2018年高考数学二轮专题复习训练： 三角函数、解三角形、平面向量

专题二三角函数、解三角形、平面向量第一讲三角函数的图象与性质考点一三角函数的概念、诱导公式及基本关系一、基础知识要记牢(1)三角函数的定义：若角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx.(2)诱导公式：注意“奇变偶不变，符号看象限”．(3)基本关系：平方关系：sin2x＋cos2x＝1，商数关系：tanx＝sinxcosx.(4)单位圆、三角函数线是根本，抓纲务本，就能驾简驭繁．二、经典例题领悟好[例1](1)(2017·绍兴模拟)已知点Psin3π4，cos3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为()A.π4B.3π4C.5π4D.7π4(2)如图，以Ox为始边作角α(0απ)，终边与单位圆相交于点P，已知点P的坐标为－35，45，则sin2α＋cos2α＋11＋tanα＝________.[解析](1)tanθ＝cos3π4sin3π4＝－cosπ4sinπ4＝－1，又sin3π40，cos3π40，所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝7π4.(2)由三角函数定义，得cosα＝－35，∴原式＝2sinαcosα＋2cos2α1＋sinαcosα＝2cosαsinα＋cosαsinα＋cosαcosα＝2cos2α＝2×－352＝1825.[答案](1)D(2)18251涉及与圆及角有关的函数建模问题如钟表、摩天轮、水车等，常常借助三角函数的定义求解.应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关.2应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数关系化简的过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.三、预测押题不能少1．(1)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cosπ2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sinα的值是()A.355B.377C.31010D.13解析：选C由已知可得－2tanα＋3sinβ＋5＝0，tanα－6sinβ＝1，解得tanα＝3，又α为锐角，故sinα＝31010.(2)已知A是单位圆上的点，且点A在第二象限，点B是此圆与x轴正半轴的交点，记∠AOB＝α.若点A的纵坐标为35，则sinα＝________，tan2α＝________.解析：由点A的纵坐标为35及点A在第二象限，得点A的横坐标为－45，所以sinα＝35，cosα＝－45，tanα＝－34.故tan2α＝2tanα1－tan2α＝－247.答案：35－247考点二三角函数的图象与解析式一、基础知识要记牢函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(1)“五点法”作图：设z＝ωx＋φ，令z＝0，π2，π，3π2，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．(2)图象变换：y＝sinx――――――――→向左φ0或向右φ0平移|φ|个单位y＝sin(x＋φ)―――――――――――→纵坐标变为原来的AA0倍横坐标不变y＝Asin(ωx＋φ)．二、经典例题领悟好[例2](1)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0,0φπ)的部分图象如图所示，且f(α)＝1，α∈0，π3，则cos2α＋5π6＝()A．－223B.223C．±223D.13(2)(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin2x＋2π3，则下面结论正确的是()A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2[解析](1)由三角函数的图象可得A＝3，T4＝7π12－π3＝π4，所以T＝π＝2πω，所以ω＝2，又fπ3＝3sin2π3＋φ＝－3,0φπ，则φ＝5π6，所以f(x)＝3sin2x＋5π6.因为f(α)＝3sin2α＋5π6＝1，所以sin2α＋5π6＝13.又α∈0，π3，所以2α＋5π6∈5π6，3π2，则cos2α＋5π6＝－223，故选A.(2)易知C1：y＝cosx＝sinx＋π2，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin2x＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y＝sin2x＋π12＋π2＝sin2x＋2π3的图象，即曲线C2.[答案](1)A(2)D(1)在利用图象求三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关参数时，注意直接从图中观察振幅、周期，即可求出A，ω，然后根据图象过某一特殊点来求φ，若是利用零点值来求，则要注意是ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，根据点在单调区间上的关系来确定一个k的值，此时要利用数形结合，否则就易步入命题人所设置的陷阱．(2)作三角函数图象左右平移变换时，平移的单位数是指单个变量x的变化量，因此由y＝sinωx(ω0)的图象得到y＝sin(ωx＋φ)的图象时，应将图象上所有点向左(φ0)或向右(φ0)平移|φ|ω个单位，而非|φ|个单位.三、预测押题不能少2．(1)已知函数f(x)＝2sin(π＋x)sinx＋π3＋φ的图象关于原点对称，其中φ∈(0，π)，则函数g(x)＝cos(2x－φ)的图象()A．关于点π12，0对称B．可由函数f(x)的图象向右平移π3个单位得到C．可由函数f(x)的图象向左平移π6个单位得到D．可由函数f(－x)的图象向右平移π12个单位得到解析：选B由已知得函数f(x)为奇函数，令f(x)＝2h(x)·k(x)，∵h(x)＝sin(π＋x)为奇函数，∴k(x)＝sinx＋π3＋φ为偶函数，∴π3＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)，φ＝π6＋kπ(k∈Z)，则由φ∈(0，π)得φ＝π6，∴f(x)＝－sin2x，g(x)＝cos2x－π6＝－sin2x－π2－π6＝－sin2x－π3，则将函数f(x)的图象向右平移π3个单位可得函数g(x)的图象，故选B.