二阶微分方程及其模型

二阶微分方程一、可降阶的二阶微分方程二、二阶线性微分方程三、几个典型模型一、几种可降阶的二阶方程),,(yyxfy设),()()1(yyxfy方程的右端不显含,)(dxxfdxyy.])([21CdxCdxxfdxyy.1xxey解方程例1Cexedxxeyxxx解：.)(211CxCeexeCexeyxxxxx)(),()2(yyxfy方程右端不显含).,(,),(pxfdxdpdxdpyxpy得令.),(),,(11dxCxpdxdxyyCxp则设解为.12xxeyxy解方程例（一解线性方程）解：令xxepxdxdppy1,,][1111xCxedxCdxexeepyxdxxxdxx.2)1(][2211CxCexdxxCxeyxx)(),()3(xyyfy方程右端不显含,),(dydppdxdydydpyypy则令),,(pyfdydpp得：.),(1),,(211CdyCyyCypdxdy则设解为的解。求初值问题例2)0(,1)0(,33yyyy,3,),(ydydppdydppyypy原方程化为则解：令1232221,3Cypdyypdp,02)0(,1)0(1Cyy由,243ypy号。取由,02)0(y,243yy,24,224143Cxydxdyy,41)0(2Cy由.)21(4xy二阶线性微分方程)()()(22xfyxQdxdyxPdxyd时，当0)(xf线性齐次微分方程时，当0)(xf线性非齐次微分方程n阶线性微分方程).()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn)()(xfyxPdxdy一阶线性微分方程二、二阶线性微分方程二阶齐次方程解的结构:定理1如果函数)(1xy与)(2xy是方程(1)的两个解,那末2211yCyCy也是(1)的解.（21,CC是常数）问题:一定是通解吗？2211yCyCy)1(0)()(yxQyxPy1.解的基本性质定义：设nyyy,,,21为定义在区间I内的n个函数．如果存在n个不全为零的常数，使得当x在该区间内有恒等式成立02211nnykykyk，那么称这n个函数在区间I内线性相关．否则称线性无关例如xx22sin,cos1，xxxeee2,，线性无关线性相关时，当),(x特别地:若在I上有常数，)()(21xyxy则函数)(1xy与)(2xy在I上线性无关.定理2：如果)(1xy与)(2xy是方程(1)的两个线性无关的特解,那么2211yCyCy就是方程(1)的通解.例如,0yy,sin,cos21xyxy,tan12常数且xyy.sincos21xCxCy2.二阶非齐次线性方程的解的结构:定理3设*y是二阶非齐次线性方程)2()()()(xfyxQyxPy的一个特解,Y是与(2)对应的齐次方程(1)的通解,那么*yYy是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解.2.二阶常系数齐次线性方程解法-----特征方程,rxey设将其代入上方程,得0)(2rxeqprr,0rxe故有02qprr特征方程,2422,1qppr特征根0qyypy1）有两个不相等的实根,2421qppr,2422qppr,11xrey,22xrey两个线性无关的特解得齐次方程的通解为;2121xrxreCeCy)0(特征根为特征方程法:由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解.2）有两个相等的实根,11xrey,221prr)0(一特解为得齐次方程的通解为;)(121xrexCCy代入原方程并化简，，，将222yyy,0)()2(1211uqprrupru,0u知,)(xxu取,12xrxey则,)(12xrexuy设另一特解为特征根为3）有一对共轭复根,1jr,2jr,)(1xjey,)(2xjey)0(重新组合)(21211yyy,cosxex)(21212yyjy,sinxex得齐次方程的通解为).sincos(21xCxCeyx特征根为.044的通解求方程yyy解特征方程为,0442rr解得,221rr故所求通解为.)(221xexCCy例1.052的通解求方程yyy解特征方程为,0522rr解得,2121jr，故所求通解为).2sin2cos(21xCxCeyx例2)(xfqyypy类型（一）对应齐次方程,0qyypy通解结构,yYy常见类型),(xPm,)(xmexP,cos)(xexPxm,sin)(xexPxm难点：如何求特解？方法：待定系数法.)()(xPexfmx3.二阶常系数非其次线性微分方程设非齐方程特解为xexQy)(代入原方程)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm不是特征方程的根，若)1(,02qp),()(xQxQm可设是特征方程的单根，若)2(,02qp,02p),()(xxQxQm可设;)(xmexQy;)(xmexxQy是特征方程的重根，若)3(,02qp,02p),()(2xQxxQm可设综上讨论,)(xQexymxk设是重根是单根不是根2,10k注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）..)