋b.即E(aX＋b)＝aE(X)＋b.因此，我们得到随机变量函数的均值的一个应用很广泛的性质：随机变量X的线性函数的均值等于这个随机变量均值EX的同一线性函数．即当a、b为常数时，随机变量函数Y＝aX＋b的均值E(aX＋b)＝aE(X)＋b.特别地；①当a＝0时，E(b)＝b，即常数的均值就是这个常数本身；②当a＝1时，E(X＋b)＝E(X)＋b，即随机变量X与常数之和的均值等于X的均值与这个常数的和；③当b＝0时，E(aX)＝aE(X)，即常数与随机变量X乘积的均值等于这个常数与X的均值的乘积．3．方差是随机变量另一个重要的数字特征，它表现了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散的程度，二者间的关系十分密切．4．随机变量函数的方差对于随机变量函数Y＝aX＋b(a，b是常数)而言，E(Y)＝aE(X)＋b，那么Y的方差又如何呢？我们来作进一步的探究：D(aX＋b)＝(ax1＋b－aE(X)－b)2p1＋(ax2＋b－aE(X)－b)2p2＋…＋(axn＋b－aE(X)－b)2pn＝a2[(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn]＝a2D(X)．由此，我们得到随机变量函数的方差的一个重要性质：当a、b为常数时，随机变量函数Y＝aX＋b的方差D(aX＋b)＝a2D(X)．特别地：①当a＝0时，D(b)＝0，即常数的方差等于0；②当a＝1时，D(X＋b)＝D(X)，即随机变量X与常数之和的方差等于这个随机变量X的方差的本身；③当b＝0时，D(aX)＝a2D(X)，即常数与随机变量X乘积的方差等于这个常数的平方与这个随机变量X的方差的乘积．5．求离散型随机变量的均值和方差主要有三种方法．方法一：用定义直接求出；方法二：利用常见离散型随机变量的数字特征公式求之．常见类型有(1)单点分布：E(X)＝c(c为常数)，D(X)＝0.(2)两点分布：E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．(3)二项公式：E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．方法三：随机变量分解法．将随机变量X分解成若干个随机变量Xi之和，把求E(X)转化为求E(Xi)．E(X)＝E(X1＋X2＋…＋Xn)＝E(X1)＋E(X2)＋…＋E(Xn)，若E(Xi)易于求出，则E(X)的计算就非常简便，这种处理方法称为随机变量分解法.1.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：请小牛同学计算ξ的均值，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝()A．1B．4C．3D．2t123P(ξ＝t)？！？[答案]D[解析]设？处为x，！处为y，则由分布列的性质得2x＋y＝1，∴均值E(ξ)＝1×P(ξ＝1)＋2×P(ξ＝2)＋3×P(ξ＝3)＝4x＋2y＝2.2．若随机变量X服从二项分布X～B(4，13)，则E(X)的值为()A.43B．83C.133D．89[答案]A[解析]E(X)＝4×13＝43，故选A.3．已知随机变量ξ的分布列为：P(ξ＝k)＝13，k＝1、2、3，则D(3ξ＋5)等于()A．6B．9C．3D．4[答案]A[解析]∵E(ξ)＝(1＋2＋3)×13＝2，D(ξ)＝[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]×13＝23，∴D(3ξ＋5)＝9D(ξ)＝6.故选A.4．随机变量ξ的概率分布列由下图给出：x78910P0.30.350.20.15则随机变量ξ的均值是________．[答案]8.2[解析]本小题考查随机变量的均值公式．E(ξ)＝7×0.3＋8×0.35＋9×0.2＋10×0.15＝8.2.5．设随机变量ξ服从二项分布ξ～B(6，13)，而η＝3ξ＋5，则E(η)＝________，D(η)＝________.[答案]1112[解析]E(η)＝3E(ξ)＋5＝3×6×13＋5＝11，D(η)＝32D(ξ)＝9×6×13×23＝12.课堂典例探究求离散型随机变量的均值某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是12.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令ξ表示该公司的资助总额．(1)写出ξ的分布列；(2)求均值E(ξ)．[分析]两位专家给三个方案做评审，则结果为支持的个数X可能为0,1,2,3,4,5,6.本题可视为进行6次独立重复试验，获得支持即为试验成功，则获得支持的个数X服从n＝6，p＝12的二项分布．