定积分的概念

§1定积分的概念§2牛顿---莱布尼兹公式§3定积分的性质§4微积分学基本定理§5定积分的计算§1定积分概念一.引例曲边梯形面积曲边梯形:由连续曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所围成的图形y=f(x)ab0xy怎样求面积呢？abxyo?A1面积问题曲边梯形由连续曲线)(xfy)0)((xf、x轴与两条直线ax、bx所围成.二问题的提出)(xfy我们有两个问题要解决，一个是给出面积的定义，一个是找出计算面积的方法。微积分的最大功绩在于，用干净利索的方法解决了这一问题，并用非常有效的方法解决了相当复杂的图形的面积的计算问题。思想方法（想象圆的面积的求法）（1）分割：将曲边梯形分成许多细长条在区间[a,b]中任取若干分点：bxxxxxxxannii11210把曲边梯形的底[a,b]分成n个小区间：),,3,2,1(1nixxxiii的长度记为小区间],[1iixx过各分点作垂直于x轴的直线段，把整个曲边梯形分成n个小曲边梯形，其中第i个小曲边梯形的面积记为iAxy0y=f(x)0xa1x3x1ixix1nxbxn2x（2）取近似：将这些细长条近似地看作一个个小矩形iiiiiiiiiiixfAfxfxxxxi)()(,).(),],[11曲边梯形的面积，即面积来近似代替这个小的小矩形长为用相应的宽为它所对应的函数值是（上任取一点个小曲边梯形的底在第xy0y=f(x)0xa1x2x1ixix1nxbxnξｉf(ξ)ｉ（3）求和：小矩形的面积之和是曲边梯形面积的一个近似值。把n个小矩形的面积相加得和式iniixf)(1它就是曲边梯形面积A的近似值，即.)(1iniixfAxy0y=f(x)0xa1x2x1ixix1nxbxnξｉf(ξ)ｉ（4）取极限：当分割无限时，所有小矩形的面积之和的极限就是曲边梯形面积A的精确值。小区间长度最大值趋近于零，即||||0（||||表示iniixf)(1ixixiniixf)(1这些小区间的长度最大者）时，和式的分割越细，就越接近于曲边梯形的面积A，当极限就是A，即iniixxfAi)(lim10||||可见，曲边梯形的面积是一和式的极限xy0y=f(x)0xa1x2x1ixix1nxbxnξｉf(ξ)ｉabxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）解决问题的基本思路：变“曲”为“直”曲边梯形如图所示，,],[1210bxxxxxabann个分点，内插入若干在区间abxyoiix1x1ix1nx;],[],[11iiiiixxxxxnba长度为，个小区间分成把区间，上任取一点在每个小区间iiixx],[1iiixfA)(为高的小矩形面积为为底，以)(],[1iiifxxiniixfA)(1曲边梯形面积的近似值为iniixfA)(lim10时，趋近于零即小区间的最大长度当分割无限加细)0(},,max{,21nxxx曲边梯形面积为例2路程问题设某质点作直线运动，速度)(tvv是时间间隔],[21TT上t的一个连续函数，求物体在这段时间内所经过的路程.把整段时间分割成若干小时间段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．对于匀速运动，我们有公式路程=速度X时间解决变速运动的路程的基本思路（1）分割212101TtttttTnn1iiitttiiitvs)(（3）作和iinitvs)(1（4）取极限},,,max{21ntttiniitvs)(lim10路程的精确值(2)取点iit三、定积分的定义定义：设函数y=f(x)在区间[a,b]上有定义。在区间[a,b]中任取分点,113210bxxxxxxxxannii将区间[a,b]分成n个小区间，其长度为][1iixx，的和式：乘积作上，任取一点，在每个小区间),,2,1()()(][11nixfxxxxiiiiiiii1iiixxx),,2,1ni（.)(1iniixf,)(dxxfbadxxfxfbainiixi)()(lim10||||如果不论对区间[a,b]采取何种分法及如何选取，当n个小区间的长度最大的趋于零，即时，和式（1）的极限存在，则称函数f(x)在区间[a,b]上可积，并称此极限值为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作0|||ixi即（1）注：baIdxxf)(iinixf)(lim10(1)利用极限的“”的说法，将定积分的定义精确表述如下：有中怎样取法，只要在的任何分法，不论对于区间,][],[,0,0,1iiixxbaIxfiini)(1.],[)(上的定积分在区间是成立，则称baxfI(2)积分值仅与被积函数及积分区间有关，badxxf)(badttf)(baduuf)(（3）积分值与区间的分法和i的取法是无关的.（4）当函数)(xf在区间],[ba上的定积分存在时，而与积分变量的写法无关.称)(xf在区间],[ba上可积.（5）曲边梯形由连续曲线)(xfy)0)((xf、x轴与两条直线ax、bx所围成.badxxfAbaxfA)(],[)(即上的定积分，在区间等于函数其面积(6)设某质点作直线运动，速度)(tvv是时间间隔],[21TT上t的一个连续函数，物体在这段时间内所经过的路程.21)(TTdttvS1.dxxf)(与badxxf)(的差别3．定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有bababaduufdttfdxxf)()()(4．