(2xmexQxy特别地xAeqyypy是特征方程的重根是特征方程的单根不是特征方程的根xxxexAxepAeqpAy222,2,.232的通解求方程xxeyyy解对应齐次方程通解特征方程,0232rr特征根，，2121rr,221xxececY是单根，2,)(2xeBAxxy设代入方程,得xABAx22,121BAxexxy2)121(于是原方程通解为.)121(2221xxxexxeCeCy例1型]sin)(cos)([)(xxPxxPexfnlx]sincos[)(xPxPexfnlx]22[jeePeePexjxjnxjxjlxxjnlxjnlejPPejPP)()()22()22(,)()()()(xjxjexPexP,)()(xjexPqyypy设,)(1xjmkeQxy利用欧拉公式类型（二）,)()(xjexPqyypy设,)(1xjmkeQxy][xjmxjmxkeQeQexy],sin)(cos)([)2()1(xxRxxRexmmxk次多项式，是其中mxRxRmm)(),()2()1(nlm,max,10是单根不是根jjk注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程..sin4的通解求方程xyy解对应齐方通解,sincos21xCxCY作辅助方程,4jxeyy,是单根j,*jxAxey故代入上式,42Aj,2jA,)cos2(sin22*jxxxxjxeyjx所求非齐方程特解为,cos2xxy原方程通解为.cos2sincos21xxxCxCy（取虚部）例2.2cos的通解求方程xxyy解对应齐方通解,sincos21xCxCY作辅助方程,2jxxeyy,2不是特征方程的根j,)(2*jxeBAxy设代入辅助方程13034ABAj,9431jBA，,)9431(2*jxejxy例3)2sin2)(cos9431(xjxjx所求非齐方程特解为,2sin942cos31xxxy原方程通解为.2sin942cos31sincos21xxxxCxCy,)2sin312cos94(2sin942cos31jxxxxxx（取实部）注意xAexAexxsin,cos.)(的实部和虚部分别是xjAe•卫星发射过程的描述•深海运动过程•摆钟运动的描述•水面浮标的上下振动三、运动学和机械振动学上的微分方程建模及其方法关于描述运动规律的知识准备•设物体做直线变速运动，其位置函数s=s(t)，与速度函数v=v(t)，加速度函数a=a(t)的关系为：v(t)=s’(t);a(t)=v’(t)=s’’(t).•牛顿第二定律：物体的加速度同作用在它上面的合力F成正比，即F=ma.•由此可利用受力分析，求得合力F，并与ms’’(t)或mv’(t)建立等式，即微分方程。进而求解并分析结果，从而对物体的运动规律进行大致描述。•关于力的知识，常用的有：压力、浮力、重力和万有引力、阻力、弹簧力、电（磁）场力等计算公式。问题的提出在发射人造地球卫星时，通常要求运载火箭离开地面时具有足够大的初始速度，从而就可保证卫星在发射过程中不会下坠，这与一般的上抛运动有所不同。试建立卫星发射过程中的数学模型来描述其运动规律，并求出在理论上所需的最小速度（称第二宇宙速度）。模型的建立假设：卫星发射过程中只受到物体间引力的作用，空气阻力或其它作用力影响不大而忽略。设M和m分别表示地球和卫星的质量，如图，卫星离开地面的时刻记t=0，s=R(地球半径），s(t)表示卫星重心和地球中心的距离，加速度a(t)=s’’(t)。由万有引力定律，引力F为F=kmM/s2在任意时刻t，利用牛顿第二定律，可得微分方程：ms’’=-kmM/s2，即s’’=-kM/s2，(1)且满足s(0)=R,s’(0)=V.模型的求解和分析求解下面微分方程s’’=-kM/s2，(1)且满足s(0)=R,s’(0)=V.利用降阶法，设v=ds/dt，则vdv/ds=-kM/s2，解得v2=2kM/s+C由初始条件s=R时，v=V，代入C=V2/2-kM/R，所以v2=2kM/s+C，(2)不难看出，若保证C≥0，卫星的运动速度始终不会为零，即它不会下坠。这与我们在地面上上抛物体时，会由于地球重力影响，在某时刻速度会减为0，而后下落有所不同（利用上述模型的结果，不难解释…）。要保证C≥0，即C=V2/2-kM/R≥0,V≥(2kM/R)1/2因为g=kM/R2，所以V≥(2gR)1/2=11200m/s。也就是我们通常所说的第二宇宙速度=11200m/s过去一段时间，美国原子能委员会为了处理浓缩的放射性废物，他们把废物密封在圆桶后，扔到水深100米以上的海中。为此，许多科学家表示担心，特别是圆桶在运动过程中与海底碰撞，是否会因速度过快而破裂，从而导致放射性废物对大海的污染。这种担心是否会发生呢？首先需要描述圆桶在深海中运动的过程。请建立描述该运动过程的数学模型。问题的提出模型一无阻力运动假设：圆桶运动过程中，所受阻力忽略不计，圆桶在水中进行直线运动，不产生旋转运动，即圆桶只受重力G和浮力e影响。在上述假设条件下，圆桶所受合力F=G-e。由牛顿第二定律：F=ma如图，设圆桶入海时记t=0，位移s=0。若s(t)为t时刻对应的位置函数，则a(t)=s’’(t)。由此可得微分方程（1）：ms’’(t)=mg-pgV且满足s(0)=0,v(0)=v0.模型二阻力运动假设：圆桶运动过程中，若圆桶除受重力G和浮力e以外，还