概率论与数理统计(浙大版)第三章课件

第三章多维随机变量及其分布关键词：二维随机变量分布函数分布律概率密度边缘分布函数边缘分布律边缘概率密度条件分布函数条件分布律条件概率密度随机变量的独立性Z=X+Y的概率密度M=max(X,Y)的概率密度N=min(X,Y)的概率密度§1二维随机变量问题的提出例1：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身高H的分布或仅研究体重W的分布是不够的。需要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一样本空间的两个随机变量。例2：研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹的弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定，而它们是定义在同一样本空间的两个随机变量。定义：设E是一个随机试验，样本空间S={e}；设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，由它们构成的向量(X,Y)叫做二维随机向量或二维随机变量。(,)()()(,)FxyPXxYyPXxYy记成0x,xyySey,XeYex定义：设(X,Y)是二维随机变量对于任意实数x,y，二元函数称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。几何意义(X,Y)平面上随机点的坐标},{),(yYxXPyxF即为随机点(X,Y)落在以点(x,y)为顶点,位于该点左下方的无穷矩形区域G内的概率值。),(yxF),(分布函数的性质1212(,)(,)xxFxyFxyx1x2(x1,y)(x2,y)yy2xy1(x,y1)(x,y2)(,)Fxy1212(,)(,)yyFxyFxy20(,)1(,)1,FxyFxy，对任意(,)(,)(,)0FyFxF1,,Fxyxy。关于单调不减，即：0(,)(,)limFxyFxy0(,)(,)limFxyFxy12124,xxyy若22211211(,)(,)(,)(,)0FxyFxyFxyFxy3,,Fxyxy。关于右连续，即：121222211211,(,)(,)(,)(,)0PxXxyYyFxyFxyFxyFxy因为1x2x1y2y02.二维离散型随机变量的联合分布,,,,21mxxxX的可能值为设,,,,21nyyyY的可能值为中心问题：(X,Y)取这些可能值的概率分别为多少？定义若二维r.v.（X，Y）所有可能的取值是有限对或无限可列对，则称（X，Y）是二维离散型随机变量。),,(),(jiyxYX的可能值为,,,2,1;,,,2,1njmi则的性质：ijpijjijipyYxXPyxp),(),((1)公式法二维（X，Y）的联合分布律:1)2(10)1(ijijijpp),2,1,(ji(2)表格法232221131211pppppp321yyyXY21xx(X,Y)的概率分布表：描述(X,Y)的取值规律GyxijjipGYXP),()),((例1：将一枚硬币连掷三次，令X=“正面出现的次数”，Y=“正反面次数之差的绝对值”，试求(X,Y)的联合分布律。（0,3）（1,1）（2,1）（3,3）P(X=0,Y=3)=P(反反反)=1/8解:(X,Y)所有可能的取值为：0123103/83/8031/8001/8XY例2:设随机变量X在1,2,3,4中随机地取一个数,另一随机变量Y在1到X中随机地取一整数.求(X,Y)的分布律。分析(X,Y)所有可能的取值为：(1,1);(2,1)、(2,2);(3,1)、(3,2)、(3,3);(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4).),(jYiXPijiji,0,1414,3,2,1,ii.,,1,ijj解：设X可能的取值为Y可能的取值为则：)()(iXjYPiXP123411/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/16(X,Y)的联合分布律为:XY二维连续型随机变量,,,,,(,)(,)yxXYFxyfxyxyFxyfuvdudv对于二维随机变量的分布函数如果存在非负函数，使对于任意，有定义：,XY连续型的二维称为随机变量,,fxyXY二维随机变量的联合称为概率密度说明1),()(dxdyyxfii(2)的性质(,)fxy0),()(yxfi(1)分布函数是连续函数.(因为是积分上限函数)),(yxF),(yxF),(yxf反映(X,Y)落在处附近的概率大小),(yxyxyxfyyYyxxXxP),(),(概率微分的关系与)()()3(xfxF),(),(yxFyxfxyxydxdyyxfyxF),(),(GdxdyyxfGYXP),()),((:),()4(的作用yxf描述(X,Y)的取值规律G(,)1((,))(,)zfxyxoyPXYGzfxy1在几何上，表示空间一个曲面，介于它和平面的空间区域的体积为2等于以G为底，以曲面为顶面的柱体体积。所以X,Y落在面积为零的区域注：的概率为零。