规定：abbadxxfdxxf)()(0)(aadxxfdxxf)(是)(xf的全体原函数是函数badxxf)(是一个和式的极限是一个确定的常数注：2.当xfini)(1的极限存在时，其极限值仅与被积函数及积分区间有关，而与区间ba,的分法及i点的取法无关。f(x)[a,b],0)(xfbaAdxxf)(曲边梯形的面积,0)(xfbaAdxxf)(曲边梯形的面积的负值四定积分的几何意义abxyooyabx几何意义积取负号．轴下方的面在轴上方的面积取正号；在数和．之间的各部分面积的代直线的图形及两条轴、函数它是介于xxbxaxxfx,)(1A2A3A321)(AAAdxxfbaxyoA.与区间及被积函数有关；B.与区间无关与被积函数有关C.与积分变量用何字母表示有关；D.与被积函数的形式无关)(xfy在ba,上连续，则定积分badxxf)(的值4.(B)223sintdt中，积分上限是积分下限是积分区间是2.(A)及x轴所围成的曲边梯形的面积，用定积分表示为12xy与直线3,1xx1.由曲线(B)举例dxx)1(2312-2[-2,2]0A222)1(dxx3.定积分(A)dxxfba)(.1A-A0)(xf0)(xfA表示以y=f(X)为曲边的曲边梯形面积ababy=f(x)0y=f(x)0xxyy00AA321)(AAAdxxfba则2.如果f(x)在[a,b]上时正，时负，如下图3.结论：的代数和表示积的值都可用区边梯形面dxxfba)(几何意义abxyy=f(x)2A1A3A0应用例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积积为义，可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续，且，在）在图①中，被积函数（,0)(]0[)(12xfaxxf解：dxxAa200000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1①②③④积为义，可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续，且，在）在图②中，被积函数（,0)(]21[)(22xfxxf解：dxxA2210000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1①②③④积为义，可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续，且，在）在图③中，被积函数（,0)(][1)(3xfbaxf解：dxAba0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1①②③④可得阴影部分的面积为根据定积分的几何意义，上，在上，上连续，且在，在）在图④中，被积函数（0)(]20[,0)(]01[]21[1)1()(42xfxfxxf解：dxxdxxA]1)1[(]1)1[(2202010000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1①②③④成立。说明等式利用定积分的几何意义0sin22xdx例2：解：所以并有上，在上，上连续，且在，在在右图中，被积函数,,0sin]20[,0sin]02[]22[sin)(21AAxxxxf0)(1222AAdxxf222A1Axyf(x)=sinx1-1利用定积分的几何意义，判断下列定积分值的正、负号。20sinxdx212dxx利用定积分的几何意义，说明下列各式。成立：0sin20xdx200sin2sinxdxxdx1）．2）.1）．2）.练习：试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。0yxy=x2120xy=f(x)y=g(x)aby例1利用定义计算定积分.102dxx解将]1,0[n等分，分点为nixi，(ni,,2,1)小区间],[1iixx的长度nxi1，(ni,,2,1)取iix，(ni,,2,1)iinixf)(1iinix21,12iniixx(1)分割（2）取点（3）求和nnini121niin12316)12)(1(13nnnn,121161nnn0dxx102iinix210limnnn121161lim.31（4）求极限例2dxx1021计算积分义知，该积分值等于解：由定积分的几何意的面积（见下图）所围及轴，曲线10,12xxxxyx1y面积值为圆的面积的4141102dxx所以１定积分的实质：和式的极限．２定积分的思想方法：求近似以直（不变）代曲（变）取极限取点、求和积零为整分割化整为零取极限精确值——定积分小结与作业小结与作业作业：P2041,2(1)~(4).定积分的定义是一种构造性定义，通过四步骤归结为一个和式的极限.定积分的几何意义及简单应用§2牛顿----莱布尼兹公式一个实例一、间的关系与速度函数位移函数)()(——tVtS物体所经过的路程显然有两种表达方式:);()()(aSbStS将其表示为应用路程函数第一种:第二种:badttV)(将其表示为应用定积分的物理意义).()(),()()('tStVaSbSdttVba其中时刻物体所对应直线运动一物体在直线上作变速t,物体所经过时变到由当速度为的路程为,),(),(battVtS?的路程是多少变上限的定积分二、一种表达函数的新方法——.)()(babadttfdxxf且存在则有定积分上可积在若badxxfbaf)(,],[因而有上可积在,],[xaf存在],[baxxadttf)(