(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π2)的部分图象如图所示，则将y＝f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到的函数图象的解析式为()A．y＝sin2xB．y＝sin2x＋2π3C．y＝sin2x－π6D．y＝cos2x解析：选C由图易得A＝1，34T＝34×2πω＝11π12－π6，解得ω＝2，又因为点π6，1在函数图象上，即fπ6＝sin2×π6＋φ＝1，则2×π6＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，解得φ＝π6＋2kπ，k∈Z，又因为|φ|π2，所以φ＝π6，f(x)＝sin2x＋π6，则其图象向右平移π6个单位后得到函数y＝sin2x－π6＋π6＝sin2x－π6的图象，故选C.考点三三角函数的图象与性质一、基础知识要记牢(1)三角函数的单调区间：y＝sinx的单调递增区间是2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)，单调递减区间是2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)；y＝cosx的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；y＝tanx的递增区间是kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)．(2)y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当y＝kπ＋π2(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)求得．二、经典例题领悟好[例3](2017·浙江高考)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－23sinxcosx(x∈R)．(1)求f2π3的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．[解](1)由题意，f(x)＝－cos2x－3sin2x＝－232sin2x＋12cos2x＝－2sin2x＋π6，故f2π3＝－2sin4π3＋π6＝－2sin3π2＝2.(2)由(1)知f(x)＝－2sin2x＋π6.则f(x)的最小正周期是π.由正弦函数的性质令π2＋2kπ≤2x＋π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，解得π6＋kπ≤x≤2π3＋kπ，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间是π6＋kπ，2π3＋kπ(k∈Z)．求解三角函数的奇偶性、对称性、周期、最值和单调区间等问题时，通常要运用各种三角函数公式，通过恒等变换(降幂、辅助角公式应用)将其解析式化为y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A0，ω≠0)的形式，再研究其各种性质．有关常用结论与技巧：(1)我们往往运用整体换元法来求解单调性与对称性，求y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A0，ω≠0)的单调区间时一定要注意ω的取值情况，若ω0，则最好用诱导公式将其转化为－ω0后再去求解，否则极易出错．(2)对y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A0，ω≠0)结合函数图象可观察出如下几点：①函数图象的对称轴都经过函数的最值点，对称中心的横坐标都是函数的零点；②相邻两对称轴(对称中心)间的距离都是半个周期；③图象上相邻两个最大(小)值点之间的距离恰好等于一个周期.三、预测押题不能少3．已知函数f(x)＝3sinxcosx＋cos2x＋a.(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2)若f(x)在区间－π6，π3上的最大值与最小值的和为32，求a的值．解：(1)因为f(x)＝32sin2x＋1＋cos2x2＋a＝sin2x＋π6＋a＋12，所以T＝π.由π2＋2kπ≤2x＋π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，得π6＋kπ≤x≤2π3＋kπ，k∈Z.故函数f(x)的单调递减区间是π6＋kπ，2π3＋kπ(k∈Z)．(2)因为－π6≤x≤π3，所以－π6≤2x＋π6≤5π6，－12≤sin2x＋π6≤1.因为函数f(x)在－π6，π3上的最大值与最小值的和为1＋a＋12＋－12＋a＋12＝32，所以a＝0.[知能专练(六)]一、选择题1．(2017·山东高考)函数y＝3sin2x＋cos2x的最小正周期为()A.π2B.2π3C．πD．2π解析：选C∵y＝3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π6，∴最小正周期T＝2π2＝π.2．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝cosx＋π3，则下列结论错误的是()A．f(x)的一个周期为－2πB．y＝f(x)的图象关于直线x＝8π3对称C．f(x＋π)的一个零点为x＝π6D．f(x)在π2，π单调递减解析：选D根据函数解析式可知函数f(x)的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A正确；当x＝8π3时，x＋π3＝3π，所以cosx＋π3＝－1，所以B正确；f(x＋π)＝cosx＋π＋π3＝cosx＋4π3，当x＝π6时，x＋4π3＝3π2，所以f(x＋π)＝0，所以C正确；函数f(x)＝cosx＋π3在π2，2π3上单调递减，在2π3，π上单调递增，故D错误．3．(2017·全国卷Ⅰ)函数y＝sin2x1－cosx的部分图象大致为()解析：选C令函数f(x)＝sin2x1－cosx，其定义域为{x|x≠2kπ，k∈Z}，又f(－x)＝sin－2x1－cos－x＝－sin2x1－cosx＝－f(x)，所以f(x)