2018年高考数学一轮复习专题08指数与指数函数教学案文!

-1-专题08指数与指数函数1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图象；4.体会指数函数是一类重要的函数模型．1．根式的性质(1)(na)n＝a.(2)当n为奇数时nan＝a.当n为偶数时nan＝{aa－aa.2．有理数指数幂(1)幂的有关概念①正整数指数幂：an＝a·a·…·an个(n∈N*)．②零指数幂：a0＝1(a≠0)．③负整数指数幂：a－p＝1ap(a≠0，p∈N*)．④正分数指数幂：amn＝nam(a0，m、n∈N*，且n1)．⑤负分数指数幂：a－mn＝1amn＝1nam(a0，m、n∈N*，且n1)．⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的性质①aras＝ar＋s(a0，r、s∈Q)；②(ar)s＝ars(a0，r、s∈Q)；③(ab)r＝arbr(a0，b0，r∈Q)．-2-3．指数函数的图象与性质y＝axa10a1图象定义域(1)R值域(2)(0，＋∞)性质(3)过定点(0,1)(4)当x0时，y1；x0时，0y1(5)当x0时，0y1；x0时，y1(6)在(－∞，＋∞)上是增函数(7)在(－∞，＋∞)上是减函数高频考点一指数幂的运算例1、化简：(1)a3b23ab214b1213b13(a0，b0)；(2)21103227()0.00210(52)(23).8－－＋－－＋－-3-【感悟提升】(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．【方法规律】(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．【变式探究】(1)[(0.06415)－2.5]23－3338－π0＝_______________________________.(2)(14)12·4ab－1－－12＝________.【答案】(1)0(2)85高频考点二指数函数的图象及应用例2、(1)函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是()-4-(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．【解析】(1)f(x)＝1－e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，又e|x|≥1，∴f(x)的值域为(－∞，0]，因此排除B、C、D，只有A满足．(2)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可知：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1]．【答案】(1)A(2)[－1，1]【方法规律】(1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．【变式探究】(1)定义运算a⊕b＝a，a≤b，b，ab，则函数f(x)＝1⊕2x的图象是()(2)方程2x＝2－x的解的个数是________．-5-【答案】(1)A(2)1高频考点三指数函数的图象和性质例3、(1)下列各式比较大小正确的是()A．1.72.51.73B．0.6－10.62C．0.8－0.11.250.2D．1.70.30.93.1(2)设a＝3525，b＝2535，c＝2525，则a，b，c的大小关系是________．【答案】(1)B(2)acbD中，∵1.70.31,00.93.11，∴1.70.30.93.1，错误．故选B.-6-(2)∵y＝25x为减函数，∴25352525即bc，又ac＝35252525＝3225320＝1，∴ac，故acb.【变式探究】设函数f(x)＝12x－7，x0，x，x≥0，若f(a)1，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－3)B．(1，＋∞)C．(－3,1)D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)【答案】C【解析】当a0时，不等式f(a)1可化为12a－71，即12a8，即12a12－3，因为0121，所以a－3，此时－3a0；当a≥0时，不等式f(a)1可化为a1，所以0≤a1.故a的取值范围是(－3,1)，故选C.高频考点四、和指数函数有关的复合函数的性质例4、设函数f(x)＝kax－a－x(a0且a≠1)是定义域为R的奇函数．(1)若f(1)0，试求不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)0的解集；(2)若f(1)＝32，且g(x)＝a2x＋a－2x－4f(x)，求g(x)在[1，＋∞)上的最小值．解因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，所以k－1＝0，即k＝1，f(x)＝ax－a－x.(1)因为f(1)0，所以a－1a0，又a0且a≠1，所以a1.因为f′(x)＝axlna＋a－xlna＝(ax＋a－x)lna0，所以f(x)在R上为增函数，原不等式可化为f(x2＋2x)f(4－x)，所以x2＋2x4－x，即x2＋3x－40，所以x1或x－4.-7-即g(x)在x＝log2(1＋2)时取得最小值－2.【感悟提升】指数函数的性质及应用问题解题策略(1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法．(2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论．