由题意知X＝0对应ξ＝0，x＝1对应ξ＝5，x＝2对应ξ＝10，x＝3对应ξ＝15，X＝4对应ξ＝20，X＝5对应ξ＝25，X＝6对应ξ＝30.[解析](1)ξ的可能取值为0、5、10、15、20、25、30.P(ξ＝0)＝P(X＝0)＝C06(12)0(12)6－0＝164，P(ξ＝5)＝P(X＝1)＝C16(12)6＝332，P(ξ＝10)＝P(X＝2)＝C26(12)6＝1564，P(ξ＝15)＝P(X＝3)＝C36(12)6＝516，P(ξ＝20)＝P(X＝4)＝C46(12)6＝1564，P(ξ＝25)＝P(X＝5)＝C56(12)6＝332，P(ξ＝30)＝P(X＝6)＝C66(12)6＝164.该公司的资助总额ξ的分布列为ξ051015202530P16433215645161564332164(2)E(ξ)＝0×164＋5×332＋10×1564＋15×516＋20×1564＋25×332＋30×164＝15.[反思总结]求离散型随机变量X的均值的步骤：(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；(2)求X取每个值的概率；(3)写出X的分布列(有时可以略)；(4)由均值的定义求E(X)．甲、乙两人都独立地破译某个密码，甲破译出该密码的概率是23，乙破译出该密码的概率是45，设破译出该密码的人数为X，求其均值．[解析]设A、B分别为甲、乙破译出该密码的事件，X可能的取值是0、1、2.P(X＝0)＝P(A·B)＝P(A)×P(B)＝(1－23)×(1－45)＝115；P(X＝1)＝P(A·B)＋P(A·B)＝(1－45)×23＋(1－23)×45＝25；P(X＝2)＝P(A)×P(B)＝23×45＝815.∴X的分布列为：X012P11525815因为E(X)＝0×115＋1×25＋2×815＝2215.超几何分布的均值和方差设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取一个，并且取出不再放回，若以X和Y分别表示取出次品和正品的个数．(1)求X的分布列、均值及方差；(2)求Y的分布列、均值及方差．[分析]本题考查离散型随机变量的均值与方差．X的取值应是0,1,2，第(2)问求Y分布列及均值，可充分利用X与Y的关系Y＋X＝3来解．同时注意本题的抽取是“不放回抽取”．[解析](1)X的可能值为0,1,2.若X＝0，表示没有取出次品，其概率为P(X＝0)＝C02C310C312＝611，同理，有P(X＝1)＝C12C210C312＝922，P(X＝2)＝C22C110C312＝122.∴X的分布列为X012P611922122∴E(X)＝0×611＋1×922＋2×122＝12.D(X)＝(0－12)2×611＋(1－12)2×922＋(2－12)2×122＝322＋988＋988＝1544.(2)Y的可能值为1,2,3，显然X＋Y＝3.P(Y＝1)＝P(X＝2)＝122，P(Y＝2)＝P(X＝1)＝922，P(Y＝3)＝P(X＝0)＝611.∴Y的分布列为Y123P122922611E(Y)＝E(3－X)＝3－E(X)＝3－12＝52.∵Y＝－X＋3，∴D(Y)＝(－1)2D(X)＝1544.[反思总结]解答本题应注意两点：一是该抽取为不放回抽取，二是对X＋Y＝3的充分利用．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则均值E(ξ)＝________(结果用最简分数表示)[分析]可以将“从7名学生中选出2名志愿者”看作“从7件产品中抽取2件产品”，将“选出的志愿者中女生的人数”看作“任取2件产品中的次品数”，则随机变量ξ服从超几何分布．[答案]47[解析]方法一：由题意知随机变量ξ服从参数为N＝7，M＝2，n＝2的超几何分布．ξ的可能取值为0,1,2，因此P(ξ＝0)＝C25C27＝1021，P(ξ＝1)＝C12C15C27＝1021，P(ξ＝2)＝C22C27＝121，故ξ的分布列为ξ＝k012P(ξ＝k)10211021121从而均值E(ξ)＝0×1021＋1×1021＋2×121＝47.方法二：随机变量ξ服从参数为N＝7，M＝2，n＝2的超几何分布，直接代入超几何分布的计算公式可得E(ξ)＝nMN＝2×27＝47.[反思总结]本题说明E(X)＝nMN在直观上也是明显的：N件产品中有M(M≤N)件次品，从中任取1件产品，易知平均取到MN件次品；若从中任取n件产品，则平均取到nMN件次品.二项分布的均值与方差某队共3人参加知识竞赛，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设该队中每人答对的概率均为23，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示该队的总得分．求随机变量ξ的均值和方差．[分析]我们将每人回答问题看成做了一次试验，则一共有3次试验