1xy0例3：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度：(23),00(,)0,xykexyfxy，其他2(,)Fxy求分布函数；3()PYX求的概率(1)k求常数；(,)1,fxydxdy－－解：(1)利用得230061xykedxedyk6kyx(23)6,00(,)0,xyexyfxy，其他2(,)(,)yxFxyfuvdudv(23)03()6xyyPYXedxdy(23)006,0,00,yxuvedudvxy其他230023,0,00,xyuveduedvxy其他23(1)(1),0,00,xyeexy其他3203(|)yxyeedy3203yyeedy503yedy5033|55ye例4：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度(1)求常数k；(2)求概率解：,01(,)0,kxyxyfxy其他1(,)1fxydxdy利用1(,)fxydxdy得：2(1)PXY(1)PXY100ykxydxdy13028kkydy8k11208xxdxxydy122204[(1)]xxxdx1201114(12)236xxdx1xyyx0§2边缘分布二维随机变量(X,Y)作为整体，有分布函数其中X和Y都是随机变量，它们的分布函数记为：称为边缘分布函数。(,),Fxy()()XYFxFy，，()(,)()(,)XYFxFxFyFy()()(,)YFyPYyFy同理得：()()(,)(,)XFxPXxPXxYFx(,)()XFxyyFx即在分布函数中令，就能得到事实上，对于离散型随机变量(X,Y)，分布律为(),1,2,ijijPXxYypij，，1()()1,2,iiijijPXxPXxYppi记为，==1()()1,2,jjijjiPYyPXYyppj记为，==iiijjijpppjppi记号中表示是由关于求和后得到的；同样是由关于求和后得到的；…………………………p11…p12p1j…p1·1xp21…p22p2j…p2·2xpi1…pi2pij…pi·ixXYy1y2…yj…iPXxp·1p·2p.j……1jPYyX,Y的边缘分布律为：注意：我们常在表格上直接求边缘分布律232221131211ppppppjpXY321yyy321ppp11x2x1p2pip11jjp12jjp11iip13iip例:求例1中二维随机变量(X,Y)关于X与Y的边缘分布律.0123103/83/8031/8001/8jp..ipXY8186821838381X与Y的边缘分布律如下:0123jp..ipX818383818286Y13实际应用例子XY535251515051535350515150505253535352525252525353515151515153555452525251515355555251505051515353505151505153555552515151525253535351505251525455000052525253000051525252000051515152000052525152000053535253000052535354000053535252000054545352000054535252上页下页返回对于连续型随机变量(X,Y)，概率密度为(,)fxy()(,)()(,)XYfxfxydyfyfxydx()XFx(,)Fx(,)xftydydt()xXftdt()YFy(,)Fy(,)yfxtdxdt()yYftdt事实上，同理：X,Y的边缘概率密度为：例2：(X,Y)的联合分布律为求：(1)a,b的值；(2)X,Y的边缘分布律；(3)(1|1)PXYYX-1100.20.1a120.10.2b(1|1)0.5PYX已知：0.2(1|1)0.3aPYX又X10.420.6ipjpY0.30.5-1100.223(1|1)0.45PXY0.210.3a2a0.1b=0.3，(2)解：(1)由分布律性质知a+b+0.6=1即a+b=0.4例3：设G是平面上的有界区域，其面积为A，若二维随机变量(X,Y)具有概率密度则称(X,Y)在G上服从均匀分布。现设(X,Y)在有界区域上均匀分布，其概率密度为求边缘概率密度解：1,(,)(,)0,AxyGfxy其他2xyx26,(,)0,xyxfxy其他()()XYfxfy，()(,)Xfxfxydy2266(),010,xxdyxxx其他()(,)Yfyfxydx66(),010,yydxyyy其他212221122222121212121241(,)21()()()()1exp22(1),0011,fxyxxyyXXYyYx例：设二维随机变量的概率密度为：其中，，，，都是常数，且，，；，我们称为服从参121222(,)(;;)1212XYN数为，，，，的二维正态分布，记为：；试求二维正态随机变量的边，，缘概率密度。二维正态分布的图形2211222222121212()(,)()()()()11exp22(1)21Xfxfxydyxxyydy解：2212122211()122(1)212121xyxeedy221221222112()1()22(1)21211221xyxeedy2121()2112xex2222()221(),2xYfyey同理即二维正态分布的两个边缘分