【变式探究】(1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．(2)如果函数y＝a2x＋2ax－1(a0，a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a的值为()A.13B．1C．3D.13或3【答案】(1)(－∞，4](2)D-8-当0a1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈[a，1a]，又函数y＝(t＋1)2－2在[a，1a]上单调递增，则ymax＝(1a＋1)2－2＝14，解得a＝13(负值舍去)．综上知a＝3或a＝13.高频考点五、换元法在和指数函数有关的复合函数中的应用例5、(1)函数y＝14x－12x＋1在区间[－3,2]上的值域是________．(2)函数f(x)＝12221－＋＋xx的单调减区间为________________________________．【解析】(1)因为x∈[－3,2]，所以若令t＝12x，则t∈14，8，故y＝t2－t＋1＝t－122＋34.当t＝12时，ymin＝34；当t＝8时，ymax＝57.故所求函数值域为34，57.-9-【答案】(1)34，57(2)(－∞，1]【特别提醒】(1)解决和指数函数有关的复合函数的单调性或值域问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利用换元法转化为基本初等函数的单调性或值域问题；(2)换元过程中要注意“元”的取值范围的变化．【方法与技巧】1．通过指数函数图象比较底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值，再进行比较．2．指数函数y＝ax(a0，a≠1)的性质和a的取值有关，一定要分清a1与0a1.3．对与复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成．1.【2016高考新课标3理数】已知432a，254b，1325c，则（）（A）bac（B）abc（C）bca（D）cab【答案】A【解析】因为422335244ab，1223332554ca，所以bac，故选A．【2015高考天津，理7】已知定义在R上的函数21xmfx（m为实数）为偶函数，记0.52(log3),log5,2afbfcfm，则,,abc的大小关系为()（A）abc（B）acb（C）cab（D）cba【答案】C【解析】因为函数21xmfx为偶函数，所以0m，即21xfx，所以-10-221loglog330.521(log3)log2121312,3aff2log502log5214,2(0)210bfcfmf所以cab，故选C.【2015高考山东，理10】设函数31,1,2,1xxxfxx则满足2faffa的a取值范围是（）（A）2,13（B）0,1（C）2,3（D）1,【答案】C（2014·福建卷）若函数y＝logax(a0，且a≠1)的图像如图1­1所示，则下列函数图像正确的是()图1­1ABCD-11-【答案】B（2014·江西卷）已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R)．若f[g(1)]＝1，则a＝()A．1B．2C．3D．－1【答案】A【解析】g(1)＝a－1，由f[g(1)]＝1，得5|a－1|＝1，所以|a－1|＝0，故a＝1.（2014·辽宁卷）已知a＝2－13，b＝log213，c＝log1213，则()A．abcB．acbC．cabD．cba【答案】C【解析】因为0a＝2－131，b＝log2130，c＝log1213log1212＝1，所以cab.（2014·山东卷）设集合A＝{x||x－1|＜2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0，2]}，则A∩B＝()A．[0，2]B．(1，3)C．[1，3)D．(1，4)【答案】C【解析】根据已知得，集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{y|1≤y≤4}，所以A∩B＝{x|1≤x＜3}．故选C.（2014·山东卷）已知实数x，y满足ax＜ay(0＜a＜1)，则下列关系式恒成立的是()A.1x2＋1＞1y2＋1B.ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)C.sinx＞sinyD.x3＞y3【答案】D【解析】因为ax＜ay(0＜a＜1)，所以x＞y，所以sinx＞siny，ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)，1x2＋1＞1y2＋1都不一定正确，故选D.（2014·陕西卷）下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)·f(y)”的单调递增函数是()A．f(x)＝x12B．f(x)＝x3-12-C．f(x)＝12xD．f(x)＝3x【答案】B（2014·陕西卷）已知4a＝2，lgx＝a，则x＝________．【答案】10【解析】由4a＝2，得a＝12，代入lgx＝a，得lgx＝12，那么x＝1012＝10.（2013·安徽卷）已知一元二次不等式f(x)0的解集为x)x－1或x12，则f(10x)0的解集为()A．{x|x－1或x－lg2}B．{x|－1x－lg2}C．{x|x－lg2}D．{x|x－lg2}【答案】D【解析】根据已知可得不等式f(x)0的解是－1x12，故－110x12，解得x－lg2.（2013·湖南卷）设函数